Développement limité et équation
Bonjour
J'essaie de résoudre :
J'essaie de résoudre :

pour le 1, j'arrive à $\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{2i+k \leq n, k\in \mathbb{N}, i\in \mathbb{N}} x^{2i+k} +\circ(x^n) $. Peut-on faire plus ?
Pour 2, je comprends bien la question car pour $k \leq n$, les termes $x^{2q+p}$ sont au nombre de toutes les possibilités telles que $2q+p=k$. Ainsi, le coefficient de $x^{2q+p}$ est ce nombre de possibilités. Comment le prouver ?
Merci.
Merci.
Réponses
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Bonsoir,
l’exercice est-il posté en entier ? je dis cela car on ne présente pas ce que sont $p$ et $q$.Édit : ok, ce sont les inconnues de l’équation.Cordialement
Dom -
penser au produit de 2 séries entières
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Bonsoir;
1)Via (par exemple) une décomposition en éléments simples, on peut prouver que $a_{2k}=a_{2k+1}=k+1$ ce qui peut mener à 2).
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Par décomposition en éléments simples, je trouve $\ \dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{x+2}{1-x^2},\ $ après ?
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Considérer le produit des séries entières de $\dfrac{1}{1-x^2}$ et de $\dfrac{1}{1-x}$
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Bonjour Math65.$\dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{x+2}{1-x^2}$ n'est pas une décomposition en éléments simples, et surtout est une égalité fausse. Erreur de copie ? À priori, on s'attend à trouver trois éléments simples.Cordialement.
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$\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{Bx+C}{1-x^2}$ n'est certes pas une décomposition en éléments simples mais permettrait tout de même un DL à tout ordre ou un DSE... si elle existait.
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On peut aussi montrer par la même méthode du produit de séries entières que le coefficient de $x^k$ dans le développement en série entière de $\dfrac{1}{(1-x^5)(1-x^2)(1-x)}$ est le nombre de triplets d'entiers $(p,q,r)$ tels que $5p+2q+r=k$
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Bon, revenons au début. Sans avoir fait la question 1, difficile de faire la 2, qui en est une simple traduction.Math65, quand décideras-tu d'écrire clairement le DL du 1, c'est-à-dire un polynôme ordonné de degré au plus n ? Pour t'aider : quel est le coefficient constant ? le monôme de degré 1 ? le monôme de degré 2 ? ... Le monôme de degré k<n ? Le monôme de degré n ?
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Comment faire le produit des séries entières ?Je n'arrive pas à décomposer en éléments simple.Peut on vraiment avoir $\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}$, je ne le crois pas?Je pense pouvoir trouver$\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{(1-x) ^2}+\frac{b}{1-x}+\frac{c}{1+x}$Est-ce suffisant ?
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Salut,
Modulo de connaitre le résultat qui dit que le produit de deux séries entière de rayon de convergence au moins $R$ est une série de rayon de convergence qu moins $R$, concernant le "comment on fait", ben on fait évidement comme pour des polynômes :
$\big(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\big)\big(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\big)=a_0b_0+(a_0b_1\!+\!a_1b_0)z+(a_0b_2\!+\!a_1b_1\!+\!a_2b_0)z^2+\cdots$
Sinon, la décomposition en élément simples de $\dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}$ est effectivement de la forme $\dfrac{a}{(1-x)^2}+\dfrac{b}{1-x}+\dfrac{c}{1+x}$ où $b$ pourrait éventuellement être nul, mais surement pas $a$ ni $c$. -
Math65 :Peut on vraiment avoir $\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}$, je ne le crois pas?
Réduit au même dénominateur le second membre, puis compare au premier ...
Il y a des choses que tu n'as pas comprises dans le chapitre sur les fractions rationnelles. Il faudra le revoir un jour ...
Cordialement.
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J'ai trouvé :
$\frac{1}{(1-x)^2 (1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(1-x)^2} +\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}$
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Par développement limité, on a :
$\frac{1}{(1-x)^2 (1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(1-x)^2} +\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}
=\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2(k+1)x^k + \sum_{k=0}^{n}x^k +\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k)=\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2(k+1)x^k + \sum_{k=0}^{n}x^k +\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k)=\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2kx^k + 3x^k + (-1)^k x^k)
$
Comment répondre à la question 2)?
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Question 1 à finir !!Et on n'a plus l'idée du produit de DL avec $f(x) = \frac 1 {(1-x^2)(1-x)} = \frac 1 {1-x}\frac 1 {1-x^2}$ qui donnait directement la question 2.
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Bonjour @math65,
16h25 est correct. Je me refuse à te suivre à17h01. Il me semble que tu es victime d'un excès de formalisme.
En tout état de cause, il faut prouver que :$$a_{2k}=a_{2k+1}=k+1$$
qui ne semble pas beaucoup t'inspirer.
On peut explorer d'autres méthodes :
par exemple la division (pas du tout euclidienne) de 1 par $1-x-x^2+x^3$ dans l'ordre des puissances croissantes et faire des conjectures. -
@cailloux c'est vrai que ce DL ne sert pas trop pour la question 2) mais c'est ce qu'on demande dans la question 1) ?C'est vrai que je ne vois pas trop à quoi sert cette histoire de coefficient mais je peux le prouver avec le DL que j'ai fait.@jlapin Pour le produit de série entière, ne l'ai-je pas fait dans mon premier post ?
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Alors pourquoi tu demandes comment répondre à la question 2b) si tu estimes l'avoir déjà fait ?
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Peut-être que cela suffit :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{2i+k \leq n, k\in \mathbb{N}, i\in \mathbb{N}} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{k=2p+q , p\in \mathbb{N}, q\in \mathbb{N}}^n a_k x^{k} +\circ(x^n)$.
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Bonjour!
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