Développement limité et équation

math65
Modifié (March 2024) dans Analyse
Bonjour
J'essaie de résoudre :
pour le 1, j'arrive à $\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{2i+k \leq n, k\in \mathbb{N}, i\in \mathbb{N}} x^{2i+k} +\circ(x^n) $. Peut-on faire plus ?
Pour 2, je comprends bien la question car pour $k \leq n$, les termes $x^{2q+p}$ sont au nombre de toutes les possibilités telles que $2q+p=k$. Ainsi, le coefficient de $x^{2q+p}$ est ce nombre de possibilités. Comment le prouver ?
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2024)
    Bonsoir,
    l’exercice est-il posté en entier ? je dis cela car on ne présente pas ce que sont $p$ et $q$. 
    Édit : ok, ce sont les inconnues de l’équation. 
    Cordialement
    Dom
  • penser au produit de 2 séries entières 
  • cailloux
    Modifié (March 2024)
     Bonsoir;
    1)Via (par exemple) une décomposition en éléments simples, on peut prouver que $a_{2k}=a_{2k+1}=k+1$ ce qui peut mener à 2).
  • math65
    Modifié (March 2024)
    Par décomposition en éléments simples, je trouve $\ \dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{x+2}{1-x^2},\ $ après ?
  • lale
    Modifié (March 2024)
    Considérer le  produit des séries entières de $\dfrac{1}{1-x^2}$ et de $\dfrac{1}{1-x}$  
  • gerard0
    Modifié (March 2024)
    Bonjour Math65.
    $\dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{x+2}{1-x^2}$ n'est pas une décomposition en éléments simples, et surtout est une égalité fausse. Erreur de copie ? À priori, on s'attend à trouver trois éléments simples.
    Cordialement.
  • john_john
    Modifié (March 2024)
    $\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{Bx+C}{1-x^2}$ n'est certes pas une décomposition en éléments simples mais permettrait tout de même un DL à tout ordre ou un DSE... si elle existait.
  • lale
    Modifié (March 2024)
    On peut aussi montrer par la même méthode du produit de séries entières que le coefficient de $x^k$ dans le développement en  série entière de $\dfrac{1}{(1-x^5)(1-x^2)(1-x)}$ est le nombre de triplets d'entiers $(p,q,r)$ tels que $5p+2q+r=k$
  • gerard0
    Modifié (March 2024)
    Bon, revenons au début. Sans avoir fait la question 1, difficile de faire la 2, qui en est une simple traduction.
    Math65, quand décideras-tu d'écrire clairement le DL du 1, c'est-à-dire un polynôme ordonné de degré au plus n ? Pour t'aider : quel est le coefficient constant ? le monôme de degré 1 ? le monôme de degré 2 ? ... Le monôme de degré k<n ? Le monôme de degré n ?
  • Comment faire le produit des séries entières ?
    Je n'arrive pas à décomposer en éléments simple.
    Peut on vraiment avoir $\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}$, je ne le crois pas?
    Je pense pouvoir trouver
    $\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{(1-x) ^2}+\frac{b}{1-x}+\frac{c}{1+x}$
    Est-ce suffisant ?

  • Ben314159
    Modifié (March 2024)
    Salut,
    Modulo de connaitre le résultat qui dit que le produit de deux séries entière de rayon de convergence au moins $R$ est une série de rayon de convergence qu moins $R$, concernant le "comment on fait", ben on fait évidement comme pour des polynômes : 
    $\big(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\big)\big(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\big)=a_0b_0+(a_0b_1\!+\!a_1b_0)z+(a_0b_2\!+\!a_1b_1\!+\!a_2b_0)z^2+\cdots$

    Sinon, la décomposition en élément simples de $\dfrac{1}{(1-x)^2(1+x)}$ est effectivement de la forme $\dfrac{a}{(1-x)^2}+\dfrac{b}{1-x}+\dfrac{c}{1+x}$ où $b$ pourrait éventuellement être nul, mais surement pas $a$ ni $c$.
  • Math65 : 
    Peut on vraiment avoir $\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}$, je ne le crois pas?

    Réduit au même dénominateur le second membre, puis compare au premier ...

    Il y a des choses que tu n'as pas comprises dans le chapitre sur les fractions rationnelles. Il faudra le revoir un jour ...


    Cordialement.



  • math65
    Modifié (March 2024)
    J'ai trouvé :
    $\frac{1}{(1-x)^2 (1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(1-x)^2} +\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}$
  • math65
    Modifié (March 2024)
    Par développement limité, on a :  
    $\frac{1}{(1-x)^2 (1+x)}=\frac{1}{2}\frac{1}{(1-x)^2} +\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}
    =\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2(k+1)x^k + \sum_{k=0}^{n}x^k +\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k)=\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2(k+1)x^k + \sum_{k=0}^{n}x^k +\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^k)=\frac{1}{4}(\sum_{k=0}^{n}2kx^k + 3x^k + (-1)^k x^k)
    $

    Comment répondre à la question 2)?







  • gerard0
    Modifié (March 2024)
    Question 1 à finir !!

    Et on n'a plus l'idée du produit de DL avec $f(x) = \frac 1 {(1-x^2)(1-x)} = \frac 1 {1-x}\frac 1 {1-x^2}$ qui donnait directement la question 2.
  • Bonjour @math65,
    16h25 est correct. Je me refuse à te suivre à17h01. Il me semble que tu es victime d'un excès de formalisme.
    En tout état de cause, il faut prouver que : 
    $$a_{2k}=a_{2k+1}=k+1$$
    qui ne semble pas beaucoup t'inspirer.
    On peut explorer d'autres méthodes :
    par exemple la division (pas du tout euclidienne) de 1 par $1-x-x^2+x^3$ dans l'ordre des puissances croissantes et faire des conjectures.
  • JLapin
    Modifié (March 2024)
    Comment répondre à la question 2) ?

    @math65 En effectuant le produit des séries entières associées à $\dfrac{1}{1-x^2}$ et $\dfrac{1}{1-x}$.

  • math65
    Modifié (March 2024)
    @cailloux c'est vrai que ce DL ne sert pas trop pour la question 2) mais c'est ce qu'on demande dans la question 1) ?
    C'est vrai que je ne vois pas trop à quoi sert cette histoire de coefficient mais je peux le prouver avec le DL que j'ai fait.
    @jlapin Pour le produit de série entière, ne l'ai-je pas fait dans mon premier post ?
  • Alors pourquoi tu demandes comment répondre à la question 2b) si tu estimes l'avoir déjà fait ?
  • math65
    Modifié (March 2024)
    @JLapin j'estime avoir fait le produit de série entière mais je n'estime pas avoir répondu à la question 2).
  • math65
    Modifié (March 2024)
    Peut-être que cela suffit : 
    $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{2i+k \leq n, k\in \mathbb{N}, i\in \mathbb{N}} x^{2i+k} +\circ(x^n) = \sum_{k=2p+q , p\in \mathbb{N}, q\in \mathbb{N}}^n a_k x^{k} +\circ(x^n)$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.