Isométries du cube

paspris · 14 Mar

Bonjour, une question sur les isométries du cubes et plus généralement sur les isométries laissant invariant une partie d’un espace affine.

Pour celles du cube on montre IS(P) est isomorphe à IS+(P) x Z/2Z. Mais est-ce que ce n’est pas toujours le cas puisque IS+(P) et IS-(P) sont isomorphes par composition avec un élément de IS-(P) ?
Merci.

GaBuZoMeu · 14 Mar

Bonjour,

Non, ce n'est pas toujours le cas. Regarde par exemple ce qui se passe pour un tétraèdre régulier.

Tu noteras la différence : le cube est symétrique par rapport à son centre de gravité, pas le tétraèdre régulier.

paspris · 14 Mar

Oui effectivement, merci GaBuZoMeu. Mais du coup, est-ce qu’on peut dire que c’est vrai pour un nombre pair de sommets (je parle dans le cas de polyèdres réguliers)?

Math Coss · 14 Mar

Dans un tétraèdre il y a $4$ sommets et $4$ est pair, n'est-ce pas ?

@GaBuZoMeu a dit :
Tu noteras la différence : le cube est symétrique par rapport à son centre de gravité, pas le tétraèdre régulier.

paspris · 14 Mar

Oh la la… mais qu’est ce que j’écris?! Désolé pour la perte de temps sur celle là :-)

Bon, je reprends. Si IS-(P) est non vide, on peut décrire tous les antidéplacements en composant les déplacements avec un élément de IS-(P). Et est-ce que ce n’est pas la même chose que de dire qu’il y a isomorphisme tel que je l’ai écrit dans ma question initiale?!

plsryef · 14 Mar

Pour un polygone régulier, avec le groupe diédral, tous les antidéplacements linéaires sont d'ordre 2. Et si le polygone à n côtés, il y a un déplacement d'ordre n. Pour n assez grand ça ne fonctionne pas, une bijection peut-être mais pas un isomorphisme.

GaBuZoMeu · 14 Mar

paspris a dit :
Bon, je reprends. Si IS-(P) est non vide, on peut décrire tous les antidéplacements en composant les déplacements avec un élément de IS-(P).

Oui, et alors ? Comment à partir de ça en déduirais-tu un isomorphisme avec le groupe produit $\mathrm{Isom}_+(P)\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ ?

paspris · 14 Mar

Et bien naïvement en posant f(I) = (I,0) si I est positive et (s o i,1) sinon

Ben314159 · 14 Mar

Salut,
Jusque là, concernant le coté "iso" (=bijectif) c'est assez clairement O.K., mais ne pense tu pas qu'il y aurait quelques menues vérifications à faire concernant le coté "morphisme" de la chose?

Isométries du cube

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