Matrice triangulaire stricte nilpotente

Souki
Modifié (March 2024) dans Algèbre
$\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$Bonsoir tout le monde,
le but est de montrer que si $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ triangulaire stricte, alors $A$ est nilpotente.
Je me suis bricolé une démo un peu tirée par les cheveux :
pour tout entier $1\le k \le n$, on pose $V_k=\{X \in M_{n,1}(\K) \mid \forall i >k,\  (X)_i=0 \}$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices colonnes dont les éléments sont nuls à partir de la $k+1$-ième ligne. Dans ce sens, $V_n=M_{n,1}(\K)$.
En considérant que $A$ est supérieure stricte, on montre, par un calcul matriciel, que pour toute matrice colonne $X$ de $V_k$, $AX \in V_{k-1}$. Donc, si on part d'une matrice colonne $X$ quelconque de $M_{n,1}(\K)$, c'est-à-dire de $V_n$, on aura $AX \in V_{n-1}$, puis $A^2 X \in V_{n-2}$, et donc par récurrence, $A^nX \in V_{n-n}=\{0\}$. On conclut que $A^n =0$.
Je voudrai savoir si on peut concevoir un raisonnement plus simple.
Bien cordialement.

Réponses

  • Je vois difficilement comment faire plus simple. Qu'est-ce que tu trouves compliqué ?
  • Bonjour

    Oui, Souki il y a plus simple... Quel est le polynôme caractéristique d'une telle matrice?
  • Tu peux aussi utiliser la technologie sur le polynome caractéristique. Ca donne également une preuve simple mais ça utilise des outils plus sophistiqués (mais très classiques).
  • Souki
    Modifié (March 2024)
    Oui, vous voulez dire le théorème de Cayley-Hamilton, mais on ne l'a pas encore étudié en classe, donc je me suis cherché une autre solution.
    Donc, après coup, je pense que j'opterai pour cette démo.
    Amicalement.
  • Personnellement, je préfère la démo du premier message. Je trouve que l'on comprend bien ce qu'il se passe. Pour bien comprendre ce qu'il se passe avec l'autre, il faut commencer par bien comprendre Cayley-Hamilton, ce qui demande plus d'effort !
  • OK! Pourquoi pas?
  • Le polynôme caractéristique, c'est de la haute technologie !
    La démonstration de Souki me semble beaucoup plus simple (peut-être plus agréable à formuler sans matrice en parlant de l'endomorphisme associé et des sous-espaces emboîtés $\mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_k)$ ).
  • Bonjour, je relance le forum car, @Souki je ne comprends pas comment tu passes de $A^n X=0$ à $A^n=0$. 
    Merci d'avance à ceux qui sauraient m'expliquer.
  • Par $0$ j'entends évidemment le vecteur avec $n$ $0$.
  • Car il montre que pour tout $X\in M_{n,1}(\K), A^nX=0$.

    PS: ceci dit le message d'origine date de 2012 et Souki n'est plus là depuis longtemps (avec ce pseudo en tout cas).
  • Bonsoir @raoul.S , c'est précisément ma question, une fois qu'on a montré que $A^n X=0$, par quel(s) argument(s) peut-on conclure que $A^n=0$. 
    Et oui je n'attendais pas une réponse de lui en particulier ^^.
    Merci pour ton aide.
  • Bbidule
    Modifié (March 2024)
    A été montré que, pour tout $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\K)$, $A^nX=0_{\mathcal{M}_{n,1}(\R)}$.
    Donc, en particulier, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $A^nE_i = 0_{\mathcal{M}_{n,1}(\R)}$, où $\left(E_1,\dots,E_n\right)$ désigne la base canonique de $\mathcal{M}_{n,1}(\K)$.
    Or, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, par définition de $E_i$ et du produit matriciel, $A^nE_i$ est égale à la $i$ème colonne de $A^n$.
    Ainsi, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, la $i$ème colonne de $A^n$ est nulle.
    Donc, $A^n = 0_{\mathcal{M}_n(\K)}$.
  • @Bbidule
    C'est super clair, merci beaucoup !
    Bonne soirée à tous les deux.
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