Convergence vers 0

Ch4rstz
Modifié (12 Mar) dans Analyse
Si on a une suite $u$ tel que $\ u_{n+1} -  \dfrac{u_{n}}{2}\ $ tend vers $0$ alors $u$ tend vers 0. Ca me parait juste, des idées pour le démontrer ?

Réponses

  • raoul.S
    Modifié (12 Mar)
    Il y a eu un fil un poil plus général avec une limite de $u$ pas forcément nulle ICI
    Il y a plusieurs réponses.
    Une réponse de LOU16 ICI
    Une de bd2017 ICI
    PS : dans le fil que j'indique il y a un $+$ au lieu d'un $-$ mais ça ne change rien aux solutions proposées.
  • @raoul.S  J'avais raconté un truc  ici dans le fil que tu as rappelé, mais en me relisant j'ai oublié le raisonnement et peut être j'ai dit une bêtise, non?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane on a bien l'équivalence que tu mentionnes si $|a|>1$.
  • plsryef
    Modifié (14 Mar)
    Bonsoir,
    en notant  ${\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}^{\circ}$ l'espace vectoriel des suites convergentes vers 0 et que celui ci est stable par shift (c'est son image), et que le shift commute avec $\phi:{\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}^{\circ}\rightarrow {\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}^{\circ}$,$(u_n)_{n \in \mathbb{n}}\mapsto ({\mathbb{N}}\rightarrow\mathbb{R},n\mapsto u_{n+1}-0.5u_{n}$), donc ${\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}^{\circ}$ est stable par$\phi$ ($\phi$ est même un polynôme du shift). Ou alors le raisonnement qui précède est faux ? oui c'est faux.
  • Ce n'est pas faux mais ce qu'il s'agit de démontrer, c'est que si $\phi(u)$ converge vers $0$, alors $u$ converge vers $0$ – tu sembles parler de la réciproque, qui est triviale.
  • Je reprends la méthode de @LOU16
    On pose $v_n=u_{n+1}-\frac{u_n}{2}$ et $w_n=2^{n+1}v_n$. Alors $u_{n+1}-\frac{u_0}{2^n}=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1}2^{k+1}v_k$ tend vers $0$ si $\lim_n v_n=0$. 
  • etanche
    Modifié (14 Mar)
    @ Alexique c’est avec Cesaro que l’on a $v_n$ tend vers $0$?
  • L’ensemble des suites qui tendent vers zéro est un espace vectoriel. On s’en sert tous les jours en analyse en considérant des $\varepsilon$, en les ajoutant, les multipliant entre eux, etc. à condition (suffisante) qu’il y en ait toutefois un nombre fini. 
  • etanche a dit :
    @ Alexique c’est avec Cesaro que l’on a $v_n$ tend vers $0$?
    Non, C'est une hypothèse 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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