Application linéaire, existence avec base ou pas ?

plsryef
Modifié (10 Mar) dans Algèbre
Bonsoir/bonjour.
Comment montre-t-on qu'une application linéaire existe sans l'existence de base, est-ce possible ?
et autre question : y a-t-il une condition plus "minimale" que la liberté de $(x_i)_{i \in I} \in E$ pour définir une application linéaire $f:E\rightarrow F$ définie par $x_i \mapsto f_i$ et les conditions propres à ce qu'est une application linéaire ? Où $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (10 Mar)
    Tu ne peux pas caractériser ainsi une application linéaire sur $E$ si $(x_i)$ est seulement une famille libre. Tu n'as pas un cours sur ce sujet à consulter ?
  • zygomathique
    Modifié (10 Mar)
    Salut
    la première question ne veut pas dire grand chose : si on se donne une application $f$ d'un espace vectoriel dans un autre alors elle est linéaire ou elle n'est pas linéaire.
    Pour être linéaire il suffit qu'elle vérifie les deux propriétés du cours :   $f(u + v) = f(u) + f(v) \\ f(ku) = kf(u)$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • plsryef
    Modifié (10 Mar)
    Si j'ai de quoi faire, mais je voudrais accélérer les choses et j'ai l'impression qu'il faut définir beaucoup de notions avant de le mentionner ce qui me pose un souci de l'ordre "beaucoup de préambule" avant d'entrer dans le vif du sujet. Je précise, il s'agit de préparer une leçon d'oral de concours, mais le titre de la leçon et les objectifs à atteindre sont si loin de ce qu'il faut préciser avant d'entrer dans le vif du sujet... par exemple peut-on se passer des sommes directes, et de l'existence d'une base.
  • JLapin
    Modifié (10 Mar)
    Donne le titre de la leçon et le concours visé : ce sera plus efficace pour obtenir de l'aide.
    j'ai l'impression qu'il faut définir beaucoup de notions avant de le mentionner

    Qui est "le" ?

  • Je n’ai pas bien compris et si ça se trouve, ça dépasse mes compétences. 
    L’application nulle (c’est-à-dire dont l’image est le zéro de l’espace vectoriel d’arrivée) est une application linéaire. Donc il en existe. 
  • plsryef
    Modifié (10 Mar)
    le titre de la leçon: "Dimensions d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie."... "Rang d'une famille de vecteurs", je n'en suis pas encore  à la seconde partie de l'intitulé de la leçon. (sans faire mon Oshine , je sais que c'est une leçon qui n'est pas aussi simple que ce qu'il semble et je veux faire les choses correctement et  rapidement .
    Étant donné(e), (cela s'accorde-t-il ? "étant donné" est une locution invariable ou pas... je ne sais pas) une famille génératrice, la donnée de $x_i \mapsto f_i$  peut-elle justifier l'existence d'une application linéaire, mon intuition me crie : NON, mais quelque chose m'aurait-il échappé ?
  • Si on considère la famille $((1,0), (1,1), (0,1))$ dans $\mathbb R^2$ (qui est génératrice mais pas libre) et une application linéaire $f : \mathbb R^2 \to F$, on a nécessairement 
    $$f(1,1) = f((1,0)+(0,1)) = f(1,0) + f(0,1)$$
    donc cela impose des conditions sur tes $f_i$, ils ne peuvent pas être n'importe quoi.

    Ou alors je n'ai pas compris la question. 
  • plsryef
    Modifié (10 Mar)
    en fait je voudrais utiliser (*) $\mu: E^{(I)} \rightarrow F, x_i\mapsto f_i$, $(I)$ pour signifier que $(I)$ est à support fini,
    dans le cas que tu donnes @Héhéhé je sais que $f(1,1)=f(0,1)+f(1,0)$ pour que l'application linéaire $f$ soit effectivement linéaire la donnée de (*)  nécessite que $(0,1),(1,0),(1,1)$ soit libre sauf si effectivement $f(1,1)=f(1,0)+f(0,1)$ ce qui n'est pas garanti par "prolongement linéaire " (pour aller vite) de $f(0,1)=\alpha_1, f(1,0)=\alpha_2, f(1,1)=\alpha_3$ sauf si $\alpha_1+\alpha_2=\alpha_3$, dans les autres cas ça ne fonctionne pas. (je sais que c'est le cœur de la leçon ou alors je m'en suis persuadé à tort ou à raison et je demande un éclairage) car dans le lexique de ces trucs là, libre se transforme en injective, génératrice se transforme en surjective et et base se transforme en bijective, et que rien ne précède cela sans l'existence d'une application qui est linéaire.
  • Désolé mais je ne comprends pas. Quelle est la question exactement ?
  • Peut-être « est-ce que mon $\mu$ définit bien une unique application linéaire ? ». 
  • plsryef
    Modifié (10 Mar)
    "peut-on se passer de la liberté de $(x_i)_{i \in I} \in E^{(I)}$ pour définir une application linéaire $f :E\rightarrow F$ via $ f(x_i)=\alpha_i, i \in I$ que l'on étend sur $E^I$ par linéarité ?" je suis conscient qu'il faut être consistant avec les axiomes d'un espace vectoriel mais cela n'a rien de trivial. les ressources croisées que j'ai trouvé sur le net partent de l'existence et de l'unicité (pas dans cet ordre) mais clairement l'existence n'a rien de trivial.
  • Fin de partie
    Modifié (11 Mar)
    Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie ou pas. On peut munir naturellement l'ensemble $E\times F$ d'une structure d'espace vectoriel, et on peut définir l'application $(x,y)\in E\times F,\varphi((x,y))=x$ définie de $E\times F$ dans $E$. 
    Cette application est une application linéaire si $E\times F$ et $E$ sont munis de leur structure naturelle d'espace vectoriel ici.
    On a ainsi défini une application linéaire sans parler de bases.
  • plsryef a dit :
    "peut-on se passer de la liberté de $(x_i)_{i \in I} \in E^{(I)}$ pour définir une application linéaire $f :E\rightarrow F$ via $ f(x_i)=\alpha_i, i \in I$ que l'on étend sur $E^I$ par linéarité ?"

    Si tu ne veux pas donner de conditions sur les $\alpha_i$, la réponse est non. Par exemple, si $x_i  = 0_E$ et que $\alpha_i$ est non nul, aucune application linéaire $f$ ne vérifiera $f(x_i)=\alpha_i$.
  • Merci pour vos réponses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.