Caractérisation des fonctions différentiables constantes

Bonjour,
que pensez-vous de la démonstration ci-dessous de ce résultat ? ($E$ est supposé de dimension finie).

Soit $f$ une fonction différentiable sur $\Omega$ de différentielle nulle et $a,b \in \Omega$. Comme $\Omega$ est connexe par arcs, il existe une application continue $\gamma : [0,1] \rightarrow \Omega$ telle que $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$. Notons $\gamma_1,\dots,\gamma_p$ les fonctions composantes de $\gamma$ (dans une base quelconque de $E$), qui restent continues.
D'après le théorème de Weierstrass, pour tout $i \in \{1,\dots,p\}, \gamma_i$ est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales que l'on notera $(\gamma_{i,n})_{n\in \mathbb{N}}$.
Ainsi, en posant pour tout entier $n$, $\gamma_n=(\gamma_{1,n},\ldots,\gamma_{p,n})$ la suite de fonctions $(\gamma_n)_{n\in\N}$ converge uniformément (donc simplement) vers $\gamma$ et par suite, $f$ étant continue car différentiable, la suite de fonctions $(f \circ \gamma_n)_{n\in\N}$ converge simplement vers $f \circ \gamma$.
Pour tout $n \in \N$, $f \circ \gamma_n$ est dérivable et $\forall t \in [0,1], \quad (f \circ \gamma_n)^{'}(t) = \mathrm{d}f(\gamma_n(t)).\gamma_n^{'}(t)=0$, donc $f \circ \gamma_n$ est constante et $f\circ \gamma_n(0)=f\circ \gamma_n(1)$.
On fait tendre $n$ vers $+\infty$ et on obtient $f(a) = f(b)$.