Diviseurs de $4^n-1$

francoiswolf
Modifié (February 2024) dans Arithmétique
Bonjour
Je souhaiterais savoir si quelle que soit la valeur d'un entier naturel impair $x$ supérieur à $1$, il existe une valeur entière $n$ telle que la fonction $4^n-1$ soit divisible par $x$ d'où avec $y$ une valeur entière $$y=(4^n-1)/x=(2^n-1)*(2^n+1)/x$$
Autrement dit, est-ce que la fonction $4^n-1$ est divisible par l'ensemble des nombres impairs ?
Si oui, auriez-vous une démonstration ou la référence à un article, s'il vous plaît ?
Merci.
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Réponses

  • JLapin
    Modifié (February 2024)
    Si $x$ est un entier impair, alors $4$ est premier avec $x$ donc $4^{\varphi(x)} \equiv 1[x]$.
  • francoiswolf
    Modifié (February 2024)
    Le petit théorème de Fermat aide quand $x$ est un nombre premier. On a $a^p=a [p]$,
    d'où avec $a=4$ et $m=p-1$, on a $4(4^m-1)=0 [p]$.
  • francoiswolf
    Modifié (February 2024)
    Merci JLapin, je n'y pensais plus à la fonction d'Euler.
  • Chaurien
    Modifié (February 2024)
    Autre démonstration. Si $d$ est un nombre entier positif impair donné, les restes possibles par $d$ des différents $u_k=4^k$, $k \in \mathbb N^*$,  sont en nombre fini. Il existe donc $p \in \mathbb N^*$ et $q \in \mathbb N^*$, avec $p<q$, tels que $u_p \equiv u_q [d]$. En conséquence, $d$ divise $u_q-u_p=4^p(4^{q-p}-1)$, et d'après le théorème de Gauss, $d$ divise $4^n-1$ avec $n=q-p$, qui est élément de $\mathbb N^*$.
    Raisonnement élémentaire qu'on voit pour les répunités. Il existe un multiple de $2024$ qui s'écrit en base dix : $11...1100...00$ et un multiple de $2023$ qui s'écrit en base dix : $11...11$.
  • NicoLeProf
    Modifié (February 2024)
    Ce que JLapin utilise ici est le théorème d'Euler qui généralise le petit théorème de Fermat j'ai l'impression.
    Théorème d'Euler : soit $x \in \mathbb{N}^*$. Soit $a$ un entier premier avec $x$. Alors $a^{\varphi(x)} \equiv 1 \pmod x$.
    Je propose la preuve (efficace) ci-dessous mais j'aimerais avoir votre avis tout de même pour être sûr :
    $a$ est premier avec $x$ donc $a \in (\mathbb{Z}/x\mathbb{Z})^{\times}$. Or, $Card((\mathbb{Z}/x\mathbb{Z})^{\times})=\varphi(x)$.
    Donc d'après le théorème de Lagrange, l'ordre de $a$ divise $\varphi(x)$ et par suite, $a^{\varphi(x)} \equiv 1 \pmod x$.
    En fait, ce qui me fait douter est justement l'efficacité de ma preuve alors que celles que je vois sur internet sont plus longues et plus compliquées... Pourtant, je ne vois pas ce qu'il y a de faux dans ce que j'ai écrit ci-dessus ! ^^' :D
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Salut,
    Oui, c'est effectivement la preuve qu'on trouve partout, modulo de s'adresser à un auditoire qui connait la théorie générale des groupes et en particulier le théorème de Lagrange.
    Par contre, pour un public sans bagage sur les groupes (donc pas de Lagrange), c'est forcément plus long . . .
  • JRManda
    Modifié (March 2024)
    Bonjour
    Pour tout entier impair $x\geq 3$, si on désigne par $\alpha(x)=Ord_{x}(2)=\min\{a\in \N^{\ast}\mid 2^{a}\equiv 1\bmod x\}$, où $Ord_{x}(2)$ est l'ordre de $2$ modulo $x$, alors on a aussi $4^{\alpha(x)}\equiv 1 \bmod x$.
    Et pour $x>3$, $\alpha(x)$ est le plus petit des entiers positifs non nuls $n$ pour lesquels $4^{n}-1$ soit divisible par $x$.

  • JRManda
    Modifié (March 2024)
    Salut
    Suite à la vigilance d'un membre du groupe, la deuxième partie que je viens de barrer n'est pas exacte.
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