Un classique sur les accroissements finis

Onorata societa, buonasera
L'exercice suivant est, je crois, assez classique... Une petite kholle là-dessus ?
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Montrer que, dans la formule des accroissements finis $f(x + h) = f(x) + h f'(x + \theta h)$, le coefficient $\theta $ tend vers $1/2$ pour tout $x$, quand $h$ tend vers zéro. (On suppose que $f''(x)$ existe et est continue au voisinage de $x$.)
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Rispetto e umirta !...
Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)

Réponses

  • C'est faux pour f=sinus et x=0
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • MrJ
    MrJ
    Modifié (7 Mar)
    Il suffit d'utiliser deux fois la formule de Taylor-Young :

    $$f(x) + f'(x) h + \dfrac{f''(x)}{2}h^2 + o(h^2)  = f(x) + h\big(f'(x) + f''(x) \theta(h) h + o(\theta(h) h)\big)$$

    Ensuite, il faut quantifier correctement $\theta$ pour pouvoir conclure proprement.

  • gebrane
    Modifié (7 Mar)
    Mrj semble confirmer la justesse de la question pour tout f régulière et tout x, donc mes calculs sont faux.
    Je m'éclipse 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Et lorsque l'on considère $x\mapsto x$, on  peut choisir $\theta$ arbitrairement, donc aucune chance qu'il tende vers $1/2$. L'exercice est effectivement classique, à condition de ne pas oublier des hypothèses.
  • Ericpasloggue
    Modifié (7 Mar)
    Voici une version plus générale de cet exercice.
    Soit $I$ un intervalle ouvert, $[a\,,b]\subset I$, $a<b$, $n$ et $p$ deux entiers strictement positifs et $f\colon I\longrightarrow\mathbb{R}$ une fonction $n+p$ fois dérivable sur $I$ telle que $f^{(n+p)}$ soit continue en $a$,      
    $$           f^{(n+1)}(a)=f^{(n+2)}(a)=\dotsb=f^{(n+p-1)}(a)=0\quad\text{et}\quad f^{(n+p)}(a)\neq0.        $$  Il existe $\xi\in\mathopen{]}a\,,b\mathclose{[}$ tel que $$
                f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\left(b-a\right)^{k}+\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,\left(b-a\right)^{n}.
    $$    Montrer que $$
                \lim_{b\to a}\frac{\xi-a}{b-a}=\frac{1}{\tbinom{n+p}{n}^{1/p}}\cdotp
          $$
    Source.  Surprises and Counterexamples in Real Function Theory de Rajwade et Bhandari, qui renvoit à Azpeitia, On the Lagrange remainder of the Taylor formula, American Math Monthly, vol 89(1982), n°5, p. 311-312.
  • Piteux_gore
    Modifié (8 Mar)
    Rebonjour,
    Il faut aussi que la fonction ne soit pas constante.
    À tantôt...
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
  • gebrane
    Modifié (8 Mar)
    Merci Ericpasloggue , donc mon calcul était juste, je le montre. 
    On applique le TAF sur [0, h] pour la fonction sinus, ainsi : $$\forall h > 0,\ \exists \theta(h) \in\, ]0,1[,\quad \sin h = h\cos(h\theta(h))$$
    D'où, pour h assez petit, $$\theta(h) = \frac{\arccos\left(\frac{\sin h}{h}\right)}{h}$$
    Et là, à la limite, on trouve $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 
    Ajout,  J'ai eu un doute car j'ai calculé par flemme la limite (c'est une forme indéterminée) par wolfram 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • MrJ
    MrJ
    Modifié (8 Mar)
    En continuant mes calculs précédents, on obtient pour tout $h\neq 0$ que
    $$\left(\dfrac{1}{2}- \theta(h)\right)f''(x) =  o(1) +  o(\theta(h)).$$
    On constate en effet qu'il faut ajouter l'hypothèse $f''(x)\neq 0$ pour avancer. De plus, il faut justifier (si c'est vrai) que $o(\theta(h)) = o(1)$ pour conclure.
  • gebrane
    Modifié (8 Mar)
    Mrj pour ta question $o(\theta(h)) = o(1) ?$
    On a $o( \theta(h)) = \theta(h))o(1)=o(1)$ car $\theta(h)$ est bornée ( comprise entre 0 et 1)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Piteux_gore
    Modifié (8 Mar)
    RERE,
    J'avais effectivement terminé mon raisonnement par $f''(a).\lim_{h→0}θ = f''(a)/2$, en oubliant le cas $f''(a) = 0$.
    À tantôt.
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
  • Oui bien sûr : je me suis embrouillé tout seul.  :D
  • Chaurien
    Modifié (8 Mar)
    J'ai retrouvé avec difficulté un vieux vieux papier sur cette question, que n'avais pas même tapé. Il y a longtemps que je ne la posais plus en colle, le $\theta$ de Taylor-Lagrange étant bien passé de mode.  Bravo à @Ericpasloggue  pour sa référence. Ce livre de Rajwade et Bhandari est d'une extraordinaire richesse, il me faudrait une seconde vie, comme le docteur Faust, pour étudier en profondeur de telles sources. Je joins l'article du Monthly.
    J'ai retrouvé deux sources anciennes dans le cas particulier $p=1$.
    • Gaston Casanova, Cours de Mathématiques spéciales, II, Algèbre et Analyse, Belin 1958, Chapitre V, exercice 10,  p. 104.
    • Edmond Ramis, Exercices d'analyse avec solutions développées, Masson et Cie 1968, n° 1-3-10, p. 31.
    Mais bizarrement, je ne retrouve pas de source aussi ancienne pour le cas général. Je l'ai retrouvé dans une source moins vieille mais qui date aussi :
    • Xavier Gourdon, Les maths en tête, Mathématique pour M', Analyse, Ellipses 1994, Chapitre II, Exercice 6, p. 79.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • En matière de taxes, les accroissements n'en finissent pas !...
    Il y a deux choses qu'il vaut mieux ne pas regarder en face : la gorgone et la vérité. (Mme Bavasky, Le déconomicon)
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