Développement limité
Réponses
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Le « problème » que ça pose, c'est que $\arccos (1+x)$, pour $x>0$, n'existe pas.Dans le langage courant, il vaut mieux être positif que négatif. et moi je trouve qu'il en est de même en mathématiques. Alors je préfèrerais considérer $\arccos (1-x)$ quand $x \rightarrow 0^+$.Noter que si $0 \le x \le 2$ alors $\arccos (1-x)=2 \arcsin \sqrt {\frac x2}$. La trigo, ça peut servir.
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Il existe un intervalle $I$ centré en $0$, où $\forall x \in I\setminus{\lbrace{0}\}}, \ \dfrac{x}{\tan x}<1$. (la fonction semble être paire).En y repensant je me demande si, demander le développement limité de la fonction $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \arccos(\cos(x))$ en $0$, est une question mal posée. (le DL n'existe pas en 0).
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Démonstration de : $\forall x \in [0,2], \arccos (1-x)=2 \arcsin \sqrt {\frac x2}$.Juste la définition, et un zeste de trigo.Soit $x \in [0,2]$, d'où $-1 \le 1-x \le 1$.Soit $\theta= \arccos (1-x)$, ce qui équivaut à : $1-x = \cos \theta$ et $\theta \in [0, \pi]$.Alors : $x = 1-\cos \theta= 2 \sin^2 \frac {\theta}2$, et $\frac {\theta}2 \in [0,\frac {\pi}2 ]$.Par suite : $ \sin \frac {\theta}2 =\sqrt {\frac x2}$, d'où : $\frac {\theta}2 = \arcsin \sqrt {\frac x2}$. Etc....................................................................................Et s'il te plaît, écris : ...comment trouves-tu cela ?...
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/trouver.php
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Ok, donc en utilisant cela, je trouve que le DL de $\arccos(1-x)$ en $0$ à l'ordre "5/2" est :$\arccos(1-x)= 2(\sqrt{x}/2 +\frac{1} {12\sqrt{2}} \sqrt{x} ^3 + \frac{3} {160\sqrt{2}} \sqrt{x} ^5) + \circ(\sqrt{x} ^5) $
Et j'en ai déduit que le DL de $ \arccos(\sqrt{\frac{x} {\tan x}}) $ en $0$ d'ordre 3 est $\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1} {72\sqrt{3}} x^3 + \circ (x^3)$ -
Bonsoir.Bizarre ce 2 en facteur pour $\arccos(1-x)$, qui se simplifie en développant. Et faut-il lire$\arccos(1-x)= 2(\sqrt{x}/\sqrt 2 +\frac{1} {12\sqrt{2}} \sqrt{x} ^3 + \frac{3} {160\sqrt{2}} \sqrt{x} ^5 + \circ(\sqrt{x} ^5)$qui donne$\arccos(1-x)= \sqrt{2}\sqrt{x} +\frac{\sqrt{2}} {12} \sqrt{x} ^3 + \frac{3\sqrt{2}} {160} \sqrt{x} ^5 + \circ(\sqrt{x} ^5) \ ?$À la fin, le facteur de $x^3$ est incorrect.
Cordialement. -
Oui, cela donne cela en développant le $2$.Est-ce que tu parles du facteur $\frac{1} {72\sqrt{3}} $ ?
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Je refais le calcul et je retrouve ce coefficient $\frac{1} {72\sqrt{3}}$
En prenant le développement :
$\arccos(1-x)= 2(\sqrt{x}/2 +\frac{1} {12\sqrt{2}} \sqrt{x} ^3 + \frac{3} {160\sqrt{2}} \sqrt{x} ^5) + \circ(\sqrt{x} ^5) $
Si il est bon ?
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Non, ce développement n'est pas le bon, le fait que x soit divisé par 2 et pas par $\sqrt 2 $ comme les autres termes devrait t'alerter. Ton premier terme est $\sqrt x$, il te suffit de tracer les courbes de $\arccos(1-x)$ et $\sqrt x$ au voisinage de 0 pour voir.
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J'ai dû faire une erreur de frappe. Le bon développement est celui que tu as donné plus haut ?
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Ce que tu donnes n'est pas un dl puisque la partie régulière d' un dl est un polynôme.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Tu peux ne pas l'appeler "développement limité" mais plutôt "développement asymptotique".Ou alors, tu passes outre la remarque de Gebrane.
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Ma remarque a sa place, il doit faire une différence entre un DL (classique) et un DLALorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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En je n’ai jamais vu DA dans un cours lors de ma formation. J’ai vu des DL. Puis dans des exercices on utilisait l’adjectif « asymptotique » où il fallait juste comprendre un changement de variable du genre $u=1/t$.
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Math65, j'ai donné le bon développement ci-dessus, ou plus exactement, Maple me l'a donné; je te l'écris :$\arccos(1-x)= \sqrt{2}\sqrt{x} +\frac{\sqrt{2}} {12} \sqrt{x} ^3 + \frac{3\sqrt{2}} {160} \sqrt{x} ^5 + \circ(\sqrt{x} ^5) \ $Il s'agit d'un développement en puissances de $\sqrt x$, donc pas vraiment d'un DL, ni d'un développement asymptotique, puisque c'est au voisinage d'une valeur finie, mais c'est ce qui est utile. Par contre, tu dois savoir que ta fonction n'a pas de DL (*) au voisinage de 0. S'il y a un DL d'ordre 1, la fonction est dérivable; ta fonction ne l'est pas.Cordialement.(*) sauf à l'ordre 0.
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Plutôt que d'utiliser directement une formule donnant $\arccos(1-x)$, tu peux remarquer que ta fonction $f:x\mapsto\arccos\left(\sqrt{\dfrac{x}{\tan(x)}}\right)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$ et commencer par faire un DL de $g(x)=\sin(f(x))=\sqrt{1-\dfrac{x}{\tan(x)}}$ puis un DL de $f(x)=\arcsin(g(x))$.
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Merci, Gérard, pour la correction du vocabulaire. J'ai repris le vocabulaire de Jlapin. Mon professeur de première année l'appelait développement limité généralisé en un point. Voici sa définition
Une condition nécessaire pour qu'une fonction admette un développement limité (classique) en un point \( x_0 \) est que \( f \) admette une limite en ce point (le développement limité serait au moins d'ordre 0). Si la limite de \( f \) en \( x_0 \) est infinie et s'il existe \( a > 0 \) tel que \( g(x) = x^a f(x) \) admette une limite en \( x_0 \), on dit que \( f \) admet un développement limité généralisé en ce point, donné en divisant le développement limité de \( g \) par \( x^a \).Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Donc je suis un peu perdu. On me demande un DL d'ordre 3 en 0 mais ma fonction n'en n'admet que jusqu'à l'ordre 0. Donc l'énoncé est faux ?
Je vais essayer la technique de bisam mais c'est déroutant. -
Non, l'énoncé prend la terminologie DL dans un sens un peu plus souple que le sens traditionnel.
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Comme il a été dit plus haut, la fonction $f$ ne possède pas de DL à un ordre supérieur ou égal à $1$ en $0$, puisqu'elle n'est pas dérivable en $0$.
En revanche, elle possède des DL à tout ordre à droite de $0$ (et à gauche de $0$, et c'est presque le même puisqu'elle est paire).Si je ne me suis pas trompé, on trouve : \[f(x)=\frac{|x|}{\sqrt{3}}\left(1+\frac{4}{45}x^2+O(x^4)\right)\] -
Deux représentations graphiques.La courbe semble très régulière sauf en zéro.En effet, la notion de DL à droite et à gauche prend du sens.
Si on se débrouille bien, on doit pouvoir former un cœur ♥️ 😀 avec un peu d’investissement. -
Reprenons. Car je n'arrive pas à retomber sur le résultat de bisam que j'ai aussi vu ailleurs.J'essaye déjà de trouver le DL de $\sqrt{1- \dfrac{x} {\tan(x)} } $Voilà comment je fais :$\sqrt{1- \dfrac{x} {\tan(x)} } =\sqrt{ \dfrac{\tan(x)-x} {\tan(x)} } =\sqrt{ \dfrac{x + x^3/3+ \circ (x^3) -x} {x + x^3/3+ \circ (x^3)} }=\sqrt{ \dfrac{x^2/3+ \circ (x^2) } {1 + x^2/3+ \circ (x^2)} }$Jusque là, c'est la bonne voie ?
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Bonsoir,Je ne sais pas si c'est la bonne voie, mais je vois une erreur d'inattention dans le dénominateur : le terme $x$ ne devrait-il pas être $1$, plutôt ?Cordialement, JLB
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@jelobreuil oui, j'ai corrigé
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C'est l'exemple classique d'une fonction paire dont les développements limités à droite et à gauche n'ont que des termes impairs non nuls. Autrement dit LE développement limité n'existe pas !
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Je pense qu'il faut plutôt partir avec le DL de tangente à l'ordre 6 :$\sqrt{1- \dfrac{x} {\tan(x)} } =\sqrt{ \dfrac{\tan(x)-x} {\tan(x)} } =\sqrt{ \dfrac{x + x^3/3+ 2/15x^5 + \circ (x^6) -x} {x + x^3/3+ 2/15x^5 + \circ (x^6)} }=\sqrt{ \dfrac{x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5) } {1 + x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)} }$
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Si je continue :
$\sqrt{ \dfrac{x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5) } {1 + x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)} }
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ \dfrac{1+ 2/15x^2 + \circ (x^3) } {1 + x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)} }
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ (1+ 2/5x^2 + \circ (x^3)) \dfrac{1} {1 + x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)} }
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ (1+ 2/5x^2 + \circ (x^3)) (1 - (x^2/3+ 2/15x^4 + \circ (x^5)) )}
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ (1+ 2/5x^2 + \circ (x^3)) (1 - x^2/3 + \circ (x^3)) }
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ (1+ 2/5x^2 - x^2/3 + \circ (x^3))}
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \sqrt{ (1+ 1/15x^2 + \circ (x^3))}
=\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} (1+ 1/2 \times 1/15x^2 + \circ (x^3))
$ Ainsi, $$\sqrt{1- \dfrac{x\vphantom{x^2}} {\tan(x)} } =\frac{\sqrt{x^{2}} }{\sqrt{3}} \big(1+ 1/2 \times 1/15x^2 + \circ (x^3) \big).$$Aussi, je me demande en quoi ce résultat est différent lorsque $x$ est proche de 0 par valeur inférieure et par valeur supérieure ? -
Simplement ça ne donne pas le même polynôme suivant que $x<0$ ou $x>0$.La valeur de $\sqrt x^2$ est connue des lycéens.Cordialement.
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