Démêlage de plein de trucs en calcul diff/géo diff

Bonjour, oui c'est un paramétrage mais en général c'est un paramétrage "local". (Attention à ton $P$ il n'est pas bijectif). Bon après on ne paramètre pas pour le plaisir de paramétrer tu peux le faire si tu en as envie mais un des intérêts c'est de pouvoir transporter des propriétés topologiques entre un espace et un autre. Voici ce qu'il faut changer, le $P$ part d'un ouvert (pas besoin de te casser la tête avec des produit de $I_k$) et va dans un autre ouvert et $P$ est un homéomorphisme.

Personnellement je préfère travailler dans l'autre sens (t'inverse le sens de la flèche) c'est à dire soit $U$ un ouvert de $V$, on regarde $P : U \subset V \to P(U) \subset \mathbb{R}^n$. (On peut croiser les deux sens dans la littérature).

Je pense que c'est plus naturel (au moins pour moi) car on part d'un espace abstrait et on le traduit avec un espace "concret" $\mathbb{R}^n$ (ça ne veut rien dire). En gros je n'aime pas emprisonner les $(x_1,...,x_n)$ dans $P$ je préfère emprisonner le point abstrait $p \in V$ et laisser les $x_i$ à l'air libre avec le sens des flèches que j'ai dit tu as $P(p)=(x_1(p),...,x_n(p))$. Mais bon de toute façon tu joues souvent avec $P$ et $P^{-1}$ en même temps. Et quand tu manipules des exemples concrets il y a des cas où un sens est plus pratique que l'autre donc ça dépend mais quand c'est abstrait tu connais maintenant ma préférence.

Tu peux relier ces histoires de coordonnées/cartes à un truc que tu connais déjà : soit $E$ un $R$ espace vectoriel de dimension $n$, $(e_i)$ une base, l'isomorphisme classique : $ \sum x_i e_i \mapsto (x_1,...,x_n)$ qui part de $E$ et qui va dans $\mathbb{R}^n$. C'est l'application qui à chaque vecteur de $E$ associe ses coordonnées (d'ailleurs dans le cadres des variétés un espace vectoriel topologique de dimension fini vient avec une carte globale c'est l'application que je viens d'écrire).

En fait j'ai mal répondu à ta question, si tu définis $P : \mathbb{R}^n \to V$ c'est un paramétrage, et le $P^{-1} : V \to  \mathbb{R}^n$ c'est le système de coordonnée/carte locale. (Et on n'oublie pas homéomorphisme.... ça ça ne change pas).

En calcul différentiel les notions sont locales (une variété topologique est un espace topologique tel que tout point de cet espace possède un voisinage homéomorphe à un produit d'intervalles).

Le couple $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ n'est pas un couple de variables.

@Homo Topi L'écriture de $f$ en coordonnée c'est la fonction $f\circ P$, c'est-à-dire $\overline{f}$, et $\overline{f}$ c'est la fonction $(r, \theta) \mapsto r$. Ce sont juste des définitions pourquoi tu te casses la tête, un système de coordonnées c'est un homéomorphisme $ P^{-1} : U \subset V \to P^{-1}(U) \subset R^n$. Et Le paramétrage associé à ce système de coordonnées c'est la réciproque $P$. L'important c'est plutôt comment va-t-on se servir de ces définitions ou pourquoi quelqu'un a été amené à définir ce genre de choses.

"Traditionnellement" = "par définition" semble-t-il.

Mais non, ce n'est pas la définition usuelle de la différentielle de $f$ en $a$.

La définition standard est la suivante : 

$df(a)$ est (sous réserve d'existence) l'unique forme linéaire $\varphi$ de $E$ vérifiant

$$f(a+h)=f(a)+\varphi(h)+o(h)$$

quand $h$ tend vers $0$.

Ensuite, on démontre des choses, le lien avec les dérivées partielles (i.e. les dérivées directionnelles dans les directions fixées par les vecteurs d'une base de $E$), les formules opératoires, etc.

Bonjour, il y a quelques trucs à corriger.
"Si je me donne une forme différentielle très simple $df$..., Alors dans la base $(dx,dy)$, $\text{d}f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\text{d}x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \text{d}y$. La notation est un peu ambigüe...".

Le problème ici c'est que si tu parles de base comme en algèbre linéaire tu ne peux pas écrire $\text{d}f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\text{d}x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \text{d}y$. Car la fonction $df$ n'est pas linéaire, donc tu ne peux pas dire "la fonction $df$ dans la base ... s'écrit ..." (ou alors précise ce que tu entends par là). 

Par contre soit $a \in \mathbb{R}^2$, la fonction $df(a)$ est linéaire et là tu peux dire une phrase du type dans la base ...  Ça lève l'ambiguïté de l'évaluation non ? 

Note que la formule $\text{d}f(a) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(a)\text{d}x + \dfrac{\partial f}{\partial y}(a) \text{d}y$, c'est exactement l'application de la formule suivante. Soit $ E,F$ deux espaces vectoriels de dimension finie, soit $(e_i)$ une base de $E$,  et soit $u : E \to F$ une application linéaire alors, 
$u= \sum_i u(e_i) e_i^*$ (avec ($e_i^*$) la base duale canonique associé à ... ).

Ça c'est la version EVN. 

Mais si tu tiens vraiment à parler de forme différentielle, on repart de cette formule : 
$\text{d}f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\text{d}x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \text{d}y$, tu dis que $df$ c'est une forme différentielle de degré 1  (tu peux appeler ça champ de formes linéaires) donc $df$ si on lui donne un point $a \in \mathbb{R}^2$ ça sort une forme linéaire. les $dx$, $dy$ c'est pareil ce sont aussi des champs de forme linéaires donc il faut aussi leurs donner un point $a$ et tu obtiens des formes linéaires (il n'y a pas de problème d'évaluation). Plus précisément si tu es dans une variété $M$, soit $(U, \psi)$ une carte locale (c'est à dire $\psi :U \to \psi (U) \subset \mathbb{R}^n$ (où $U$ est un ouvert de $M$ et $\psi$ un homéomorphisme). on peut noter $\psi =(x^1,...,x^n)$ comme je l'ai fais dans les messages précédents). Tu vois qu'il y a des appli coordonnés $x^i : U \to \mathbb{R}$, les $dx^i$ (donc dans ton cas $dx$ , $dy$) ce sont les différentielle de ces applications (attention à la définition de différentielle / fonction différentiable quand les fonctions ont un espace de départ ou arrivé dans une variété).

"$\displaystyle \int_{\gamma}u\text{d}x + v \text{d}y$ dans ma tête, ce n'est pas du tout la même chose que $ \displaystyle \int_{\gamma}u(x,y)\text{d}x + v(x,y) \text{d}y$  j'imagine que tout le monde fait l'amalgame des deux mentalement ..." Oui ce n'est pas la même chose et il n'y a pas d'amalgame à faire. Dans le contexte dans le quel tu as l'air de te placer j'aurai interpréter les $(u(x,y))$ $(v(x,y))$ comme des constantes qu'on peut sortir de l'intégrale (c'est un peu tordu d'écrire les choses comme ça). La première écriture est bien. Et tu peux avoir cette égalité : 

$\displaystyle \int_{\gamma}u\text{d}x + v \text{d}y := \int_a^b \Big[u\big(\gamma(t)\big)\text{d}x_{\gamma(t)}\big(\gamma'(t)\big) + v\big(\gamma(t)\big)\text{d}y_{\gamma(t)}\big(\gamma'(t)\big)\Big]\text{d}t$

Pourquoi j'aurai interprété le $u(x,y)$ comme une constante ? Sans rentrer dans les détails les champs de vecteurs et les champs de forme linéaire (ou forme différentielle de degré un) ont une relation spéciale. Les champs de vecteurs ont une structure de $C^{\infty}(M)$-module (où $C^{\infty}(M)$ est l'anneau des fonctions $ M \to \mathbb{R}$, indéfiniment dérivable. Les forme différentielles héritent aussi de cette structure de module.
Concrètement ça veut  dire soit $\omega$ une forme différentielle, soit $f : M \to \mathbb{R}$ une fonction... alors $ \mu =f \omega$ est encore une forme différentielle et l'évaluation en un point se fait de la façon suivante  $\mu_p= f(p)\omega_p$ (la loi entre le $f$ et $\omega$ c'est la multiplication je précise au cas où). Dans l'écriture $ \displaystyle \int_{\gamma}u(x,y)\text{d}x + v(x,y) \text{d}y$ les fonctions a gauche des formes sont déjà "chargées" donc je considère que ce sont des constantes (elles ne sont pas évaluées en même temps que les formes).

Pour $\R^2$, par définition il est déjà décrit en "coordonnée" avec les (coordonnées cartésiennes), les coordonnées polaires, ça peut être utilisé en local, mais [en] global non.

Oui  c'est bien ça GaBuZoMeu, je voulais dans un premier temps résoudre le problème de notation ambigüe/problème d'évaluation d'Homo Topi sans faire appel au module des formes différentielles, j'aurais peut-être dû mentionner ce que tu viens de dire au moment où j'ai parlé du module des formes. Merci pour la correction.

Que désigne $f$ dans ton dernier message?

Une forme différentielle est définie sur un ouvert de $\R^2$ mais $\mathrm ds$ n'a pas de sens hors de (l'image de) $\gamma$$.

1°) Soient $E,F$ deux espaces vectoriels normés réels (en pratique $F$ est presque toujours $\R$ lui-même, parfois $\C$ pour des applications aux fonctions holomorphes). Soit $V$ un ouvert de $E$. Une forme différentielle de degré 1 sur $V$ et "à valeurs dans $F$" (noter les guillemets) est une fonction de $U$ dans $\mathcal L(E,F)$, où $L(E,F)$ désigne l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$.

Comme $L(E,F)$ est lui-même un espace vectoriel normé (par $f \mapsto \sup \left \{\|f(x)\| \mid x \in E \wedge \|x\| \leq 1\right \}$), cela a un sens de parler de régularité pour une forme différentielle (qui pourra être continue , dérivable, $\mathcal C^1$ etc).

On suppose maintenant que $F$ est un Banach (pour que l'intégrale suivante ait un sens; pour les gens qui veulent éviter au maximum les complications conceptuelles liées à l'intégration à valeurs vectorielles, l'intégration des fonctions réglées s'y développe en un quart d'heure en recopiant la construction faite pour les fonctions à valeurs réelles; c'est le seul type d'intégrale qui sera requis dans ce qui va suivre). Soit $\omega$ une forme différentielle continue sur $V$ et à valeurs dans $F$. Soient $a,b\in \R$ tels que $a < b$ et $\gamma: [a,b] \to V$ une fonction $\mathcal C^1$. Alors $t\in  I\mapsto \omega\left (\gamma(t) \right ) \left (\gamma'(t) \right )$ est continue (copier la preuve qui dit que le produit de deux fonctions à valeurs réelles continues est continue). Ainsi l'intégrale $\int_a^b \omega\left (\gamma(t) \right ) \left (\gamma'(t) \right ) dt$ a un sens et se note de façon abrégée $\int_{\gamma} \omega$: c'est "l'intégrale de la forme différentielle $\omega$" le long de $\gamma$, qui est un élément de $F$ $(\dagger)$

 2°) Soient à nouveau $a,b$ tels que $a<b$ et $s$ une fonction $\mathcal C^1$ de $[a,b]$ dans $V$. Pour tout $t\in [a,b]$ on pose $s(t):= \int_a^t \|\gamma'(u)\| du$ (la longueur de $\gamma$ de $a$ à $t$ pour la norme considérée). On pose $s(b):= \ell$. Alors $s$ est une fonction $\mathcal C^1$ et croissante de $[a,b]$ dans $[0,\ell]$, surjective (vu qu'en plus $0$ et $\ell$ sont dans son image) et de dérivée $t\mapsto \frac{1}{\|\gamma'(t)\|}$. Lorsque la dérivée de $\gamma$ ne s'annule jamais, $s$ est alors un difféomorphisme sur son image et si $f: V \to F$ est une fonction quelconque, en posant $g:= f \circ \gamma \circ s^{-1}$ on a $f \circ \gamma = g \circ s$ et lorsque $f$ est $\mathcal C^1$, $g$ l'est aussi et $\int_0^{\ell} s'(u) g' \circ s(u) du = \int_a^b df (\gamma(t))\left  (\gamma'(t) \right) dt$ $(\dagger \dagger)$