Comment bien rédiger

2

Réponses

  • JLapin
    Modifié (24 Feb)
    par contre je suis à l'aise avec la notion d'images directe.

    Non, pas vraiment en fait. Mais si tu travailles assidument un cours et des exercices sur cette notion, tu pourrais le devenir.

  • Pour l'instant, je préfère observer attentivement, comprendre en écoutant à travers ses commentaires et terminer l'exercice de @NicoLeProf.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • JLapin a dit :

    Non, pas vraiment en fait. Mais si tu travailles assidument un cours et des exercices sur cette notion, tu pourrais le devenir.

    D'accord ! Je ferai comme vous dites. Merci.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf
    Modifié (24 Feb)
    Bonjour @Amadou,
    Que signifie la notation "$f(x)\subset f(\text{Vect}\{a\})$" que tu as écrite ici?
    Tu confonds appartenance d'un élément à un ensemble et inclusion. Deux notions certes liées mais pas interchangeables !
    Il faut que tu sois bien plus précis, bien plus vigilant sur tes notations, sur ta rédaction et sur l'utilisation des hypothèses.
    La suite n'est pas bonne non plus, je ne comprends pas ce que tu fais.
    Regarde ma correction de 3) :
    Soit $a \in E$.
    Montrons que $f(Vect\{a\})=Vect\{f(a)\}$.
    1ère inclusion : soit $y \in f(Vect\{a\})$, alors il existe $x \in Vect\{a\}$ tel que $f(x)=y$.
    $x \in Vect \{a\}$ donc il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $x=\lambda a$.
    Dès lors, $y=f(x)=f(\lambda a)=\lambda f(a)$ par linéarité de $f$.
    Donc $y \in Vect\{f(a)\}$ (il s'écrit sous la forme d'un scalaire multiplié par $f(a)$).
    On a prouvé que : $f(Vect\{a\})  \subseteq Vect\{f(a)\}$.
    2ème inclusion : soit $y \in Vect\{f(a)\}$.
    Alors, il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $y=\lambda f(a)=f(\lambda a)$ par linéarité de $f$.
    Or, $\lambda a \in Vect\{a\}$ donc $y \in f(Vect\{a\})$.
    On a prouvé que : $Vect\{f(a)\} \subseteq f(Vect\{a\})$.
    On a prouvé les deux inclusions souhaitées donc $f(Vect\{a\})=Vect\{f(a)\}$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @Amadou, écoute bien les conseils que l'on te donne ici. Je suis complètement d'accord avec JLapin : tu n'es pas assez à l'aise sur les notions de base pour pouvoir faire de l'algèbre linéaire.
    Essaie de faire quelques exos des feuilles envoyées par JLapin pour être plus à l'aise sur les ensembles, les applications etc.
    Par exemple, je serais curieux de voir comment tu fais l'exo 8 du premier lien envoyé par JLapin.
    De même, tu peux me proposer un raisonnement pour les exos 15 ; 16 et 17 du deuxième lien envoyé par JLapin.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @NicoLeProf, je reviendrai régulièrement pour revoir la rédaction de l'exercice. Après avoir comblé certaines lacunes, j'essaierai de répondre à votre dernière question. Les exercices 15, 16 et 17 du deuxième lien sont plutôt faciles. Je vais commencer par rédiger l'exercice 15.

    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    Supposons que $f\circ g \circ f$ est bijective.
    On a $f\circ g \circ f = (f\circ g)\circ f$ alors $f$ est injective.
    On a aussi $f\circ g \circ f = f\circ (g\circ f)$ alors $f$ est surjective.

    $f$ est injective et est surjective alors $f$ est bijective. Donc $f^{-1}$ existe.

    Par composition de $f^{-1}$ à gauche on a :
    $f^{-1}\circ f \circ g \circ f = (f^{-1}\circ f) \circ g \circ f = g\circ f$ donc $g$ est surjective.
    Maintenant par composition de $f^{-1}$ à droite on a :
    $f\circ g \circ f \circ f^{-1} = f\circ g \circ (f \circ f^{-1}) = f\circ g$ donc $g$ est injective.
    $g$ est injective et surjective alors $g$ est bijective.

    Deuxième méthode : 
    On a aussi $g=(f^{-1} \circ f) \circ g \circ (f \circ f^{-1})$ (par composition à droite et à gauche par une application bijective). Donc $g$ est bijective.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    Pour l'exo 17.
    Supposons que $f$ est surjective et montrons que $f$ est injective. 

    Soit $x_1$ et $x_2 \in E$ tels que $f(x_1)=f(x_2)$ (nous devons prouver que $x_1=x_2$).

    $f$ est surjective alors $f\circ f$ est aussi  surjective (car la composition de deux applications surjectives est surjectives), donc il existe $y_1$ et $y_2\in E$ tels que $x_1=(f\circ f)(y_1)$ et $x_2=(f\circ f)(y_2)$.

    Nous savons que $f(x_1)=f(x_2)$ alors en remplaçant $x_1$ et $x_2$ dans $f$ on a : $f(f \circ f)(y_1)=f(f\circ f)(y_2)$ ce qui entraîne $(f\circ f \circ f)(y_1)=(f\circ f\circ f)(y_2)$ alors $f(y_1)=f(y_2)$ alors $x_1=x_2$. Donc $f$ est injective.


    Supposons que $f$ est injective et montrons que $f$ est surjective.
    Soit $y\in E$, alors il existe $x\in E$ tels que $f(x)=y$. D'une par on a par hypothèse ($f\circ f\circ f)(y)=f(y)$. $f$ étant injective on a : $(f\circ f)(y)=y$.
    On a donc $f(x)=f(f(y))=y$. Donc $f$ est surjective. 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Supposons que $f∘g∘f$ est bijective.
    On a $f∘g∘f=(f∘g)∘f$ alors $f$ est injective.
    On a aussi $f∘g∘f=f∘(g∘f)$ alors $f$ est surjective.
    Que fais-tu? Quelles propriétés utilises-tu ici? Je suis peut-être un peu rigide mais pour moi, tu n'as rien démontré ici...
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    NicoLeProf a dit :
    Que fais-tu? Quelles propriétés utilises-tu ici? Je suis peut-être un peu rigide mais pour moi, tu n'as rien démontré ici...
    Je ne comprends pas, dans mon cours il est dit que si $f\circ g$ est injective alors $g$ est injective. Et si $f\circ g$ est surjective alors $f$ est surjective.

    Suis-je censé démontrer ceci dans mon exercice aussi ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • En fait j’ai eu la même réflexion que Nico. « Ok, mais pourquoi ? ». C’est difficile parfois de savoir les admis ou pas.
    Une chose est certaine : il faut savoir le démontrer. 
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    @Dom je pensais que les* "admises" peuvent souvent être utilisées dans un exercice sans les démontrer.

    *Propriétés.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (24 Feb)
    Suis-je forcément censer de préciser qu'ici, $f\circ g\circ f$ étant bijective, alors elle est injective et surjective ?
    Supposer que $f\circ g\circ f$ est injective, et continuer avec ma démonstration précédente. 

    Est-ce que c'est correct ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf
    Modifié (24 Feb)
    Ok pourquoi pas mais pour un lecteur comme moi qui n'a plus ce genre de propriétés en tête qui se redémontrent en 1 ligne, ce n'est pas évident de te suivre. En fait, il faut que tu expliques davantage ce que tu fais dans ta rédaction : quelle propriété tu utilises avec des connecteurs logiques.
    Surtout que la propriété que tu me cites est valable pour une composition de deux applications et ici on en a 3. Tout va bien oui, ça marche mais explique, détaille davantage ta démarche.
    Pareil ici, tu écris : 
    "Par composition de $f^{-1}$ à gauche on a :
    $f^{−1}∘f∘g∘f=(f^{−1}∘f)∘g∘f=g∘f$ donc $g$ est surjective."
    Il faut détailler davantage, la conclusion arrive de manière trop abrupte et je ne comprends pas ce que tu fais. Vu ton profil en tout cas (quelqu'un qui apprend encore), c'est d'autant plus important d'être bien compréhensible dans ton raisonnement.
    Logiquement aussi, c'est bizarre, en fait, tu as écrit : $g \circ f=g \circ f$ donc $g$ est surjective.
    Surtout que plus bas, je lis ceci :
    "Supposons que $f$ est injective et montrons que $f$ est surjective.
    Soit $y∈E$, alors il existe $x∈E$ tels que $f(x)=y$."
    Et là, je suis forcément méfiant envers ta maîtrise des bases car tu utilises comme hypothèse ce que tu veux démontrer. Donc ça ne peut pas être bon. "Soit $y∈E$, alors il existe $x∈E$ tels que $f(x)=y$." : c'est exactement la définition de la surjectivité de $f$, c'est ce que l'on veut prouver donc pourquoi partir de ceci? On ne le sait pas !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • À noter que j'ai aussi dit utiliser l'associativité  car l'application composée est associative.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Pour « bijective = injective et surjective » je pense que ce n’est pas la peine. 
    Pour l’associativité, parfois on ne prononce pas le mot mais on montre que l’on applique l’associativité comme ça : … = (ab)c = a(bc) = … 
    Ici, avec f et g. De ce côté là, j’avais bien compris que tu y faisais référence sans le dire explicitement. 
  • moinsun
    Modifié (24 Feb)
    Je saisis la discussion au vol et espère ne pas la faire dévier. 

    On apprend (parfois) par l'exemple. Un manuel peut être une bonne chose mais ça ne me semble jamais suffisant. Les exemples donnés en début de conversation donnent de sacrément bonnes habitudes. Mais je ne sais pas ce que ça vaut par rapport à la pratique et la confrontation avec de la "matière vivante" (c'est-à-dire un bon livre / papier bien écrit). Auriez-vous des exemples en tête de (relativement) courts passages qui montrent ce que c'est que "bien rédiger en maths" ? C'est certes une question de goût personnel mais j'ai entendu certains s'attacher à dire (plus ou moins sérieusement) que "l'écriture de bon goût avait été dictée par Serre". Lire la prose de Serre est un plaisir mais sans doute avez-vous des exemples plus "élémentaires" ?
  • JLapin
    Modifié (24 Feb)
    Auriez vous des exemples en tête de (relativement) courts passages qui montrent ce que c'est que "bien rédiger en maths" ?
    Ça dépend beaucoup du niveau du lecteur et de l'auteur...
    Pour aller un peu au delà de ce qui a été présenté qui me semblent des conseils très utiles à Bac $\pm$ 2, il y a ce texte de Michèle Audin.
    https://www.irif.fr/~jep/PDF/MPRI/Audin.pdf
  • Par contre il n’est pas question de « style » ou de « bon goût » dans ce fil. Ni même de « démonstration élégante ». C’est plutôt une manière d’être compris par « tout lecteur » avec des codes pas toujours écrits noir sur blanc. 
  • NicoLeProf a dit :
    Ok pourquoi pas mais pour un lecteur comme moi qui n'a plus ce genre de propriétés en tête qui se redémontrent en 1 ligne, ce n'est pas évident de te suivre. En fait, il faut que tu expliques davantage ce que tu fais dans ta rédaction : quelle propriété tu utilises avec des connecteurs logiques...
     :D Bah en fait, je sais que vous avez bien compris ce que je voulais dire par ma démonstration bien vrai que je sois novice, mais vous voulez m'apprendre à écrire encore plus meilleure. Une démonstration claire et très précise qui peut être comprise par tout le monde, même un amateur. 
    C'est trop cool ça, et je viens de réaliser que c'est comme ça qu'on devrait montrer les choses. Ah si tous les professeurs que j'ai eu dans le passé m'avait mis autant de pressions sur la manière d'être si rigoureux dans nos démonstrations...
    Donc je vais reprendre en expliquant encore plus chaque étape pour qu'on me comprenne mieux.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (25 Feb)
    @NicoLeProf ! Voici ce que j'ai pu faire.

    Supposons que $f\circ g \circ f$ est bijective. (Nous savons que si $f\circ g \circ f$ est bijective alors  $f\circ g \circ f$ est injective et est surjective.) 
    Montons que $f$ est bijective. Pour cela nous devrions montrer que $f$ est injective et surjective à la fois en deux cas.
    Injectivité de $f$.
    On a : \begin{align*}
    f\circ g \circ f & = (f\circ g)\circ f  \quad \text{(car la fonction composée est associative)} \text{(car la loi de composition $\circ$ est associative)} \\
    &= z\circ f \quad \quad \text{(avec $z=f\circ g$)} \\
    \end{align*} D'une part nous savons que si $z\circ f$ est injective alors $f$ est injective. Alors $f\circ g \circ f = z\circ f$ est injective si et seulement si $f$ est injective. 
    Ce qui démontre l'injectivité de $f$.
    Surjectivité de $f$.
    On a : \begin{align*}
    f\circ g \circ f & = f\circ (g\circ f)  \quad \text{(car la fonction composée est associative)} \text{(car la loi de composition $\circ$ est associative)}  \\
    &= f\circ h \quad \quad \text{(avec $h=g\circ f$)} \\
    \end{align*} D'autre part nous savons aussi que si $g\circ h$ est surjective alors $g$ est surjective.  Alors $f\circ g \circ f = f\circ h$ est surjective si et seulement si si $f$ est surjective.  Ce qui démontre donc la surjectivité de $f$.
    On a d'une part $f$ injective et d'autre part $f$ surjective alors on en deduit que $f$ est bijective. Donc $f^{-1}$ qui est la bijection réciproque de l'application $f$ existe.

    Montrons que l'application $g$ est bijective. Pour cela on procède en deux étapes. Dans un premier cas, nous devrions montrer qu'elle est surjective et dans un second cas qu'elle est injective en utilisant l'hypothèse précédente qu'est la bijection réciproque de l'application $f$.
    Par composition de $f^{-1}$ à gauche de $f \circ g \circ f$ on a : \begin{align*}
    f^{-1} \circ f \circ g \circ f & = (f^{-1} \circ f) \circ (g \circ f)    \quad \text{(Par associativité)} \\
    &= \text{Id$_{E}$} \circ (g\circ f) \\
    & = g\circ f \qquad \text{(car l'application identité Id$_{E}$ est neutre pour la loi $\circ$)}
    \end{align*} ce qui entraîne que $g$ est surjective puisque $f\circ g \circ f$ est supposée bijective. Ainsi on a montré que $g$ est surjective.
    Par composition de $f^{-1}$ à droite de $f \circ g \circ f$ on a : \begin{align*}
    f \circ g \circ f \circ f^{-1} & = (f \circ g) \circ (f \circ f^{-1})    \quad \text{(Par associativité)} \\
    &= (f\circ g) \circ \text{Id$_{E}$} \\
    & = f\circ g \qquad \text{(car l'application identité Id$_{E}$ est neutre pour la loi $\circ$)}
    \end{align*} ce qui implique que $g$ est injective puisque $f\circ g \circ f$ est supposée bijective. Ainsi on a montré que $g$ est injective.
    On a $g$ surjective et injective à la fois, alors elle est donc bijective. 

    Deuxième méthode : 
    On a aussi $g=(f^{-1} \circ f) \circ g \circ (f \circ f^{-1})$ (par composition à droite et à gauche par $f^{-1}$). Donc $g$ est bijective.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • gerard0
    Modifié (25 Feb)
    Bonjour.
    À ce niveau de détails, rappeler que $f^{-1}$ est bijective donc que $f^{-1}\circ f\circ g\circ f$ est bijective serait normal. Et c'est le principal argument de la deuxième méthode.
    Cordialement.
  • Amadou
    Modifié (25 Feb)
    Et là, je suis forcément méfiant envers ta maîtrise des bases car tu utilises comme hypothèse ce que tu veux démontrer. Donc ça ne peut pas être bon. "Soit $y∈E$, alors il existe $x∈E$ tels que $f(x)=y$." : c'est exactement la définition de la surjectivité de $f$, c'est ce que l'on veut prouver donc pourquoi partir de ceci? On ne le sait pas !
    Donc si je comprends bien dans mon raisonnement je dois enlèveer le "il existe $x\in E$" pour qu'elle soit correcte.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • À ce niveau de détails, rappeler que $f^{-1}$ est bijective donc que $f^{-1}\circ f\circ g\circ f$ est bijective serait normal. 
    Bonjour @gerard0 ! J'espère que ma démonstration pour cette fois ci est compréhensible. D'accord et merci pour la remarque, j'y prends note.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Bonjour @Amadou,
    en réponse à ceci :
    -> Pourquoi écris-tu "1er cas" et "2ème cas"? Tu ne raisonnes pas par disjonction de cas, tu veux montrer que $f$ est injective et surjective donc je te conseille d'écrire "Injectivité" à la place de "1er cas" par exemple. 
    Le raisonnement par disjonction de cas est un autre type de raisonnement que le raisonnement déductif que l'on utilise sur ce fil.
    -> "car la fonction composée est associative" ---> Non, cette justification n'est pas bonne, c'est la loi loi de composition $\circ$ qui est associative. 
    La fonction composée est la fonction obtenue en composant deux autres fonctions avec la loi $\circ$. Cela n'a pas de sens d'écrire "fonction composée associative" du coup. 
    ->  Alors $f∘g∘f=f∘h$ est surjective si et seulement si $f$ est surjective. ---> Erreur de logique ici, tu mets tout à coup un "si et seulement si" après un "donc" ( si $z∘f$ est injective alors $f$ est injective : c'est une déduction). Ainsi, l'équivalence logique arrive sans qu'on ne s'y attende et n'a pas été démontrée. Sois précis sur le vocabulaire utilisé. Il aurait fallu rester avec des "donc" (des déductions).
    -> Les remarques des points précédents s'appliquent aussi à la suite de ton raisonnement.
    De manière générale, ton post précédent montre que tu es à l'écoute des conseils donnés, que tu cherches à bien faire et que tu te montres soucieux des détails de rédaction et que tu souhaites te faire comprendre à l'écrit.
    Il y a de nets progrès niveau rédaction avec ton post précédent même si ce n'est pas parfait.
    Ta démarche est à la fois honorable et appréciable, je ne peux que t'encourager à poursuivre tes beaux efforts !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • NicoLeProf
    Modifié (25 Feb)
    Pour l'exo 17, je t'invite à reprendre la preuve du sens : "si $f$ est injective alors $f$ est surjective".
    Ce n'est pas seulement le "il existe" qu'il faut supprimer, c'est la preuve qui doit être repensée ici.
    Tu ne sais absolument pas qu'un $y$ dans $E$ quelconque possède un antécédent $x$ par $f$ : c'est justement ce que tu veux démontrer.
    Donc tu ne peux pas parler d'un $x$ vérifiant $y=f(x)$ dès le début.
    Ce n'est pas grave recommence en prenant $y$ quelconque dans $E$ et n'oublie pas d'utiliser la condition sur $f$ de l'énoncé. C'est très direct.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @NicoLeProf je les corrige immédiatement !
    Il y a de nets progrès niveau rédaction avec ton post précédent même si ce n'est pas parfait.
    Ta démarche est à la fois honorable et appréciable, je ne peux que t'encourager à poursuivre tes beaux efforts !
    Merci ! 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf a dit :
    Donc tu ne peux pas parler d'un $x$ vérifiant $y=f(x)$ dès le début.
    Ce n'est pas grave recommence en prenant $y$ quelconque dans $E$ et n'oublie pas d'utiliser la condition sur $f$ de l'énoncé. C'est très direct.
    D'accord ! En attendant je vous ma rédaction des autres.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (28 Feb)
    Bonjour @NicoLeProf ! J'espère que vous allez bien ainsi que les autres membres du forum. Voici la correction des exercices que vous m'avez demandé de faire (exo 8 fiche Rudiments,...) . Cependant, j'ai réussi à en faire certains, mais j'aurais besoin de plus d'explication pour les autres*** car je rencontre des difficultés.
    Soient $E$ un ensemble et $A,B,C \in \mathcal{P}(E)$. Montrons que : 
    1. $(\overline{A\cap {B}}) \setminus {C} = (\overline{C}\setminus {B})\cup (\overline{A} \setminus {C})$
    Soit $x\in E \,;\ x\in (\overline{{A}\cap {B}})\setminus {C}$.
    \begin{align*}
    x\in (\overline{A \cap {B}})\setminus {C} & \quad \text{alors} \quad x\in (\overline{ A\cap {B}}) \,\ \text{et} \,\ x\notin C \quad \text{(Définition de différence de deux ensembles.)}\\
    & \quad \text{donc} \quad x\in (\overline{A} \cup \overline{B}) \,\ \text{et} \,\ x\notin C \\
    & \quad \text{alors} \quad (x \in \overline{A} \text{ ou } x\in \overline{B}) \,\ \text{et} \,\ x\notin C \quad \text{( Définition de la réunion.)} \\
    & \quad \text{donc} \quad (x\in \overline{A} \text{ et } x\notin C) \,\ \text{ou} \,\ (x\in \overline{B} \text{ et } x\notin C) \quad \text{(Distributivité de et par ou.)} \\
    & \quad \text{alors} \quad (x \in \overline{A} \text{ et } x\notin C) \,\ \text{ou} \,\ (x\notin B \text{ et } x \in \overline{C}) \\
    & \quad \text{donc} \quad x\in \overline{A} \setminus {C} \,\ \text{ou} \,\ x\in \overline{C} \setminus {B} \\
    & \quad \text{alors} \quad x\in \overline{C} \setminus {B} \,\ \text{ou} \,\ x\in \overline{A} \setminus {C} \quad \text{(Commutativité de ou.)} \\
    & \quad \text{donc} \quad x\in (\overline{C} \setminus {B}) \cup (\overline{A} \setminus {C})
    \end{align*}
    D'où on a $(\overline{A\cap {B}}) \setminus {C} = (\overline{C}\setminus {B})\cup (\overline{A} \setminus {C})$.
    2. $A\setminus ({B}\cap{C})= (A\setminus {B}) \cup{(A\setminus C)}$.
    Soit $x\in E \,;\ x \in A\setminus ({B}\cap{C})$.
    \begin{align*}
    x \in A\setminus ({B}\cap{C}) \quad & \text{alors} \quad x\in {A} \text{ et } x\notin {B}\cap{C} \\
    & \text{donc} \quad x\in {A} \text{ et } x\in \overline{B\cap{C}} \\
    & \text{alors} \quad x\in {A} \text{ et } x\in \overline{B} \cup \overline{C} \\
    & \text{donc} \quad x\in {A} \text{ et } (x\in \overline{B} \text{ ou } x\in \overline{C}) \\
    & \text{alors} \quad (x\in {A} \text{ et } x\in \overline{B}) \text{ ou } (x\in {A} \text{ et } x\in \overline{C}) \\
    & \text{donc} \quad (x\in {A} \text{ et } x \notin {B}) \text{ ou } (x\in A \text{ et } x \notin {C}) \\
    & \text{alors} \quad x\in A\setminus{B} \text{ ou } x\in A\setminus{C} \\
    & \text{donc} \quad x\in (A\setminus{B}) \cup (A\setminus{C})
    \end{align*}
    D'où on a l'égalité $A\setminus ({B}\cap{C})= (A\setminus {B}) \cup{(A\setminus C)}$.
    3. $A\cup {B} = B\cap{C} \Longleftrightarrow A\subset B \subset C$.
    Supposons que $A\cup {B} = B\cap{C}$ et montrons que $A\subset B \subset C$.
    Soit $x\in A$ alors $x\in A\cup {B}$ donc $x\in B\cap {C}$ ce qui entraîne que $x\in B$. D'où $A\subset B$.
    Soit $x\in B$ alors $x\in A\cup {B}$ donc $x\in B\cap C$ ce qui entraîne que $x\in {C}$. D'où on a $B\subset C$.
    On a alors $A\cup {B} = B\cap{C} \Rightarrow A\subset B \text{ et } {B}\subset C$. (*)
    Supposons que $A\subset B \subset C$ et montrons que $A\cup {B} = B\cap{C} $.
    On a $A\subset B \text{ alors } A\cup {A} \cup {A\cup {B}} \text{ donc } A \subset {A\cup {B}}$. Or par hypothèse $A\cup {B}$ alors $A\cup {B} = B$.
    On a aussi $B\subset C \text{ alors } B\cap{B} \subset {B\cap {C}} \text{ donc } B\subset {B\cap{C}}$.
    Or par hypothèse $B\subset C \text{ alors } B\cap{C}=B$.
    Nous avons $B=B$ ce qui implique que $A\cup {B}=B\cap{C}$.
    Donc $A\cup {B} = B\cap{C} \Leftarrow A\subset B \subset C$. (**)
    De (*) et (**) on en déduit que $A\cup {B} = B\cap{C} \Longleftrightarrow A\subset B \subset C$.
    D'où $A\cup {B} = B\cap{C} \Longleftrightarrow A\subset B \subset C$.
    ...................
    *** Surtout la question 4) j'ai saisi le concept de supposition mais je ne vois pas comment avancer. Besoin d'un indice de raisonnement.
    La question 5) ainsi que l'exo 9 je le fais sur une feuille, puisque la rédaction en latex pour un débutant comme moi est pénible :)
    Je ne comprends pas non plus pourquoi il est dit << RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE >> pour l'exo 9 ?.
    [Dans une expression mathématique, si l'on veut aller à la ligne, IL FAUT IMPÉRATIVEMENT utiliser simultanément "Maj + Retour".
    "Retour" seul fait planter la compilation $\LaTeX$. AD]

    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Foys
    Modifié (28 Feb)
    @Amadou tu devrais lire des livres de logique formelle (comme par exemple https://www.amazon.fr/Introduction-logique-démonstration-exercices-corrigés/dp/2100067966 ) afin de savoir ce qu'est une démonstration. Sinon tu ne pourras pas savoir ce que c'est et encore moins en rédiger une (inférer ce qu'est vraiment une démonstration à travers les 8521 formes spécifiques de raisonnement qu'on pourrait te proposer comme "alors là il faut dire ceci après avoir fait une initialisation" n'est pas viable). Certaines personnes touchées par la grâce ont vu la bonne représentation mentale de ce qu'est une démonstration se cristalliser dans leur cerveau sur la base des présentations vagues qu'on leur en a faite dès le plus jeune âge et ont pu enchaîner les 18/20 en maths sans strictement rien faire jusqu'à BAC+2 (une fois évacuées les barrières de langages et ambiguïtés sur les règles la difficulté de la presque totalité des activités de maths proposées jusqu'au M1 contemporain grosso-modo est inférieure à celle jeux de plages publiés dans Marie-Claire ou Super Picsou géant). Mais pour la majorité des gens ce n'est pas le cas et ils entretiennent des confusions handicapantes qui les forcent à apprendre des centaines de sortes de règles ou de solutions d'exercices apprises par cœur.
    Les règles des maths sont exhaustivement exposées dans des bouquins de logique. Ou alors il existe le traité Bourbaki et son premier volume ("théorie des ensembles - l'édition de 1970") qui marche (il livre une extension conservative de ZFC : un système qui a la capacité d'héberger toutes les maths jusqu'au niveau au moins de l'agreg voire plus si on rajoute des axiomes d'univers : cf théorie des ensembles de Tarski-Grothendieck).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys met un espace entre le l'url et la parenthèse finale (voire retire cette dernière) afin que le lien fonctionne.
  • @Foys il me semble que le lien n'est pas fonctionnel. Je reçois ceci << Nous sommes désolés. L'adresse Web que vous avez saisie n'est pas une page fonctionnelle de notre site. >>
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Réparé; merci @dp !
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Amadou
    Modifié (28 Feb)
    @Foys, je vois Licence 3,... Est-ce que ce manuel est vraiment adapté pour moi qui commence à apprendre les mathématiques supérieures (Niveau L1) ? En ce qui concerne votre dernier paragraphe, je préfère éviter les manuels de Bourbaki, car je suis sûr que je ne vais rien comprendre. 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • J'aime bien ta remarque @Foys sur les enfants "touchés par la grâce". Quand on mesure "l'intelligence logico-mathématique" des enfants, par exemple via un test de QI, c'est très précisément ceci qui est évalué : la capacité à inférer des règles non-explicitement données. Voilà pourquoi il y a des questions du type "compléter la suite logique : $1,3,7,15,...$ Ces questions ne sont pas du tout mathématiques, on le sait bien, mais de façon amusante les gamins qui sont doués pour ce genre de problèmes sont très doués en maths. Le point commun est qu'ils sont capable de trouver les règles qu'on ne leur donne pas.
  • Ces questions ne sont pas du tout mathématiques, on le sait bien, mais de façon amusante les gamins qui sont doués pour ce genre de problèmes sont très doués en maths. Le point commun est qu'ils sont capable de trouver les règles qu'on ne leur donne pas.
    Je ne suis pas d'accord, mais on m'a toujours dit que j'étais bon en calcul logique et en jeux de réflexion. Je peux les résoudre facilement, ainsi que les questions d'intelligence faisant intervenir des notions de logique. Cependant, j'ai du mal avec les raisonnements mathématiques et les démonstrations.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (28 Feb)
    Pour être honnête, je n'ai fait aucune recherche sur internet où que ce soit ailleurs. Comme on a $0+1=1$ et $1+2=3$ et $3+4=7$ et $7+8=15$. Je peux déduire la continuité de votre suite. Une formule générale pour votre suite serait ainsi : $(n+(n+1))$ avec $n$ le dernier nombres ou chiffres. 
    Ne me demandez pas la différence entre nombres et chiffres je le sais déjà :).
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Dom
    Dom
    Modifié (28 Feb)
    Cyrano, 
    oui, ils devinent des implicites (et ce que voulait l’auteur). 
    Mais c’est parfois un atout à court terme puis un énorme handicap à long terme. 
    Petit exemple du « faux bon en maths ». 
    ——
    Un dé est truqué avec la loi suivante. 
    p(1)=1/15
    p(2)=2/15
    p(3)=3/15
    p(4)=4/15
    p(5)=5/15
    Combien vaut p(6) ?
    ——
    Le pire étant que l’élève « faux bon » va parler de piège car dans sa tête l’implicite est plus fort que le texte lui-même.
  • Amadou
    Modifié (28 Feb)
    @Dom si c'est une question qui s'adresse à moi.
    Alors je réponds ainsi.

    Un dé à six faces nous connaissons la probabilité des 5 faces. Nous savons que la somme des probabilités est $1$. Donc je fais p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1. Je tire p(6) en remplaçant les choses par leurs valeurs et faire le calcul. Le résultat obtenu est la valeur de p(6).
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Salut Amadou, 
    c’était pour illustrer ce que disait Cyrano. 
  • Amadou
    Modifié (28 Feb)
    Salut @Dom ! Ok, je vois.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • @Amadou un indice pour la 4) : Si $E=A\cup B$ alors $C=C\cap E=C\cap (A\cup B )=(C\cap A) \cup  (C\cap B )...$ à partir de là tu devrais pouvoir terminer.
  • Est-ce que l’un des membres du forum a appris la logique formelle de niveau master avant de faire des exercices d’algèbre linéaire de niveau L1 ?
  • Dans ma formation (classique) en DEUG1 (L1 actuelle) j’ai juste vu les rudiments. Rien que des définitions vues avec les tables de vérité. 
  • NicoLeProf
    Modifié (28 Feb)
    Je n'ai pas regardé en détails car j'ai du boulot en ce moment.
    @Amadou, tu fais de bonnes choses mais pourquoi as-tu seulement prouvé une inclusion pour les deux premières questions? Il faut raisonner par doubles inclusions pour prouver une égalité d'ensembles !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • JLapin
    Modifié (28 Feb)
    Est-ce que l’un des membres du forum a appris la logique formelle de niveau master avant de faire des exercices d’algèbre linéaire de niveau L1 ?

    J'ai fait un peu de logique (pas énormément loin s'en faut) et ma réponse à cette question sera donc "Je ne sais pas".

  • gerard0
    Modifié (28 Feb)
    Est-ce que l’un des membres du forum a appris la logique formelle de niveau master avant de faire des exercices d’algèbre linéaire de niveau L1 ?

    Un, peut-être. pas moi, ni tous ceux de ma génération. Mais il y a une prétention de la logique à être la base des maths, et certains confondent "présentation ordonnée des maths" avec "activité mathématique", voire avec "enseignement des mathématiques".
    Cordialement.

  • Foys
    Modifié (29 Feb)
    @gerard0 a dit : Un, peut-être. pas moi, ni tous ceux de ma génération. Mais il y a une prétention de la logique à être la base des maths, et certains confondent "présentation ordonnée des maths" avec "activité mathématique", voire avec "enseignement des mathématiques".
    Cordialement.
    Il y a un théorème de complétude qui dit que tout ce qui est vrai dans toutes les structures vérifiant des axiomes donnés est prouvable (avec les règles étudiées par la logique formelle).
    Dans sa version la plus récente ce théorème ne suppose que la logique intuitionniste du second ordre.
    https://www.irif.fr/~krivine/articles/completude.pdf
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • gerard0
    Modifié (29 Feb)
    Quel rapport avec mon propos ? Est-ce une illustration ?
    Bizarrement, ce genre d'intervention me rappelle les propos de certains membres de sectes, incapables de penser à autre chose que ce qui se dit dans la secte.
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