Équation fonctionnelle

Bonjour,

Je cherche à déterminer les fonctions continues $]0\,;+\infty[\longrightarrow]0\,;+\infty[$ telles que pour tout réel $x>0$,
$$f(x)=f(x^2f(x))\,.$$
Les fonctions constantes (strictement positives) et la fonction $x\longmapsto\dfrac{1}{x}$ sont solutions, mais y en a-t-il d'autres ? 
Merci pour votre aide.
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Réponses

  • bd2017
    Modifié (28 Feb)
    Bonjour
    En posant $g(x)=x^2 f(x)$ l'équation fonctionnelle est plus simple.   En particulier elle vérifie $g(y)=y$ sur un intervalle à préciser. 
     
  • On peut aussi raccorder ces deux solutions : $f(x)=1/x$ si $x\geqslant a$ et $f(x)=1/a$ si $x<a$.
  • bisam
    Modifié (28 Feb)
    On peut également échanger les inégalités dans ce raccordement.
    On peut peut-être distinguer les cas en étudiant les bornes de l'intervalle image de $f$ ?
  • @bd2017 Comment fais-tu pour prouver que $g(y)=y$ sur un intervalle ?
  • gebrane
    Modifié (29 Feb)
    les solutions s'écrivent f=g/x² avec g une fonction idempotente ( gog=g) on recolle pour avoir la continuité
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Je ne comprends pas pourquoi $g\circ g=g$ ?
  • gebrane
    Modifié (29 Feb)
    Tu as $x^2f(x)=x^2f(x^2f(x))$  donc le $g$ de bd vérifie $g\circ g=g$.   Me trompé-je ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • bisam
    Modifié (29 Feb)
    Oui, tu te trompes.
    Si on pose $g:x\mapsto x^2f(x)$ alors $g$ vérifie \[\forall x>0, \quad \frac{g(x)}{x^2}=f(x)=f(g(x))=\frac{g(g(x))}{g(x)^2},\] donc \[\forall x>0, \quad g(g(x))=\frac{g(x)^3}{x^2}.\] On peut éventuellement ensuite, pour un $x>0$ fixé, poser $x_0=x$ et $\forall n\in\N, \ x_{n+1}=g(x_n)$ et la suite $(\ln(x_n))_{n\in\N}$ est alors une suite récurrente linéaire d'ordre 2 qui se calcule bien... mais ça n'apporte pas grand chose au schmilblick, malheureusement.
  • Je confirme, je suis mauvais en calcul de tête
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • zygomathique
    Modifié (29 Feb)
    salut

    je ne comprends pas non plus comment @bd2017 a trouvé son résultat ...

    par contre en posant $ h(x) = x f(x) $ alors : 

    $ f(x) = f(x^2 f(x)) \iff h(x) = xf(xh(x)) \iff [h(x)]^2 = h [xh(x)] $

    mais je ne sais pas si ça peut aider ...

    [édit : modifié pour répondre à la remarque de @bisam ]

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @zygomathique : Si tu ne veux pas embêter le monde avec une notation déjà utilisée, il serait peut-être bon de renommer ta fonction avec une autre lettre que $g$, qui est déjà pris !
  • gerard0
    Modifié (29 Feb)
    Bonsoir Bd2017.
    On a bien, avec $g(t) =t^2 f(t)$,  la relation $g(x)=x^2f(x) = x^2f(x^2f(x))$, mais ça ne donne pas $g(g(x)) = g(x)^2 f(g(x)) =(x^2 f(x))^2f(x^2f(x))$ ($t=g(x)$ dans un premier temps, puis $t=x$).
    Le piège est subtil !
    Cordialement.
  • bd2017
    Modifié (29 Feb)
    Oui  j'ai bien vu que je me suis trompé.
    Finalement le problème reste ouvert ?
     
  • gebrane
    Modifié (29 Feb)
    Quand même  la seule [fonction] continue strictement monotone de $\R^*_+\to \R^*_+$ est bien $1/x$.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ce dont je suis certain c'est que si on veut de la stricte monotonie, on aura nécessairement $f(1) = 1$.
  • Bof,  Si f est strictement monotone alors f est inversible et tu appliques $f^{-1}$ à l'égalité 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Et si elle est strictement monotone sur un intervalle alors même chose sur ledit intervalle. 
    Quid s’il existe un intervalle sur lequel elle n’est pas monotone ?
  • Dom il y a problème si $f:  I\to \R^*_+$ inversible car on aura seulement $$f^{-1}\circ f(x)=x\quad  si\,  x\in I$$
    tu ne peux rien dire sur $f^{-1}\circ f(xf(x)),\quad \forall x\in I$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Exact. On peut simplifier l’écriture à gauche mais pas à droite sans discussion…
  • marco
    Modifié (1 Mar)
    On montre que $x \mapsto x^2f(x)$ est injective. En effet, si $x^2f(x)=y^2f(y)=z$, alors $f(z)=f(x^2f(x))=f(y^2f(y))$ et en utilisant la propriété de $f$, on a $f(z)=f(x)=f(y)$, donc $z=x^2f(z)=y^2f(z)$, donc $x^2=y^2$ et donc $x=y$.
    On montre que, pour tout $n$ entier positif $f(x)=f(x^{2^n}f(x)^{2^n-1})$ (par récurrence).
    Si $x \mapsto x^2f(x)$ est strictement décroissante, alors, si $x<y$, on montre $x^{2^n}f(x)^{2^n-1}<y^{2^n}f(y)^{2^n-1}$, si $n$ est pair et $x^{2^n}f(x)^{2^n-1}>y^{2^n}f(y)^{2^n-1}$ si $n$ est impair.
    Donc en prenant la racine $2^n$-ième, $xf(x)^{1-1/2^n}<yf(y)^{1-1/2^n}$ si $n$ est pair, et $xf(x)^{1-1/2^n}>yf(y)^{1-1/2^n}$ si $n$ est impair.
    Donc en prenant la limite lorsque $n$ tend vers l'infini, on obtient $xf(x)\leq yf(y)$ et $xf(x)\geq yf(y)$, donc $xf(x)=yf(y)$. Donc $f(x)=\frac{f(1)}{x}$, en choisissant $y=1$. Donc $x\mapsto x^2f(x)=f(1)x$ est croissante, ce qui est contradictoire.
    Si $x \mapsto x^2f(x)$ est strictement croissante, alors si $x<y$, on montre $x^{2^n}f(x)^{2^n-1}<y^{2^n}f(y)^{2^n-1}$, donc en prenant la racine $2^n$-ième, et en passant à la limite lorsque $n$ tend vers l'infini, on a $xf(x) \leq yf(y)$.
    Donc $x \mapsto xf(x)$ est croissante.
    Soit $a$ la limite de $xf(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
    Supposons $a>0$, alors $a\leq xf(x)$ pour tout $x$, donc $ax \leq x^2f(x)$, donc, comme $x \mapsto xf(x)$ est croissante, on a $(ax)f(ax) \leq x^2f(x) f(x^2f(x))$, donc $axf(ax) \leq x^2f(x)^2$ en utilisant la propriété de $f$, donc en prenant la limite lorsque $x$ tend vers $0$, on a $a \leq a^2$, donc $a \geq 1$.
    Soit $b$ la limite de $xf(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
    Supposons $b< + \infty$, alors $xf(x) \leq b$, donc, $ x^2f(x) \leq bx$. De même, en utilisant la croissance de $x \mapsto xf(x)$, $x^2f(x)f(x^2f(x)) \leq bxf(bx)$, donc $b^2 \leq b$, donc $b \leq 1$.
    Donc $1 \leq a \leq xf(x) \leq b \leq 1$, donc $f(x)=1/x$.
    Donc, si il existe un réel $a>0$ et un réel $b$ tel que, pour tout $x\in \R^{+*}$, $a\leq xf(x)\leq b$, alors on peut montrer que pour tout $x$, $f(x)=1/x$.
  • Titi le curieux
    Modifié (1 Mar)
    Bonsoir,
    Bien vu gebrane pour le coup de la bijection. Je voulais une idée que j'avais, mais en fait c'était moins bien que ce qu'a fait marco
  • gebrane
    Modifié (2 Mar)
    Bonjour @marco,

    Tu démontres d'une manière très compliquée que si \( g \) est strictement croissante (c'est le \( g \) de bd2017), alors \( f \) est la fonction \( \frac{1}{x} \). Moi, je le vois d'une manière plus simple : on a \( \forall x > 0, \quad \frac{g(x)}{x^2} = \frac{g(g(x))}{g(x)^2} \). Si je pose \( h(x) = \frac{g(x)}{x^2} \), alors \( h(x) = h(g(x)) \). Donc, si \( g \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}^*_+ \), alors \( h \) est aussi strictement croissante sur \( \mathbb{R}^*_+ \), ( edit je ne sais pas quelle mouche m'a piquée pour croire que 1/x² est croissante merci marco ) donc inversible et un coup de \( h^{-1} \) donne \( \forall x > 0, \quad g(x) = x \).
    Mais cela ne donne pas toutes les solutions possibles
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • D'après bd2017, $g(x)=x^2f(x)$. J'ai montré que $g$ est strictement croissante. Mais je n'ai pas montré que si $g$ est strictement croissante, alors $f$ est $1/x$, car c'est faux, par exemple si $f$ est constante.
  • marco a dit :

    Si $x \mapsto x^2f(x)$ est strictement décroissante, .... ce qui est contradictoire.
    Si $x \mapsto x^2f(x)$ est strictement croissante, alors....$x \mapsto xf(x)$ est croissante.
    Soit $a$ la limite de $xf(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
    ....., donc $a \geq 1$.
    Soit $b$ la limite de $xf(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
    ...., donc $b \leq 1$.
    Donc $1 \leq a \leq xf(x) \leq b \leq 1$, donc $f(x)=1/x$.

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • etanche
    Modifié (2 Mar)
    @ uvdose c’est très bien cette équation fonctionnelle pas évidente à résoudre . Tu l’a inventé ? Je l’avais jamais rencontré. Merci de l’avoir posté.

  • Lirone93
    Modifié (2 Mar)
    Perso à la physicienne, juste pour essayer de comprendre ce qu'il se passe : je pars de la définition du nombre dérivé en $x$, pour démontrer à partir de l'hypothèse de continuité de $f$ que $f$ est dérivable si $x\neq 0$.
    Ensuite disjonction de cas : si $f$ est dérivable en $0^{+}$, alors $f$ est constante. Si $f$ n'est pas dérivable en $0^{+}$, on suppose que $f$ admet un équivalent en $0^{+}$ (je ne sais pas quel théorème utilisé pour ça).
    On appelle $h(x)$ cet équivalent et on utilise, la relation de départ : 
    $f(x)\underset{0^{+}}{\sim} h(x) \\
    f(x^2 f(x))\underset{0^{+}}{\sim} h(x) \\
    h(x^2 h(x))\underset{0^{+}}{\sim} h(x) \\
    x^2 h(x)\underset{0^{+}}{\sim} x$
    D'où $h(x)=\frac{1}{x}$. Après je sèche (le but est de montrer qu'alors $f(x)=\frac{1}{x}$).

    Désolé par avance, j'ai bien conscience du manque énorme de rigueur mathématique dans tout ça, et les passages à la physicienne (et encore en étant gentil) mais je voulais juste partager le peu que j'avais réussi à produire, si ça peut aider à trouver une piste rigoureuse vers la solution complète.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • @gebrane : En citant @marco, tu as oublié de citer les deux suppositions "Supposons $a>0$" et "Supposons $b<+\infty$".

    @marco : Bien joué d'avoir réussi à prouver que $g:x\mapsto x^2f(x)$ est injective puis strictement croissante pour en déduire que $h:x\mapsto xf(x)$ est elle aussi croissante.

    J'avais quant à moi commencé à raisonner sur l'intervalle image $H=Im(h)$, en remarquant que si $a\in H$ alors $a^2\in H$. 
    En particulier, puisque $H$ est un intervalle, on en déduit que s'il existe $a>1$ tel que $a\in H$ alors $\left[a,+\infty\right[ \subset H$ et de même s'il existe $0<a<1$ tel que $a\in H$ alors $\left]0,a\right] \subset H$.
    Je cherche encore à prouver que $\inf(h)\leq 1$ et $\sup(h)\geq 1$.
  • Lirone93
    Modifié (4 Mar)
    On considère la relation $\mathcal{R}$: $\forall x \gt 0,\ f(x)=f(x^2 f(x))$
    Introduction
    Supposons que $f$ soit prolongeable par continuité en $0$, et on pose $f(0)=y_0,\ y_0 \in\ \mathbb{R^{*+}}$ puisque la relation de départ.

    Solution

    1. Soit $g$ une fonction satisfaisant la relation $\mathcal{R}$ qui ne soit pas prolongeable par continuité en $0$, c'est-à-dire : 
    $\forall x \gt 0$, $g(x)$ peut s'écrire sous la forme $g(x)=\frac{1}{x} + m(x)$ (Equation $\mathcal{E}$).
    Remarque : $m$ est continue par conséquence de l'hypothèse de continuité des solutions $f$ recherchées.
    On a donc :
    $g(x^2\ g(x))= g(x + x^2\ m(x))$
    $=\frac{1}{x+x^2\ m(x)}+ l(x+x^2\ m(x))$
    $g$ étant solution :
    $\frac{1}{x} + m(x)=\frac{1}{x+x^2\ m(x)} + m(x+x^2 m(x))$ avec $x+x^2 m(x)$ qui ne peut s'annuler (*).
    En posant $l(x)=1+x\ m(x)$ (soit $m(x)=\frac{ l(x)-1}{x}$), on a :
    $l(x)=\frac{1}{l(x)}+ x\ m(x\ l(x))$.
    On a donc :
    $l(x)^2=1 + x\ l(x)\ m(x\ l(x))$
    $l(x)^2=1 + x\ l(x) \frac{l(x\ l(x)))-1}{x\ l(x)}$
    $l(x)^2=1 + l(x\ l(x)) - 1$
    $l(x)^2=l(x\ l(x))$
    $l(x)=\pm\ \sqrt{l(x\ l(x))}$
    Maintenant, d'après le théorème du point fixe (je ne l'ai pas vérifié mais le point fixe doit être répulsif, en ayant montré avant que $l$ était bien dérivable), on a :
    $l(x)=\ell$ où $\ell \in\ \mathbb{R}$.
    Et $g(x)=\frac{1}{x} + m(x)$
    $g(x)=\frac{1}{x} + \frac{\ell}{x} - \frac{1}{x}$
    $g(x)=\frac{\ell}{x},\ \ell \in \mathbb{R^{*}}$.
    $g$ est bien non prolongeable par continuité en $0$. En injectant $g$ dans la relation de dépat, on trouve $\ell=1$ et $g(x)=\frac{1}{x}$

    2. Supposons maintenant qu'une fonction $h$ soit solution de $\mathcal{R}$ et prolongeable par continuité en $0$.
    En montrant que toutes les dérivées successives de $h$ sont nulles en $0$, seule les fonctions constantes $h(x)=h(0)=y_0,\ \forall x \ge 0$ sont solutions.

    Conclusion
    L'ensemble des solutions des fonctions satisfaisant $\mathcal{R}$ est :
    $\begin{array}{l|rcl} & \mathbb{R^{*+}} & \longrightarrow & \mathbb{R^{*+}} \\ & x & \longmapsto & \frac{1}{x} \end{array}$
    Et
    $\begin{array}{l|rcl} & x & \longmapsto & y_0\text{, où }y_0 \in \mathbb{R^{*+}} \end{array}$

    (*) à savoir $\not\exists x^{*}$ tel que $x^{*}+(x^{*})^2 m(x^{*})=0$ c'est-à-dire $m(x^{*})=-\frac{1}{x^{*}}$

    FIN.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Je me suis arrêté à la phrase « posons … $1/x+l(x)$ ». 
    Qu’est-ce que $l$ ici ?
  • Lirone93
    Modifié (2 Mar)
    C'est un changement de variable tu cherches trop compliqué. Ce ton un peu acerbe est-il bien nécessaire ?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Ha zut. Non, non, ce n’était pas fait pour provoquer. 
    J’étais en pleine lecture, intéressé par ton texte. Et comme je n’ai rien vu qui dépendait de $f$, cela m’a intrigué. La notation $g$ et la notation $l$ ne sont pas  présentées. 
    Ou alors ce sont des notations utilisées dans des messages précédents ?
  • Lirone93
    Modifié (2 Mar)
    Je n'ai pas écrit : « si g respecte la relation R etc. » ?
    Ça veut juste dire g est solution. C'est tout.

    Bon ça aurait peut-être plus lisible pour toi. si j'avais gardé la notation f sans me poser de problème.

    Mais comme parfois je me place dans des hypothèses potentiellement plus larges ou plus étroites, bref différentes, je préfère définir comme je l'entends ma fonction g quitte à lui redonner le rôle de f à la fin pour répondre à la question.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Dom
    Dom
    Modifié (2 Mar)
    On en effet, mais c’est écrit un peu tard (pour moi). 
    Et tu travailles déjà avec $g$ avant de dire cela. 
    Mais désormais le doute est levé grâce à tes réponses. Comme je le disais j’ai lu… puis « tiens… c’est quoi ? ». 

    Je vais continuer le texte plus tard.
  • Lirone93
    Modifié (2 Mar)
    Non tu as bien raison, c'est vraiment ce que j'avais en tête que g satisfait R mais je ne sais pas pourquoi je l'ai mis après je vais corriger. Merci.

    Edit : c'est fait 
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • gebrane
    Modifié (3 Mar)


    Edit  Coquilles corrigées dans le message après

    Normalement avec tous ce qui a été dit, on doit pouvoir démontrer que
    $f$ continue   vérifie l'équation fonctionnelle $\iff$  il existe $ a $ et $b$ tels que 
    $ f(x) = \dfrac{1}{a}, \text{ pour } x \leq  a, $
    $ f(x) = \dfrac{1}{x}\vphantom{\dfrac{d^d}{q_q}}, \text{ pour } a \leq x \leq b, $
    $ f(x) = \dfrac{1}{b}, \text{ pour } x \geq  b.$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    À mon avis $\text{non}$, car selon moi la relation fonctionnelle implique que $f$ soit dérivable.

    J'ai bien fait évoluer ma démo du dessus par édition, mais quelque chose m'échappe toujours.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • gebrane
    Modifié (3 Mar)
    $f$ continue   vérifie l'équation fonctionnelle $\iff$  il existe $ a $ et $b$ tels que  $0\leq a\leq  b\leq +\infty$ avec 
    $ f(x) = \dfrac{1}{a}, \text{ pour } 0<x \leq  a, $
    $ f(x) = \dfrac{1}{x}\vphantom{\dfrac{d^d}{q_q}}, \text{ pour } a < x < b, $
    $ f(x) = \dfrac{1}{b}, \text{ pour } x \geq  b.$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (3 Mar)
    Je crois que la mienne est la bonne
    Si a=b>0 la seule est la fonction constante
    si a=0 et b = $+\infty$ la seule est $\frac 1x$

    si a=0 et b<$+\infty$ on retrouve la solution de JLT
    si a>0 et b=$+\infty$ on retrouve la solution de bisam

    Je n'arrive pas à  démontrer   
    @Dom Ca me rappelle l'équation fonctionnelle ardue , il nous faut @YvesM et Doraki :mrgreen:
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    Je ne pense pas. Ta fonction n'est pas dérivable en $a$ et $b$ en tout cas dans cas $a\text{ et } b$ quelconques.

    L'idée de ma démo est d'utiliser le théorème du point fixe, mais ne l'ayant jamais vraiment utilsé ou appliqué, je n'ai pas reussi à le faire correctement.

    À mon avis, le but de cet exercice est de mettre en application le théorème du point fixe (celui avec les points répulsifs et attractifs, dont je n'ai plus le nom exact) ou une de ses formulations équivalentes.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93
    La fonction \( f \) définie par \( f(x) = 1 \) pour \( x \leq 1 \) et \( f(x) = \frac{1}{x} \) pour \( x \ge 1 \) est une solution continue mais non dérivable de l'équation. Donc arrête de dire que $f$ est nécessairement dérivable 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    Je dis qu'elle est dérivable $\forall x \gt 0$ (et peut-être aussi sauf $x \neq 1$).

    Comment, prouves-tu que la fonction que tu as donnée est solution ?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • comment prouves tu que la solution que je donne n'est pas une solution ?  :mrgreen:
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    Tu as taison, En fait, $f$ est bien dérivable, sauf éventuellement en $0\text{ ou } 1$ .

    Donc ta fonction est bien valable.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • bisam
    Modifié (3 Mar)
    @Lirone93 : Arrête de dire n'importe quoi.
    Si tu ne connais pas un théorème, tu te passes de l'utiliser parce que si tu essaies, ce sera forcément n'importe comment !
    Pour n'importe quelles valeurs $a$ et $b$ telles que $0\leq a\leq b\leq +\infty$, la fonction définie par @gebrane, que j'appelerai $f_{a,b}$ est une solution de l'équation fonctionnelle mais elle n'est pas dérivable en $a$, ni en $b$ (dès lors que $a>0$ et $b<+\infty$).
    Je pense comme @gebrane que ces fonctions sont les seules solutions... et on n'est plus très loin de le prouver, mais il en manque encore un peu.
  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    On parie (que la fonction que tu nommes $f_{a \ b}$ ne donne pas toutes les solutions) ?, paris d'amis.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    Je peux même t'en donner une autre tout de suite, si tu veux.

    $\forall x\gt 0,\ f(x)=-\pi$

    Edit : non cette fonction n'est pas solution.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Faisons la vérification (bien plus simple que de trouver toutes les solutions !).
    Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0\leq a\leq b\leq +\infty$.
    Soit $f_{a,b}$ la fonction qui à tout réel strictement positif $x$ associe $\frac1a$ si $x\leq a$, $\frac1x$ si $a<x<b$ et $\frac1b$ si $x\geq b$.

    Soit $x>0$.
    1. Si $x\leq a$ alors $f_{a,b}(x)=\frac1a$ et $x^2f_{a,b}(x)=\frac{x^2}{a}\leq a$ donc $f_{a,b}(x^2f_{a,b}(x))=\frac1a=f_{a,b}(x)$.
    2. Si $a<x<b$ alors $f_{a,b}(x)=\frac1x$ et $x^2f_{a,b}(x)=x$ donc $f_{a,b}(x^2f_{a,b}(x))=\frac1x=f_{a,b}(x)$.
    3. Si $x\geq b$ alors $f_{a,b}(x)=\frac1b$ et $x^2f_{a,b}(x)=\frac{x^2}{b}\geq b$ donc $f_{a,b}(x^2f_{a,b}(x))=\frac1b=f_{a,b}(x)$.
    De plus, $f_{a,b}$ est évidemment continue sur $\R_+^*$.
    Donc $f_{a,b}$ est bien solution de l'équation fonctionnelle.

    Il n'est pire aveugle que celui qui ne veut pas voir !
  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    Une cette fois-ci positive non fournie par la fonction avec la définition donnée précédemment ($f_{a,\ b}$ ) par @gebrane : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2468827#Comment_2468827

    $\forall x\gt 0,\ f(x)=0$
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93
    Modifié (3 Mar)
    bisam a dit : Il n'est pire aveugle que celui qui ne veut pas voir !
    Tu m'étonnes, il y a des choses que je ne veux pas vraiment pas voir...
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • On cherche des fonctions à valeurs strictement positives...
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