Une inégalité dans $\mathbb{R}^2$

Ramufasa
Modifié (22 Feb) dans Analyse
Bonjour
J'aurais besoin d'aide pour une petite inégalité.
Est-il vrai que pour $a, b > 0$, on a : $4 (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \leq a \times \text{log} \frac{a}{b} - (a - b)$ ?
J'ai essayé de développer ou d'étudier la fonction qui à $(a, b)$ associe la différence entre les deux membres mais rien n'y fait, je dois être rouillé.
Une petite aide ?
Cordialement,
Ram

Réponses

  • zygomathique
    Modifié (22 Feb)
    Salut
    puisque a et b sont strictement positifs cette inégalité s'écrit encore $a^2 + 4(a - b)^2 - b^2 \le 2a^2 \log \dfrac a b $
    soit en divisant par $a^2$ et en posant $x = \dfrac b a $ : $ 1 + 4(1 - x)^2 - x^2 \le -2 \log x$ 
    l'étude de la fonction $ f : x \mapsto x^2 - 4(1 - x)^2 - 1 - 2 \log x $ devrait être plus simple ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Chaurien
    Modifié (22 Feb)
    C'est la bonne attaque, et il faut continuer. On voit sans mal que cette fonction $f$ n'est positive que sur un petit intervalle $]0, \xi[$, où $\xi  \simeq 0,14$.
  • En effet, la dérivée se factorise : $f'(x)=\dfrac{-2(3x-1)(x-1)}{x}$.
    L'inégalité du début est fausse en tout cas.
    sage: F(a,b) = 4*(sqrt(a)-sqrt(b))^2-a*ln(a/b)+a-b
    sage: F(1,.1)
    0.467592778871250
    sage: F(1,.5)
    0.149998569947674
    sage: F(1.,.01)
    -0.375170185988091
  • Bonjour, pourquoi as-tu besoin de cette inégalité, c'est pour démontrer la positivité de $ a \times \text{log} \frac{a}{b} - (a - b)$  .?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Bonjour à tous,

    merci pour vos retours ! @Chaurien j’ai tracé la courbe représentative de la fonction et il me semble qu’elle est positive sur la réunion de deux petits intervalles ! Me trompé-je ?

    @gebrane Cette question provient d’un exercice de théorie de l’information. In fine, je voulais obtenir une borne sur la divergence de Kullback-Leibler entre deux distributions mais je dois passer par une autre voie visiblement…
  • Chaurien
    Modifié (23 Feb)
    Regarde la dérivée calculée par @MathCoss. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0, \frac13]$, strictement croissante sur $[\frac13,1 ]$, et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$. Comme $f(1)=0$, la fonction $f$ est strictement négative sur $[\frac13,1[$U $]1,+\infty[$. Comme sa limite en $0$ est $+\infty$, la fonction $f$ s'annule pour un seul $\xi \in ]0, \frac13[$, et elle est positive sur $]0,\xi[$ et négative sur $]\xi, \frac13[$.
    Voici ce que dit WolframAlpha :
    Pour mieux voir ce qui se passe autour de $1$, tu peux modifier les bornes.
    C'est une étude de fonction de niveau Terminale, me semble-t-il.
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