Clarification sur la continuité et les limites

UItraviolet
Modifié (23 Feb) dans Analyse
Bonjour à tous
Pourriez vous m'aider à clarifier un point que je ne saisis pas très bien. Voici un exo dans lequel il est utilisé : 

Il s'agit de la preuve de l'implication $(ii)\Rightarrow (iii)$ : 

Je ne comprends pas pourquoi la continuité du polynôme est ici un argument. Est-ce que la proposition sous-jacente est celle-ci : 

Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi ça ne s'appliquerait pas à $x \mapsto \frac{1}{x} $ qui est continue sur $]0,1]$, mais qui n'admet pourtant pas de limite finie en $0$ qui est pourtant un point d'accumulation de l'ensemble de départ. 

Voilà je pense qu'il y a quelque chose de fondamental que je n'arrive pas à saisir et qui m'empêche de bien saisir pourquoi le passage à la limite dans les inégalité de l'exo est licite. 
Merci à ceux qui auront pris le temps de lire,
UItraviolet
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • gerard0
    Modifié (23 Feb)
    Bonjour.
    Dans ton "contre-exemple", tu n'as pas $a\in D$.
    On a besoin de la continuité pour passer à la limite puisque les points de $U$ ne sont pas dans $D$. Le $D$ de la proposition 20 est en fait $\bar D$ sur lequel  le polynôme est bien continu.
    Cordialement.
  • UItraviolet
    Modifié (23 Feb)
    Je ne comprends pas, je ne suis pas censé avoir besoin de $a \in D$ mais juste de $a \in \bar{D}$, non ? Si je prends n'importe quel voisinage de $0$, je vais forcément intersecter des éléments de $]0,1]$ différents de $0$ ? Encore autrement, j'ai la suite $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}^*}$ suite de $]0,1]$ qui tend vers $0$ ? Donc la proposition 20 s'appliquerait dans ce cas là.

    Pour revenir à l'exercice, dans l'implication qu'on cherche ici à montrer, il n'est pas dit que le polynôme est continu sur $\bar{D}$, sauf si on admet alors le résultat de la proposition 20, qui dit que comme $U \in \bar{D}$, alors par continuité du polynôme, il admet une limite sur $U$.
    Cordialement.
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • bisam
    Modifié (23 Feb)
    Il me semblait qu'on dit que $a$ est un point d'accumulation de $A$ si d'une part il est dans $A$ et d'autre part il est adhérent à $A\setminus\{a\}$.
    Tu oublies la première partie de la définition.

    Correctif : Apparemment, je me trompais dans la définition. Rien n'impose que $a\in A$.
  • UItraviolet
    Modifié (23 Feb)
    Ah ok c'est peut-être là que le bât blesse, voilà la définition de point d'accumulation que j'avais enregistrée.

    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • La continuité des polynômes  est une des propriétés basiques du chapitre sur la continuité. Un polynôme est continu sur $\mathbb C$ tout entier.
    Ma remarque sur $a\in D$ renvoie à ta "proposition 20" où c'est écrit exactement comme ça.
  • Moi je ferais comme ca Soit $z\in U$ et soit $z_m=\frac m{m+1}z$ alors  $\forall m\in\N, z_m\in D$ et $z_m\to z$ et je passe à la limite dans l'inégalité
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • La continuité des polynômes de degré fini est en effet une des propriétés basiques du chapitre sur la continuité, mais quand on se place à la limite ça ne me paraissait plus aussi intuitif, donc là vous me confirmez, qu'on peut manipuler pour tout $n \geq N$, pour tout $p \geq 0$ et pour tout $z \in D$, 
    $$ \left|\sum_{k=n}^{n+p}a_{k}z^{k}\right|.$$ 
    comme étant basiquement la valeur absolue d'un polynôme de degré fini, et ce, sans problème. Ça peut paraître débile dit comme ça mais j'ai vraiment l'impression de manipuler quelque chose de faux, parce que, qu'est-ce qui me dit, que pour $z$ évalué en $1$ par exemple, l'égalité reste vraie, étant donné que cette l'inégalité avec le $\varepsilon$ a été obtenue pour tout $z$ dans $D$ mais pourtant $1 \notin D$.
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • L'avantage du critère de Cauchy est effectivement de manipuler des sommes finies.
  • UItraviolet
    Modifié (23 Feb)
    Ok bon bah je dois avouer que ça défie complétement mon intuition cette histoire, c'est assez dingue. Concernant mon "contre-exemple" avec la fonction inverse, je reste toujours sceptique concernant l'énoncé de la proposition 20. Si $a \in \bar{D} \backslash D$ qu'est-ce qu'il se passe, il y a un problème non ?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • JLapin
    Modifié (23 Feb)
    Ta fonction inverse n'est pas continue en $0$ alors que toutes les fonctions polynomiales sont continues en tout point de $\C$.
    Et dans P20, $a$ appartient forcément à $D$ sinon, $f$ n'est pas définie en $a$ et donc ça n'a pas de sens d'étudier sa continuité en $a$.
    Note que P20 n'est pas vraiment à lier avec ce qui précède sur l'étude de la tranche de Cauchy.
  • Ok merci je crois que ça commence à devenir plus clair. 
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • @Ultraviolet : Je me trompais sur la définition d'un point d'accumulation. C'est seulement un point $a$ qui est dans l'adhérence de $A\setminus\{a\}$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.