Preuve du théorème de Liouville version polynômes

UItraviolet
Modifié (21 Feb) dans Analyse
Bonjour à tous
Me revoici pour une énième incompréhension, cette fois-ci sur la preuve du théorème de Liouville :

La première question ne m'a pas posé de soucis mais pour la seconde, je me trouve incapable de comprendre quoi que ce soit à la correction, je crois que je dois être un peu trop fatigué.

Je n'ai aucune idée d'où sort cette fonction $g$, je crois qu'on retrouve souvent une telle manipulation en analyse complexe, qu'en faisant tendre $z$ vers $0$ si $f$ est holomorphe, on obtient le $n$-ème coefficient du développement en série entière de $f$ non ? Bref je m'égare, je voulais juste comprendre comment on pouvait affirmer que $g$ était bornée, j'ai réussi à montrer que $$ \left| f(z)\right|= \mathcal{O}(\left| z\right|^m)$$ quand $\left| z\right|\to +\infty$, mais je suis bien incapable de montrer que c'est vrai pour tout $z$ en enlevant les $m$ premiers coefficients du développement en série entière de $f$, la valeur absolue me gênant.
Merci d'avance,
UItraviolet
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • Ben314159
    Modifié (21 Feb)
    Salut
    La fonction $g$ elle "sert" bien évidement à se ramener au cas du a)
    Tu sais que, pour tout $z$, tu as $|f(z)|\leqslant P(|z|)$ qui, quand $|z|$ tend vers l'infini, est équivalent à du $\lambda|z|^m$ (où $\lambda$ est le module de son coeff. dominant).  Donc ce qu'on a clairement envie de faire, c'est de diviser par $|z|^m$ pour avoir une majoration par une constante comme dans le cas a).  Sauf que $f(z)/z^m$ ça risque de poser problème en $0$.  Donc on vire les premiers termes de la série de façon à ce que la division par $z^m$ se passe bien.  Et la fonction $g$, c'est ça : on a viré les premiers termes de la série et divisé par $z^m$.
    Et sinon, pour $z\!\not=\!0$, on a $|g(z)|=\dfrac{|f(x)-a_0-a_1z-\dots-a_{m-1}z^{m-1}|}{|z|^m}\leqslant\dfrac{P(|z|)+|a_0|+|a_1||z|+\dots+|a_{m-1}||z|^{m-1}}{|z|^m}$ qui, vu le degré de $P$, tend vers une constante lorsque $|z|\to\infty$ ce qui permet de majorer $g$ par une constante en dehors d'un certain disque centré en $0$.  Sauf que, vu que $g$ est continue, elle est bien évidement majorée à l'intérieur de ce disque fermé donc elle est bien majorée (par une constante) sur $\C$ tout entier.
  • UItraviolet
    Modifié (21 Feb)
    Merci beaucoup c'est très clair j'aurais dû y parvenir seul c'est dommage. Encore merci.
    UItraviolet
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
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