Oraux agrégation interne

vpf
vpf
Modifié (19 Feb) dans Concours et Examens
Bonjour,

Je viens ici avec une question de novice.
J'ai passé les écrits pour la première fois cette année, sans réelle préparation solide, juste pour voir. Je commence cependant à préparer mes premières leçons pour les oraux. Et la question que je me pose est la suivante : comment choisir le fameux développement ? Si j'ai bien compris, il ne faut pas qu'il soit trop simple, mais pas trop compliqué non plus. Oui mais, comment évaluer le niveau de difficulté ? J'ai déjà regardé le Ketrane et le Karmati, mais les développements qui y sont proposés sont-ils représentatifs des choix à faire ?
Pour me repérer, j'aurais besoin d'exemples concrets ; et de conseils aussi ;-)
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Réponses

  • Dom
    Dom
    L’important : maîtriser son développement. 
    La difficulté est relative même si je comprends bien la demande. 
    Développements classiques : théorème spectral, convergence normale des séries de Fourier, décomposition de Dunford, des choses sur la fonction Gamma (continuité, dérivabilité, caractère indéfiniment dérivable). 
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Bonjour,
    question bien vaste. Je dirais que le choix du développement est quelque chose d'assez personnel en fonction de ses goûts, de son niveau, du temps que l'on dispose etc. (il y a plein de facteurs qui entrent en compte).
    Je ne connais pas les développements du Ketrane et du Karmati, ayant bossé en grande partie avec le Kieffer pour ma part.
    Un bon développement peut être la démonstration d'un résultat important de cours, doit être substantiel (pas trop simple et pas trop court) mais pas trop long non plus (durée max de 15 minutes pour faire le développement devant le jury).
    Un développement peut être de niveau L1 mais pas trop simple dans le sens où ce n'est pas seulement des petites propriétés anecdotiques à redémontrer. Il faut viser des gros théorèmes importants. Mais rien ne t'empêche de refaire la preuve de la forme générale des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients non constants par exemple. Niveau L1, très abordable mais pas ridicule et présent aux écrits l'an dernier avec une belle erreur d'énoncé d'ailleurs ! :D
    Quelques exemples de développements sympathiques que j'avais sous la main l'an dernier (davantage en analyse et probas car je suis moins à l'aise sur ce thème donc j'ai plus préparé des leçons sur ce thème) :
     
    Algèbre et géométrie :
    -> Démonstration du théorème des restes chinois (y compris la partie avec l'isomorphisme d'anneaux qui fait partie du théorème).
    -> Démonstration du théorème spectral.
    -> Etude du groupe d'isométries conservant le polygone régulier à $n$ côtés (groupe diédral).
    -> Démonstration de la décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports deux à deux disjoints.
    -> Théorème de décompositions des noyaux.
    -> Théorème de Ceva.
    -> Déterminant de Vandermonde.
    -> Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
    -> Théorème fondamental de l'arithmétique.
    -> Preuve du fait que (Z/pZ)^* est cyclique lorsque p est premier.
    (J'en avais d'autres sous la main je crois mais que je n'ai pas écrits).
    Analyse et probas :
    -> Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2.
    -> Etude des risques de transmission d'une maladie (probas et algèbre linéaire avec matrice de transition associée à un graphe probabiliste). 
    -> Règle de Raabe-Duhamel.
    -> Etude de la série harmonique.
    -> Convergence d'une loi Binomiale vers une loi de poisson.
    -> Probas et arithmétique (formule d'Euler d'un point de vue probabiliste !)
    -> Espérance et variance d'une loi Binomiale.
    -> Densité d'une loi Normale.
    -> Autour du critère d'équivalence pour les intégrales (illustration de l'importance de la condition "de signe constant" sur un exemple). 
    -> Intégrale de Gauss (avec ou sans intégrales doubles). 
    -> Fonction Gamma d'Euler. 
    -> Application du théorème de Moivre-Laplace en probas. 
    -> Séries de Fourier à l'aide de la fonction carrée pour retrouver des sommes célèbres. 
    Je tenais $6$ cahiers (que j'ai toujours sous la main) :
    ---> $2$ cahiers pour les plans de leçons d'oral 1 que je voulais préparer (1 en algèbre et géométrie et 1 en analyse et probas). Je n'ai, bien sûr, pas préparé toutes les leçons mais seulement celles qui m'inspiraient ou qui m'intéressaient ou qui me semblaient abordables.
    Préparer une leçon d'oral 1 signifie selon moi : écrire un plan avec les résultats principaux que l'on veut mettre en évidence (avec des exemples également !) et s'assurer que l'on sait les démontrer puis choisir un développement à intégrer dans la leçon. Bien s'entraîner sur le développement (savoir le prouver par coeur !!!) 
    ---> $2$ cahiers de développements (1 en algèbre et géométrie et 1 en analyse et probas). Les développements peuvent être recasables dans plusieurs leçons. L'idéal serait d'en avoir le plus possible... Une quinzaine en algèbre et géométrie et une quinzaine en analyse peut-être (déjà une bonne base)?
    ---> $2$ cahiers pour l'oral 2 afin de recenser des exos pour chaque leçon et 1 développement associé, toujours (1 en algèbre et géométrie et 1 en analyse et probas).
    C'est un sacré travail, tu fais comme tu peux, avec le temps que tu as et les connaissances que tu as.
    Je te conseille :
    -> de travailler les thèmes que tu préfères en 1er et sur lesquels tu es le (la?) plus à l'aise (bon pour le moral, le mental et la motivation) ;
    -> de choisir des développements pas difficiles mais suffisamment consistants pour tenir 15 minutes, pas trop longs non plus. Donc il faut s'entraîner si tu as un tableau sous la main en regardant si tu sais faire le développement sans consulter tes notes (par coeur !!!) et si tu tiens 15 minutes.
    Attention, j'insiste sur ce point : il vaut mieux prendre un développement modeste plutôt que de vouloir impressionner le jury avec un développement original ou difficile mais mal maîtrisé et ainsi, se prendre les pieds dans le tapis !
    -> De faire beaucoup d'exercices pour t'entraîner et bosser l'oral 2 en même temps !
    Bon courage !!! En espérant avoir un peu aidé ! ^^'
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • OShine
    OShine
    Modifié (19 Feb)
    @vpf
    Pour évaluer le niveau de difficulté, c'est simple. 
    Si tu possèdes des livres de maths où tu comprends ce qui est écrit c'est qu'il est à ton niveau et tu peux y piocher des ressources.
    La majorité des livres du supérieur ne sont pas à mon niveau (Gourdon, Cassini X-ENS, Algèbre de Perrin etc), mais j'en ai trouvé quelques uns abordables.
    Mais je ne parle pas des livres de préparation aux oraux, je ne possède pas de tels livres. Je préfère construire mes leçons tout seul. Je n'assimile pas ce qui est fait par les autres.
  • vgressier
    vgressier
    Modifié (19 Feb)
    Je suis d'accord avec ce que dit @NicoLeProf , je suis allée 2 fois à l'oral (et j'espère bien que la 3ème sera la bonne), l'essentiel est de maîtriser son développement et de ne pas piocher dans des choses trop ardues. Le jury ira de toute façon voir si tous les pré-requis sont maîtrisés s'il a le moindre doute et ira creuser si le niveau du développement lui semble un peu faible.
    Pour l'oral 1, je n'ai pas pris des choses trop compliquées  la 1ère année et j'ai eu 14, je m'en suis sortie moyennement avec un développement plus conséquent la 2de année.
    Pour l'oral 2... j'espère voir cette année si j'arrive enfin à faire quelque chose d'acceptable ;)
  • vpf
    vpf
    Merci d'avoir pris le temps de donner tous ces conseils !

    En effet, j'envisageais les développements uniquement sous l'angle de la difficulté mais je dois également tenir compte du facteur "temps", qui est très calibré.

    J'ai conscience que tout cela représente une quantité de travail phénoménale. Je vais y aller petit à petit, en essayant de bien maîtriser les bases et de construire solidement dessus. Pour le moment, je creuse dans les suites et les séries et ça me plaît. Je vais essayer de balayer les leçons d'oral 1 et d'oral 2 sur ces thèmes. Ce qui est particulièrement stimulant à ce stade, c'est d'apprendre, de redécouvrir des notions vues il y a bien longtemps, d'aller plus loin.

    Et puis pour me faire une idée plus précise sur ces épreuves d'amission, j'ai prévu d'aller assister à quelques oraux !

  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (19 Feb)
    Si tu as besoin de davantage d'infos vpf, je peux t'en fournir et ma méthode de travail semble valable puisqu'elle m'a permis d'obtenir le concours l'an dernier, du premier coup !
    Si tu veux m'envoyer une leçon pour que je te dise ce que j'en pense, n'hésite pas (et c'est valable pour les autres candidats aussi), mais de préférence en algèbre et géométrie car je pratique encore cet incroyable et merveilleux domaine (étant prof à l'université en L2 en algèbre générale et bilinéaire cette année, en plus du collège). En revanche, étant moins intéressé par l'analyse et probas, j'ai arrêté d'étudier ce thème depuis Juin 2023 et je vous garantis que l'on perd vite.
    Assister à des oraux est génial pour mieux cerner les attendus et voir ce qu'il se passe en conditions réelles ! :)
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • vpf
    vpf
    Merci oui, je n'hésiterai pas à t'envoyer des leçons en algèbre et géométrie  :)
    Je suis assez épatée que tu aies réussi à avoir le concours du premier coup ! Pour ma part, je pense qu'il me faudra plusieurs tentatives  ;)
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    J'ai bien réussi les écrits l'an dernier en fait (je ne m'y attendais pas, du moins pas autant !)
    De manière générale aussi, si tu as des questions en algèbre et géométrie, je veux bien essayer d'y répondre vu que j'ai plus de recul sur ce thème et que je vais sans doute demander à enseigner en L3 l'an prochain car j'ai vu des contenus très attirants (idéaux, anneaux, corps mais aussi groupe diédral, actions de groupes, groupes de Sylow).
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Matricule_63
    Matricule_63
    Attention aussi, "développement maîtrisé", cela veut dire "être capable d'expliciter chaque étape du raisonnement et de démontrer tout les 'petits" résultats utilisés".

    Et aussi de trouver un contre-exemple à la réciproque si elle est fausse, expliquer ce qui coince si on supprime une hypothèse, etc...
    Il y avait un post se demandant pourquoi les jeunes ne venaient pas sur ce forum.
    Et bien, étant moins jeune, un message intéressant pour 10 insultants ou méprisants (la spécialité locale étant les insinuations sans nommer la personne ni, oh grand jamais, s'abaisser à argumenter) ne me suffit pas à y rester.
    Merci de m'avoir rendu les mathématiciens antipathiques.

  • OShine
    OShine
    Modifié (20 Feb)
    @NicoLeProf a eu le concours du premier coup car il est très fort. Et en algèbre, c'est un phénomène. 
    Les gens normaux mettent 3-4 ans à l'avoir. 
    Pour l'instant, j'ai la flemme de préparer des leçons, je veux travailler ce que je n'ai pas encore étudié.
    Mais je crois que si on maitrise parfaitement un livre, on peut improviser une leçon le jour de l'oral. 
    Enfin, j'en serais capable je pense par exemple sur la leçon sur les ensembles quotients et applications, je connais le cours par cœur. 
    Après certaines leçons sont plus dures à préparer, il faut avoir les ressources, comme par exemple les barycentres, le développement décimal des rationnels etc.

    (OShine est banni pour une semaine. Un bannissement plus long sera effectué en cas de récidive.)
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (20 Feb)
    Bonjour,
    OShine, je croyais que tu avais promis d'arrêter de dire n'importe quoi sur les concours ?
    Cordialement,
    Rescassol
  • vpf
    vpf
    Modifié (20 Feb)
    À vous lire, il me semble avoir compris deux choses.

    1) Ce que l'on entend par "développement maîtrisé" : c'est un développement que l'on est capable d'exposer en 15 minutes, sans note, dans lequel chaque résultat sous-jacent peut être justifié, démontré.

    2) Qu'il ne faut pas tenir compte des conseils ou remarques d'OShine en ce qui concerne la préparation à l'agrégation.
  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Modifié (20 Feb)
    Oshine : "Pour l'instant, j'ai la flemme de préparer des leçons, je veux travailler ce que je n'ai pas encore étudié."
    Il me semblait que tu n'avais pas passé les écrits ?
    Merci Nico pour tes conseils sur les développements.
    "(Z/pZ) est cyclique lorsque p est premier. "      Ce n'est pas un peu light pour un développement ?
  • JLapin
    JLapin
    Non, $(\Z/p\Z)^*$....
  • Matricule_63
    Matricule_63
    Modifié (20 Feb)
    @Arnaud_G
    $(\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^{\times}$ cyclique, c'est déjà plus consistant.
    Il y avait un post se demandant pourquoi les jeunes ne venaient pas sur ce forum.
    Et bien, étant moins jeune, un message intéressant pour 10 insultants ou méprisants (la spécialité locale étant les insinuations sans nommer la personne ni, oh grand jamais, s'abaisser à argumenter) ne me suffit pas à y rester.
    Merci de m'avoir rendu les mathématiciens antipathiques.

  • Dom
    Dom
    Bon. Moi j’écrirais tout de même la (ou les) loi(s) dans la notation. Ça ne mange pas de pain. Et même à l’interne, je pense que ce n’est pas de trop. 
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (20 Feb)
    Merci pour tes compliments OShine ! :)
    Par contre, "Mais je crois que si on maitrise parfaitement un livre, on peut improviser une leçon le jour de l'oral. " ---> Non, surtout pas ! :D
    Oui Arnaud_G, je parlais du groupe multiplicatif $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*,\times)$. Dom a raison, surtout si on a peur d'oublier la loi en question.
    Quoi qu'il en soit, je dis à mes L2 d'écrire toujours les groupes concernés avec la loi de groupe car ils débutent sur ce sujet !
    Preuve synthétique ici (mais il faut bien la décortiquer pour la comprendre) : https://sandrine.caruso.ovh/pageperso/agreg/Z.pZ_cyclique.pdf
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Modifié (20 Feb)
    Autant pour moi, je n'avais pas bien lu le message initial.
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Hahaha pas de problème ! :)
    Anecdote drôle : figure-toi que l'on écrit "au temps pour moi" et non "autant pour moi" ! :D
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Arnaud_G
    Arnaud_G
    Modifié (20 Feb)
    Concernant le choix des exemples pour les leçons ou pour les exemples d'exercices, est-il toujours d'actualité de piocher dans les oraux des grandes écoles ?
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Si tu veux et si c'est pertinent mais il faut que tu sois parfaitement à l'aise sur les exos que tu proposes.
    vpf a vu juste : chaque résultat sous-jacent doit pouvoir être démontré !
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • vpf
    vpf
    En fait, dans la pratique, chaque fois qu'on avance d'un pas dans le raisonnement, il faut se demander sur quoi on s'appuie. La question "pourquoi" doit se poser de manière automatique. Soit la réponse est claire (claire n'étant pas synonyme d'évidente), soit on va revoir le truc qui nous manque.
    C'est un sacré travail de fond !
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Oui absolument, je ne sais pas si c'est le cas pour toi, mais à force de faire des preuves de mathématiques, le fait de se poser cette question devient un automatisme et perso, si je ne sais pas répondre à cette question à un moment dans une preuve, ça me gêne donc je fais des recherches plus approfondies car en maths, on ne peut pas entourlouper les correcteurs/jury ou autres...
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • vpf
    vpf
    C'est exactement ça !
  • math2
    math2
    Modifié (20 Feb)
    Effectivement il ne faut rien laisser passer. Il faut toujours se convaincre que les "évidences" en sont vraiment. Tout ce qui est passé sous silence doit pouvoir être expliqué sans réfléchir. 
    C'est un comportement normal de tout mathématicien, et a fortiori attendu de tout professeur de mathématiques, et donc des jurés.
    En ce sens-là, et ça a été écrit des centaines de fois sur le forum, on peut avoir d'excellentes notes à l'externe et a fortiori à l'interne avec des exos de niveau "raisonnables" mais maitrisés, et se taper une tôle si on présente un X-ENS dont on n'a pas compris les sous-entendus et les extensions possibles.
    Un copain avait fini 11ème à l'externe, à une époque où les premières places étaient plus chères que maintenant, en présentant comme développement la méthode de Newton, donc pas un truc complètement hallucinant.
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    math2 a tout dit, je ne peux qu'être $100\%$ d'accord avec ses précieux conseils !!!
    De manière provocante : surtout, ne pas péter plus haut que son c** ! :D
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Etienne91
    Etienne91
    D’ailleurs l’exemple de math2 (la méthode de Newton) n’a pas été citée par NicoLeProf mais c’est un très bon développement il me semble (pour l’interne et l’externe) qui rentre dans vraiment beaucoup de leçons tout en étant vraiment accessible (niveau L1/L2 en gros). Par exemple toutes les leçons d’analyse réelle, fonctions convexes, formules de Taylor, suites numériques, vitesse de convergence … on peut même le faire entrer dans la leçon « extremums » (vu l’importance de trouver des zéros d’une fonction dérivée)
  • gai requin
    gai requin
    Connaissez-vous une application de la méthode de Newton en algèbre ?  >:)
  • JLT
    JLT
    Décomposition effective de Dunford?
  • Etienne91
    Etienne91
    J’ai un vague souvenir d’une application pour les polynômes à coefficients dans un corps fini mais je ne peux plus en dire plus !
  • gai requin
    gai requin
    👍 @JLT
  • vpf
    vpf
    En ce qui concerne la méthode de Newton, j'y pensais justement. Je me disais que ce développement me semblait à ma portée. Et j'aime bien l'idée de pouvoir implémenter en Python.
  • vpf
    vpf
    Modifié (21 Feb)
    Toujours sur les développements, j'aimerais des avis sur la pertinence et la difficulté de ceux-ci (qui reviennent pas mal sur divers sites ou forum d'agrégatifs) :
    • équivalence des normes dans les evn de dimension finie
    • nombres de Bell
    • intégrales de Wallis
    • nombre de dérangements
    Euh... et encore une question de novice : qu'est-ce qui distingue un développement pour l'oral 1 d'un développement pour l'oral 2 ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (21 Feb)
    Équivalence des normes : très bien (ni facile ni difficile et peut amener des questions). Développement classique mais à savoir faire. 
    Bell : je ne sais pas. 
    Wallis : très bien aussi, c’est dans le niveau attendu (je crois qu’on peut s’en servir pour l’irrationalité de $\pi^2$ mais j’ai un doute…
    Nombre de dérangements : je ne sais pas 
    oral 1 : ça peut être la démo d’un théorème, ça peut être une application d’un théorème et parfois on peut si « tout est trop court » faire les deux (demo + application). Je ne sais pas si les rapports en parlent (conseillé ? pas conseillé ? de faire le combo)
    oral 2 : plutôt des exercices, on ne conseille pas de proposer des démos de cours (ou alors habilement les maquiller mais personne n’est dupe). 
    Il y a une intersection entre oral 1 et oral 2, bien entendu.
  • biguine_equation
    biguine_equation
    Modifié (20 Feb)
    Bonjour,
    un développement sur le nombre de dérangements est intéressant car il permet d’aborder les problèmes de combinatoire sous l’angle de l’analyse avec l’utilisation des séries génératrices exponentielles. Il permet aussi de caser la formule du crible ou le problème des partitions ce qui ne manquera pas d’impressionner le jury 😀 C’est un sujet qui tombe parfois à l’oral de Polytechnique ou de l’ENS.
  • vpf
    vpf
    Ouh la la, donc pas pour moi ;-)
  • sway
    sway
    Modifié (21 Feb)
    Bonjour
    Je viens de regarder  cet exercice sur Bibmath concernant le nombre de dérangements et il me semble être capable de faire un développement de ce style. Est-ce qu'il y a des point sur lesquels il faut faire attention ? À part le produit de Cauchy, je n'ai rien vu de particulier. (Mais je n'ai pas creusé beaucoup non plus).
    https://www.bibmath.net/ressources/justeunexo.php?id=1861
    En attendant de trouver une source dans mes manuels.
    Merci.
  • Dom
    Dom
    Comme cela a été dit il y a une théorie avec les fonctions génératrices. Le jury va pouvoir emmener le candidat à cet endroit. Le candidat a le droit de ne pas être au courant mais alors ça ne volera pas très haut, peut-être, peut-être. 
  • sway
    sway
    J'ai travaillé les fonctions génératrices, je peux réactiver  :)
  • vpf
    vpf
    Je crois qu'il y a un exercice sur les dérangements dans le Dantzer, mais je ne l'ai pas sous la main...
  • ojsanssimpson
    ojsanssimpson
    on peut transformer une question de cours en exercice pour l'Oral 2 c'est indiqué ds le rapport du jury
    Du reste ces dernières années les sujet d'écrit sont bourrés d'exo type leçon où des théorèmes de cours sont reconstruits façon exos (voir exos 1 sujet1 2022  théorème Cawley Hamilton en exo)
    On peut dc proposer en dév eloppement Oral 2 une question de cours sous la condition de la transformer en Exos.
    c'est un excellent exercice qui permet de s'assurer de la compréhension du théorème.
    En tous les cas, c'est autoriser à l'Oral 2 et je m'en suis énormément servi pour mon Oral 2, ce qui a bien fonctionné.
    OJ
  • vpf
    vpf
    Ok merci de ces conseils !
  • SethMorleyJunior
    SethMorleyJunior
    Bonsoir. Je suis désolé de redemander ça encore une fois, mais est-ce que quelqu'un a des informations sur l'utilisation du tableau numérique pour les oraux, sachant que le tableau "normal" est d'une taille plus petite que d'habitude pour ces épreuves ? Merci d'avance.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (3 Mar)
    @gai requin : J’arrive après la bataille, mais la méthode de Newton s’applique dans de nombreux anneaux (anneau des séries formelles par exemple) pour déterminer une racine carrée ou l’inverse de certains éléments (c’est des variantes du lemme de Hensel de mémoire).
  • Dom
    Dom
    J’avais cru que la méthode de Jacobi (pour trouver des valeurs propres approchées d’une matrice symétrique) était un cas particulier mais je ne parvient pas à faire le lien. Je divague ?
  • darbouka
    darbouka
    @StehMorleyJunior, tu peux aller jeter un coup d'oeil à la vidéo suivante: https://www.youtube.com/watch?v=I_DK3l7T_XI&t=48s Gilles Bailly Maître et Philippe Caldéro y parlent de l'agreg interne et donnent quelques informations sur cette histoire de tableau.
  • SethMorleyJunior
    SethMorleyJunior
    Merci beaucoup ! Je vais regarder ça avec intérêt 😊
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