Montrer, démontrer et prouver

Amadou
Modifié (18 Feb) dans Algèbre
Par exemple, on me demande de prouver que si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, alors $F\cup G$ n'est pas toujours un sous-espace vectoriel $E$.
Et dans une autre version on me demande de démontrer que $F\cup G$ n'est pas toujours un sous-espace vectoriel de $E$.
Deux idées me viennent à l'esprit l'une celle que j'ai apprise dans mon livre la démonstration du théorème suivant : Un espace vectoriel $E$ n'est jamais réunion de deux sous-espaces différents de $E$ et de $\{0\}$. et l'autre celle que j'ai acquis lors d'une explication, c'est-à-dire en considérant les coordonnées suivantes $(0,1)\in F$ et $(0,1)\in G$ et montrer que leur réunion n'est pas élément de $F\cup G$. Est-il acceptable de faire des démonstrations avec des exemples ?
J'aimerais savoir s'il n'y a pas de différence entre ces mots suivants : montrer, prouver et démontrer.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
«1

Réponses

  • Pas de différence.
  • NicoLeProf
    Modifié (18 Feb)
    Ces $3$ consignes veulent dire la même chose pour le coup, ce sont des synonymes pour éviter des répétitions lorsqu'il y a plusieurs questions d'affilée.
    Ensuite, donner des exemples ne constitue pas une preuve en mathématiques (sauf s'il faut montrer un "il existe").
    Par contre, raisonner avec des contre-exemples est très pertinent quand il s'agit de montrer qu'une assertion est fausse.
    Ici, tu veux montrer qu'il existe deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ pour lesquels $F \cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$. Tu auras bien trouvé un contre-exemple pour "contrer" la généralité suivante : "si $F$ et $G$ sont deux s.e.v de $E$ alors $F \cup G$ est un s.e.v de $E$".
    Maintenant, sois bien précis et fais attention à ce que tu écris en exhibant ton contre-exemple : qui sont $F$ et $G$? Tu veux prendre $(0,1)$ dans $F$, très bien mais explicite $F$ et $G$. De plus, qu'entends-tu par "leur réunion" en parlant des coordonnées de $(0,1)$? Cette phrase n'a pas de sens, une réunion concerne des ensembles, pas des vecteurs.
    Prends $E=\mathbb{R}^2$ pour simplifier les choses.
    Considère deux sous-espaces vectoriels : $F$ et $G$ de $E$ très simples ($2$ droites vectorielles). Et essaie ensuite de prouver que $F \cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$ en montrant (par exemple) que la somme de deux vecteurs de $F \cup G$ n'appartient pas forcément à $F \cup G$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    Maintenant, sois bien précis et fais attention à ce que tu écris en exhibant ton contre-exemple : qui sont $F$ et $G$? Tu veux prendre $(0,1)$ dans $F$, très bien mais explicite $F$ et $G$. 
    $F$ et $G$ sont des sous-espace vectoriel.  
     De plus, qu'entends-tu par "leur réunion" en parlant des coordonnées de $(0,1)$? Cette phrase n'a pas de sens, une réunion concerne des ensembles, pas des vecteurs.
    Par réunion je veux démontrer que $(0,1)+(1,0)\notin F\cup G$.

    Est-ce correct ainsi ?

    Soit $E=\mathbb R^2$. Considérons deux sous-espace vectoriel $F$ et $G$.Et montrons que la réunion de $F$ et $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$ par un contre-exemple.

    Soient $u=(0,1)\in F$ et $v=(1,0)\in G$. Nous remarquons que $u+v=(1,1)\notin F\cup G$. On en déduit que la réunion de $F$ et $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • DeGeer
    Modifié (18 Feb)
    Quand on te demande d'expliciter $F$ et $G$, il ne faut pas se contenter de dire que ce sont des sous-espaces vectoriels, mais de les décrire explicitement, par exemple comme des droites engendrées par des vecteurs particuliers.
  • @NicoLeProf A-t-on forcément $E\neq (0,0)$ lorsque vous posez $E=\mathbb R^2$ ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Je ne comprends pas ce que tu fais...
    Il y a une incompréhension des notions chez toi. Il faut y remédier.
    Pourquoi affirmes-tu avec certitude que $(0,1) \in F$ sans avoir explicité $F$?
    Si je prends un espace vectoriel complètement différent de $\mathbb{R}^2$, on ne pourra pas parler de $(0,1)$.
    Maintenant, si je considère $E=\mathbb{R}^2$. Selon toi, $(0,1)$ appartient à n'importe quel sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$? Donc $(0,1)$ est un élément de $Vect\{(1,0)\}$?
    Ensuite, ne confonds pas "addition de deux vecteurs" et "réunion d'ensembles".
    Entraîne toi bien sur les bases de l'algèbre linéaire (ces bases doivent être solides pour comprendre ce qui vient ensuite) en faisant beaucoup d'exercices.
    Tu écris : 
    "Soient $u=(0,1) \in F$ et $v=(1,0) \in G$. Nous remarquons que $u+v=(1,1) \notin F \cup G$. On en déduit que la réunion de $F$ et $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$." ---> $u=(0,1) \in F$ et $v=(1,0) \in G$ : pourquoi? Qui sont $F$ et $G$?
    "Nous remarquons que $u+v=(1,1) \notin F \cup G$" ---> Qu'est-ce qui te permet d'affirmer cela?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @Lapin d'accord !
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • @NicoLeProf A-t-on forcément $E \neq (0,0)$ lorsque vous posez $E=R^2$ ?

    Quelle est cette question étrange? Peux-tu m'expliquer ce qu'est $\mathbb{R}^2$?

    Courage Amadou, reprends calmement les bases (ensembles de nombres, théorie des ensembles, différence entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$, différence entre $(0,0)$ et $\mathbb{R}^2$, notations etc.)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    @DeGreer lorsque vous dites de les écrire explicitement est-ce qu'il s'agit d'écrire la formule d'une droite vectorielle engendrée par un vecteur non nul ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    Peut-être que je me fais mal comprendre dans mes écrits. Mon objectif est une fois que j'arrive à exhiber un contre-exemple alors j'en déduis que la réunion n'est pas un sous-espace vectoriel.

    Pour mieux me faire comprendre ce joins une figure ci-dessous. Ici je suppose que $F$ est la droite engendrée par $(0, 1)$ et $G$ la droite engendrée par $(1, 0)$.

    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Ah voilà, on avance, maintenant écris les choses rigoureusement :
    on considère $E=\mathbb{R}^2$ et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ en posant : $F=Vect\{(0,1)\}$ et $G=???$.
    $(1,0) \in F \cup G$ car ... ? Et $(0,1) \in F \cup G$ car ... ?
    Mais $(1,0)+(0,1)=(1,1) \notin F \cup G$ car ... ?
    Donc ... ?
    P.S : relis bien mes messages qui donnent des conseils méthodologiques pour progresser, courage Amadou !!! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    Quelle est cette question étrange? Peux-tu m'expliquer ce qu'est $\mathbb{R}^2$?
     C'est l'ensemble des réels ayant le couple $(x, y)$ pour $x, y\in \mathbb R$.

    $\mathbb R^2$ est l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x\in \mathbb R$ et $y\in \mathbb R$.
     
    Je ne comprenais pas lorsque vous avez posé $E=\mathbb R^2$, et je me disais que si $E\cup F= {0} $ ou $E\cup F = E$ alors il est évident que $E\cup F$ est un sous-espace vectoriel. D'où ma question.
    Courage Amadou, reprends calmement les bases (ensembles de nombres, théorie des ensembles, différence entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$, différence entre $(0,0)$ et $\mathbb{R}^2$, notations etc.)
    D'accord ! Mais je pense que je n'ai pas d'ambiguïté dans ces notions. Peut-être que je me fais mal comprendre dans mes propos.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    D'accord !

    On considère $E=\mathbb{R}^2$ et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ en posant : $F=Vect\{(0,1)\}$ et $G=Vect\{(1,0)\}$.
    $(1,0) \in F \cup G$ car $(1,0)\in G$ ? Et $(0,1) \in F \cup G$ car $(0,1)\in F$ ?
    Mais $(1,0)+(0,1)=(1,1) \notin F \cup G$ car elle n'est pas stable ?
    Donc $F\cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$ ?
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • P.S : relis bien mes messages qui donnent des conseils méthodologiques pour progresser, courage Amadou !!! :)
    Bien noté !
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • "C'est l'ensemble des réels ayant le couple $(x,y)$ pour $x,y \in \mathbb{R}$." ---> Non, $\mathbb{R}^2$ n'est pas un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Telle qu'elle est écrite, ta définition de $\mathbb{R}^2$ n'est pas bonne.
    "Je ne comprenais pas lorsque vous avez posé $E=\mathbb{R}^2$, et je me disais que si $E \cup F=\{0\}$ ou $E \cup F=E$ alors il est évident que $E \cup F$ est un sous espace vectoriel. D'où ma question." ---> Je ne comprends toujours pas l'objectif de ta question. Que vaut $E \cup F$ dans ce cas (i.e lorsque $F$ est un s.e.v de $E$)? Ensuite, que vaut $E \cup F$ lorsque je pose $E=\mathbb{R}^2$ (donc $E \neq \{(0,0)\}$ !!!) et $F$ est un s.e.v de $E$?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Foys
    Modifié (18 Feb)
    La question est mal rédigée (mal quantifiée), par exemple, étant donné un $\R$ espace vectoriel $E$ l'énoncé "pour tous $F,G$ sous-espaces vectoriels de $E$, $F \cup G$ n'est pas un espace vectoriel" est faux ($F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsque $F=G=E$).
    Démontrer, montrer et prouver sont synonymes en maths.
    Le message que l'auteur du texte cherche à faire passer plutôt ici est le suivant: soient $E,F,G$ trois espaces vectoriels (sur un certain corps $K$) tels que $F,G$ et $F \cup G$ sont des sous-espaces vectoriels  de $E$, alors $F\subseteq G$ ou $G\subseteq F$ (en fait ce résultat vaut pour des groupes avec la même preuve).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    @NicoLeProf je voulais plutôt écrire $F\cup G=\{0\}$ ou $F\cup G=E$ au lieu de $E\cup F=0$ ou $E\cup F=E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    @Foys dans l'exercice proposé il est écrit ainsi.

    Prouver que si $F$ et $G$ sont deux sous-espace vectoriel de $E$, alors $F\cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$. (2 points)
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    Le message que l'auteur du texte cherche à faire passer plutôt ici est le suivant: soient $E,F,G$ trois espace vectoriels (sur un certain corps $K$) tels que $F,G$ et $F \cup G$ sont des sous-espace vectoriels  de $E$, alors $F\subseteq G$ ou $G\subseteq F$ (en fait ce résultat vaut pour des groupes avec la même preuve).
    Raison pour laquelle je me suis dit qu'en est-il de $F\cup G=\{0\}$ ou $F\cup G=E$ puisque dans le théorème ci-dessus. Il est dit différent de {0} et $E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Si $F \cup G = 0$ alors $F=G=0$. Si $F \cup G = E$ alors $F=E$ ou $G=E$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • NicoLeProf
    Modifié (18 Feb)
    Foys a raison, il est essentiel de bien quantifier les énoncés.
    Sinon, il y a des choses à corriger ici.
    Pris à ton propre piège, tu écris que $(1,0) \in F$ mais c'est toi-même qui a voulu prendre $F=Vect\{(0,1)\}$ (la droite engendrée par $(0,1)$ comme tu l'as écrit plus haut) donc fais attention et corrige ces erreurs.
    Quand tu écris, "Mais $(1,0)+(0,1)=(1,1) \notin F \cup G$ car elle n'est pas stable ?" ---> Je ne comprends pas ton argument : "car elle n'est pas stable". Qui est "elle"? La réunion? Justement, c'est ce qu'il faut démontrer.
    Pourquoi $(1,1) \notin F \cup G$, comment l'expliquer correctement? Comment montre-t-on dans le cas général qu'un élément n'appartient pas à une réunion d'ensembles?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    Dans un cas plus général, je vais raisonner par l'absurde.
    Supposons que $E=F\cup G$.
    Si $F\neq E$, alors il n'existe pas d'élément $\alpha$ appartenant au sous-espace vectoriel $F$ car $E=F\cup G$. Donc $\alpha$ appartient à l'espace vectoriel $G$.
    De même, si $G\neq E$, alors il n'existe pas d'élément $\beta$ appartenant au sous-espace vectoriel $G$ car $E=F\cup G$. Donc $\beta$ appartient au sous-espace 
    vectoriel $F$. Comme $\alpha \in F$ et que $F$ est un sous-groupe additif, on a $\beta = (\alpha +\beta)-\alpha$ appartenant à $F$. Ce qui est absurde. Donc la réunion de $F$ et $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
    Dans mon raisonnement j'ai écarté la condition $F\cup G=\{0\}$ et $F=G=E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (18 Feb)
    NicoLeProf a dit :
    "C'est l'ensemble des réels ayant le couple $(x,y)$ pour $x,y \in \mathbb{R}$." ---> Non, $\mathbb{R}^2$ n'est pas un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Telle qu'elle est écrite, ta définition de $\mathbb{R}^2$ n'est pas bonne.
    Je comprends maintenant pourquoi vous dites que ma réponse n'est pas bonne tel qu'elle est écrite https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1023885/difference-entre-r-et-r²#latest .
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Bonjour Amadou,
    que fais-tu ici? Je ne comprends pas ce que tu écris... Que cherches-tu à prouver?
    Peux-tu m'éclairer sur les points suivants ?
    -> "Si $F \neq E$, alors il n'existe pas d'élément $\alpha$ appartenant au sous-espace vectoriel $F$". Donc $F$ est vide selon toi? Je ne comprends pas la phrase que tu as écrite. Prenons un exemple : $E=\mathbb{R}^2$, $F=Vect\{(0,1)\}$ comme avant, je peux trouver un élément $\alpha=(0,1)$ dans $F$ pourtant et j'ai bien $F \neq E$... !
    -> "De même, si $G \neq E$, alors il n'existe pas d'élément $\beta$ appartenant au sous-espace vectoriel $G$". De même, je ne comprends pas.
    -> Comme $\alpha \in F$ et que $F$ est un sous-groupe additif, ..." . C'est contradictoire avec ce que tu écris au-dessus puisque selon toi, $\alpha \notin F$. Bien que je ne comprenne pas comment tu définis $\alpha$. 
    Résultat (désolé) : la preuve que tu as écrite ci-dessus est incompréhensible selon moi...
    On va reprendre les choses correctement.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • NicoLeProf
    Modifié (19 Feb)
    Essayons de démontrer le résultat annoncé par Foys (et en effet, c'est pareil pour les groupes). Voici un exo pour toi @Amadou, fais le soigneusement !
    soient $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
    Alors, $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F \subseteq G$ ou $G \subseteq F$.
    (Le résultat est évident si $F=\{0\}$ ou $G=\{0\}$ donc on va supposer par la suite que $F \neq \{0\}$ et $G \neq \{0\}$, donc $F \cup G \neq \{0\}$).
    1) Sens direct : supposons que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Raisonnons par l'absurde : supposons que $F$ n'est pas inclus dans $G$ et que $G$ n'est pas inclus dans $F$.
    Alors il existe $x \in F \setminus G$ (i.e : $x \in F$ mais $x \notin G$) et il existe $y \in G \setminus F$.
    a) Justifier que $x \in F \cup G$ et que $y \in F \cup G$. En déduire que $x+y \in F \cup G$ en justifiant.
    1er cas : supposons que $x+y \in F$. 
    b) Justifier que $-x \in F $. Calculer $x+y-x$ et conclure ce premier cas.
    2ème cas : supposons que $x+y \in G$.
    c) Justifier que $-y \in G$. Calculer $x+y-y$ et conclure ce deuxième cas.
    d) Conclure le sens direct de la preuve.
    2) Réciproque : supposons maintenant que $F \subseteq G$ ou $G \subseteq F$.
    1er cas : supposons que $F \subseteq G$.
    a) Que vaut $F \cup G$? Conclure.
    2ème cas : supposons que $G \subseteq F$.
    b) Que vaut $F \cup G$? Conclure.
    c) Conclure la réciproque.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (21 Feb)
    Bonsoir @NicoLeProf j'espère que vous allez bien. Je ne sais pas si dans un raisonnement mathématique, si celà est acceptable, c'est-à-dire de commencer par la réciproque. Puisqu'après lecture cela me semble plus facile donc je débute par ça.

     Réciproque : Supposons maintenant que $F\subseteq G$ ou $G\subseteq F$. 
    1er cas : supposons que $F\subseteq G$.
    a) $F\cup G$ vaut $G$ car $(F\cup G)\subseteq (G\cup G) \Leftrightarrow (F\cup G)\subseteq G$. Donc $F\cup G$ est sous-espace vectoriel de $G$.
    2ème cas : Supposons que $G\subseteq F$.
    b) $F\cup G$ vaut $F$ car $(G\cup F)\subseteq F$. Donc $G\cup F$ est sous-espace vectoriel de $F$.
    c) Alors $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf
    Modifié (20 Feb)
    C'est bien Amadou ! :)
    Oui tu as le droit de commencer par la réciproque ! ;)
    Maintenant, il est temps d'attaquer le sens direct, poursuis tes efforts et rédige moi cela quand tu auras le temps ! ;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Soient $\mathbb K$ un corps et $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
    Alors, $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subseteq G$ ou $G\subseteq F$.
    (Le résultat est évident si $F=\{0\}$ ou $G=\{0\}$ donc on va supposer par la suite que $F\neq \{0\}$ et $G\neq \{0\}$, donc $F\cup G\neq \{0\})$.

    Supposons que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Raisonnons par l'absurde : supposons que $F$ n'est pas inclus dans $G$ et que $G$ n'est pas inclus dans $F$. Alors il existe $x\in F\setminus G$ et il existe $y\in G\setminus F$.
    Si $x\in F\setminus G$ alors $x\in F$ et $x\notin G$.
    Si $y\in G\setminus F$ alors $y\in G$ et $y\notin F$. On en déduit que $x+y\in (F\setminus G)\cup(G\setminus F)$. 1)
    Soit $x\in F$ et $y\in G$ alors $x+y\in F\cap G$. 2)
    Nous savons que $F\cup G = (F\setminus G)\cup(G\setminus F)\cup F\cap G$.
    De 1) et 2) on en déduit que $(x+y)\in (F\setminus G)\cup(G\setminus F)\cup (F\cap G)$. Donc $x+y\in F\cup G$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • NicoLeProf
    Modifié (20 Feb)
    C'est beaucoup trop compliqué ce que tu fais et ça ne va pas. Pourquoi parler de $ (F\setminus G)\cup(G\setminus F)$? L'ensemble $F \setminus G$ est-il un s.e.v de $E$ par exemple? 
    Pourquoi $x+y \in F \cap G$? On sait seulement que $x \in F$ mais pas à $G$...
    De 1) et 2), tu en déduis... Rien du tout. Qui te dit que nous sommes en présence d'espaces vectoriels?
    Tu utilises des hypothèses qui ne sont pas du tout présentes dans l'énoncé. Il y a des erreurs de raisonnement et de logique dans ce que tu écris.
    Ce n'est pas grave mais reprends calmement mes questions.
    Lis bien l'énoncé.
    Reprends mes numéros de questions :
    1) a) On sait que $x \in F \setminus G$ donc $x \in F$ mais $x \notin G$. Or, $F \subset ...$ donc ???
    Pareil pour $y$, écris les choses.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (21 Feb)
    Oui tu as le droit de commencer par la réciproque ! ;)
    Ah d'accord !
    Maintenant, il est temps d'attaquer le sens direct, poursuis tes efforts et rédige moi celaquand tu auras le temps ! ;)
    Le sens direct me semble un peu plus difficile... Je suis paumée d'idée, je n'arrive pas à démontrer que $-x\in F$. Mais je joins ce que j'ai fait. 
     Reprends mes numéros de questions :
    1) a) On sait que $x\in F\subseteq G$ donc $x\in F$ mais $x\notin G$. Or, $F\subset G$ donc $x\in F\cup G$.
     b) On sait que $y\in G$ donc $y\in G$ mais $y\notin F$. Or, $G\subset F$ donc $y\in F\cup G$. Puisque $x\in F\cup G$ et $y\in F\cup G$ et on en conclut que $x+y\in F\cup G$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • $x\in F\subseteq G$ ---> Non, dans le sens direct, on n'a pas $F \subseteq G$ (on a raisonné par l'absurde et on a supposé que $F$ n'est pas inclus dans $G$).
    Je reprends : 
    1) a ) On sait que $x \in F$ mais $x \notin G$. Or, $F \subset F \cup G$ donc $x \in F \cup G$.
    Ensuite, ce que tu fais dans la question b) qui n'est pas la question b) mais toujours la question a) n'est pas bon non plus.
    Nous n'avons pas l'hypothèse $G \subset F$, c'est même le contraire : par l'absurde, on suppose que $G$ n'est pas inclus dans $F$.
    Ce qu'il fallait écrire est : on sait que $y \in G$ mais $y \notin F$. Or, $G \subset F \cup G$ donc $y \in F \cup G$.
    Puisque, par hypothèse, $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$, $x+y \in F \cup G$ (stabilité par somme).
    b) Où est $x$? A quel sous-espace vectoriel appartient-il? Quelles sont les propriétés d'un s.e.v?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Amadou
    Modifié (21 Feb)
    $x\in F\subseteq G$ ---> Non, dans le sens direct, on n'a pas $F \subseteq G$...
    Je n'avais pas remarqué du tout, c'était une erreur de ma part. J'avais essayé de copier votre raisonnement, mais je me suis trompé dans la notation.

    Je crois qu'il serait préférable pour moi d'utiliser un ordinateur afin de ne plus (moins) faire d'erreur.
    b) Où est $x$? A quel sous-espace vectoriel appartient-il? Quelles sont les propriétés d'un s.e.v?
    De façon générale $x$ est dans l'espace vectoriel $E$. Il appartient au sous-espace vectoriel $F$. 
    Les propriétés d'un sous-espace vectoriel sont : 
    $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :
    1. $F$ est non vide
    2. Pour tout $x, y$ appartenant à $F$ et pour tout $\alpha \in \mathbb K$ ($\mathbb K$ un corps) on a $\alpha x + y\in F$.
    1er cas : supposons que $x+y \in F$. 
    b) Justifier que $-x \in F $. Calculer $x+y-x$ et conclure ce premier cas.
    Supposons que $x+y \in F$.
    Soit $x\in F$ alors il existe un élément de $F$ noté $-x$ tel que $x+(-x)=0_F$. Donc par stabilité $-x\in F$. Calculons $x+y-x$.
    $x+y-x= y$. Comme $-x\in F$ et $x+y\in F$. Alors $y\in F$ (par stabilité). Ce qui est absurde d'après l'hypothèse de départ* $y\notin F$.
    2ème cas : supposons que $x+y \in G$.
    c) Justifier que $-y \in G$. Calculer $x+y-y$ et conclure ce deuxième cas.
    Supposons que $x+y \in G$.
    Soit $y\in G$ alors il existe un élément de $G$ noté $-y$ tel que $y+(-y)=0_G$. Donc par stabilité $-y\in G$. Calculons $x+y-x$.
    $x+y-y= x$. Comme il est supposé que $x+y\in G$ et $-y\in G$. Alors $x\in G$ (par stabilité). Ce qui est absurde d'après l'hypothèse de départ* $x\notin G$.

    * 1) Sens direct : supposons que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Raisonnons par l'absurde : supposons que $F$ n'est pas inclus dans $G$ et que $G$ n'est pas inclus dans $F$. Alors il existe $x \in F \setminus G$ (i.e : $x \in F$ mais $x \notin G$) et il existe $y \in G \setminus F$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Pour la conclusion $F\cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    Bonjour Amadou.

    Tu fais des phrases bizarres, peut-être par imitation de démonstrations que tu as vues, mais tu donnes l'impression de ne pas comprendre ce que tu écris. Prenons par exemple : 
    "Supposons que x+y∈F.
    Soit x∈F alors il existe un élément de F noté −x tel que x+(−x)=0F. Donc par stabilité −x∈F. Calculons x+y−x."

    "Soit $x\in F$ " indique que tu prends un nouvel élément dans $F$, or ce $x$ est déjà défini !! Donc le mot "Soit" n'est pas le bon. Ensuite, une fois $x$ défini, $-x$ est défini, donc le "il existe" est de trop. Et inutile de perdre son temps, $F$ étant un sev, $-x$ est dans $F$. Ensuite le "Donc par stabilité" n'a aucun sens. On te l'a fait remarquer, tu n'utilises pas la stabilité d'une loi ici, donc tu baratines.
    Il faut que tu arrêtes d'essayer d'imiter les phrases que tu as lues, et faire la démonstration avec ton propre vocabulaire, et en appliquant les règles connues de ton cours.
    Ici, avec mon vocabulaire, j'aurais écrit (mais ne me copie pas) :
    Supposons que $x+y\in F$; comme $x$ est dans $F$, alors $-x$ aussi, et $x+y-x=y$ est dans $F$.
    Ça suffit, on ne va pas rappeler les évidences sur les lois des espaces vectoriels, le lecteur les connaît. Et s'il ne les connaît pas, il ne faut pas qu'il fasse ce genre d'exercice.
    Cordialement.
  • Amadou, ce que tu as écrit ici est mieux mais tu peux encore améliorer ta rédaction comme te l'a fait remarquer gerard0.
    Je suis à $90\%$ d'accord avec ses remarques : pas besoin de définir $x$ lorsqu'il est déjà défini et ton "il existe" avec $-x$ n'est pas du plus bel effet vu que $x$ est déjà défini donc tu peux parler directement de $-x$.
    En revanche, "Ça suffit, on ne va pas rappeler les évidences sur les lois des espaces vectoriels" ---> Là, je ne suis pas d'accord avec gerard0. Evidemment, lorsque nous avons du recul sur le sujet, nous n'allons pas rappeler sans cesse les éléments basiques de la preuve mais lorsqu'on débute comme toi Amadou ou comme mes choupis de L2 en algèbre générale, je pense qu'il faut écrire les "évidences".
    Ainsi, j'écris (en m'adaptant à mon public, je m'adresse à Amadou qui débute en algèbre linéaire) : 
    1) b) Supposons que $x+y \in F$.
    $x \in F$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ donc (par stabilité par multiplication par un scalaire), $-1.x=-x \in F$.
    $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $x+y$ et $-x$ donc (par stabilité par somme), $x+y+(-x)=x+y-x=y \in F$. Ce qui contredit l'hypothèse : $y \notin F$.
    Quelque part, l'idée de stabilité est bonne je trouve, je ne suis pas totalement d'accord avec toi gerard0 bien qu'Amadou puisse gagner en précision et en rigueur dans ses écrits. On a bien une stabilité par somme (sous-groupe additif de $(E,+)$) et par multiplication par un scalaire (i.e : la loi externe multiplicative de $E$ doit induire une loi externe de $\mathbb{K} \times F$ dans $F$) . C'est ce qui donne un s.e.v. et savoir quand on utilise telle condition ou telle hypothèse pour comprendre l'articulation du raisonnement est important. On pourra s'autoriser à aller plus vite pour la suite.
    Amadou, tu fais de beaux efforts, j'apprécie beaucoup ! Si tu veux, je te propose un autre exercice prochainement ! ;)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • raoul.S
    Modifié (21 Feb)
    En généralisant ça devient nettement plus difficile : Soient $E$ un espace vectoriel sur $\R$ (ou sur un corps de caractéristique nulle), $n\geq 1$ un entier et $E_1,...,E_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que si $E_1\cup ...\cup E_n=E$ alors il existe $i\in [\![1,n]\!]$ tel que $E_i=E$.

    PS. si la caractéristique n'est pas nulle c'est faux.

    Edit : suite à la remarque de Foys ci-dessous, il suffit que le corps soit infini (pas besoin de caractéristique nulle).
  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    NicoLeProf
    J'ai enseigné les espaces vectoriels en seconde technique dans mon jeune temps. Il y avait deux sortes d'élèves :  ceux qui avaient compris le tout premier chapitre (en gros, on calcule comme d'habitude si on se contente d'additionner et de multiplier uniquement par des scalaires, et un sev est un ev), qui s'en sortaient toujours ; et ceux qui faisaient les exercices en refusant de comprendre les règles de base, donc par imitation. J'ai trop vu d'imitateurs perdus au bout d'un certain temps (*) pour ne pas reconnaître un fonctionnement de ce type. Amadou en est encore à imiter, sans comprendre les mots qu'il écrit. Peut-être le français n'est-il pas sa langue, mais ça ne lui servira à rien de continuer ainsi.
    Cordialement.
    (*) Parfois des années ! J'ai eu en début d'IUT un étudiant qui avait eu 13 en maths au bac STI. Mais ne savait pas dériver x². Certains arrivent jusqu'à Polytechnique.
  • Foys
    Modifié (21 Feb)
    raoul.S a dit :
    En généralisant ça devient nettement plus difficile : Soient $E$ un espace vectoriel sur $\R$ (ou sur un corps de caractéristique nulle), $n\geq 1$ un entier et $E_1,...,E_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que si $E_1\cup ...\cup E_n=E$ alors il existe $i\in [\![1,n]\!]$ tel que $E_i=E$.
    PS. Si la caractéristique n'est pas nulle c'est faux.
    On a juste besoin d'avoir le corps de base infini.
     Application : soit $K$ un corps infini et $L$ une extension algébrique séparable finie de $K$ ; alors il existe $a\in L$ telle que $K[a]=L$ (théorème de l'élément primitif. "Séparable" veut dire que pour tout $x\in L$, si $P$ est le polynôme minimal de $x$ dans $K$ alors les racines de $P$ dans une clôture algébrique de $K$ sont distinctes i.e. $P\wedge P' = 1$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Autre application : si $E$ est un $K$-ev de dimension finie et $f\in L(E)$, il existe $x\in E$ et $Q\in K[X]$ unitaire tel que $Q=\pi_f$ et pour tout $P\in K[X]$, $P(f)(x)=0$ ssi $Q\mid P$.
  • Je suis tout à fait d'accord avec toi gerard0 ! Et je te remercie pour ton dernier message très intéressant et instructif !
    Du coup, je pense qu'il est d'autant plus important qu'Amadou s'aperçoive du moment où l'on utilise une hypothèse, aussi simple soit elle. ;)
    Je remarque cela aussi pour mes L2 qui ont des difficultés sur des exercices que je trouve faciles ou disons très abordables. Du coup, je détaille à fond la rédaction lors de la correction pour leur montrer où chaque hypothèse est utilisée. (Après leur avoir laissé un grand temps de recherche bien sûr, mais malheureusement, ils ont du mal à prendre des initiatives).
    Je constate avec amusement que les autres intervenants brillants du forum veulent me pousser dans mes retranchements ! :D
    Je les remercie pour leurs propositions, j'ai commencé à réfléchir à celle de raoul sans succès notoire pour le moment! ^^
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Foys a dit : 
    On a juste besoin d'avoir le corps de base infini.

    Effectivement, j'ajoute un edit.

    @NicoLeProf j'ai édité.

  • JLapin
    Modifié (21 Feb)
    Il suffit que $K$ contienne au moins $n+1$ éléments, non ?
  • Pour l'exo de raoul.S, je sèche pas mal, je pense à une récurrence mélangée à un raisonnement par l'absurde (en supposant que $E_n$ n'est pas inclus dans l'union des autres $E_i$) mais je ne sais pas quoi faire ensuite... Effectivement, la difficulté augmente drastiquement !
    Pour l'exo de Foys, j'ai un peu plus d'idées malgré le fait que ce soit des notions très avancées (j'ai fait des recherches aussi honnêtement pour comprendre les défs) : 
    $L$ est une extension finie de $K$ donc $L$ est un corps fini contenant $K$. Dès lors, le groupe multiplicatif $(L^*,\times)$ est cyclique (j'ai vu cela sur internet, je me suis dit que cela peut être utile !) .
    Ainsi, il existe $a \in L^*$ tel que $L^*=<a>$.
    J'ai maintenant envie de prouver que $L=K[a]$.
    Le sens direct me semble abordable : soit $x \in L$.
    Si $x=0$ alors $x$ est bien un polynôme en $a$ à coefficients dans $K$ : le polynôme nul.
    Si $x \neq 0$ alors $x \in L^*$ donc $x$ est une puissance de $a$ donc $x$ est bien un polynôme en $a$ à coefficients dans $K$.
    En revanche, je n'arrive pas à démarrer la réciproque... Je pense qu'il faut utiliser à cet endroit que $L$ est séparable mais je ne vois pas comment.
    Bref, pas glorieux tout ceci ! :(
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • raoul.S
    Modifié (21 Feb)
    @JLapin Il me semble qu'il suffit que $K$ contienne $n$ éléments (sauf erreur).
  • @NicoLeProf essaie d'abord avec $n=3$ ($n=2$ tu l'as déjà fait). Si tu y arrives tu devrais pouvoir généraliser. 
  • JLapin
    Modifié (21 Feb)
    @JLapin Il me semble qu'il suffit que K contienne n éléments (sauf erreur).

    Donc je n'ai pas tort (j'ai donné $n+1$ un peu au pif) ;)
    @NicoLeProf. Tu peux chercher à utiliser des droites affines bien choisies.

  • Amadou
    Modifié (21 Feb)
    gerard0 a dit :
    Tu fais des phrases bizarres, peut-être par imitation de démonstrations que tu as vues, mais tu donnes l'impression de ne pas comprendre ce que tu écris. 
    Bonjour @gerald0 ! Je n'ai pas du tout remarqué. Bien sûr que je comprends ce que j'écris mais c'est la méthode, l'usage des bons termes qui me font défaut. 
    "Soit $x\in F$ " indique que tu prends un nouvel élément dans $F$, or ce $x$ est déjà défini !! Donc le mot "Soit" n'est pas le bon. Ensuite, une fois $x$ défini, $-x$ est défini, donc le "il existe" est de trop. Et inutile de perdre son temps, $F$ étant un sev, $-x$ est dans $F$. Ensuite le "Donc par stabilité" n'a aucun sens. On te l'a fait remarquer, tu n'utilises pas la stabilité d'une loi ici, donc tu baratines.
    Il faut que tu arrêtes d'essayer d'imiter les phrases que tu as lues, et faire la démonstration avec ton propre vocabulaire, et en appliquant les règles connues de ton cours.
    Ici, avec mon vocabulaire, j'aurais écrit (mais ne me copie pas) :
    Supposons que $x+y\in F$; comme $x$ est dans $F$, alors $-x$ aussi, et $x+y-x=y$ est dans $F$.
    Pour être honnête avec vous je n'imite pas des phrases mais la façon dont j'ai compris les choses. Ce n'est pas quelque chose de nouveau pour moi, j'ai toujours rencontré des difficultés lors de la rédaction d'une démonstration mathématiques. Les maths sont faciles pour vous mais ce n'est pas le cas pour moi aujourd'hui mais peut être dans un avenir avec de la pratique j'aurai même un niveau plus élevé que la vôtre :) . Les ensembles, les groupes, les anneaux et voilà les espaces vectoriels tous sont des trucs nouveau pour moi. Au lycée on nous a pas appris à bien raisonner. Donc pour mieux comprendre les choses j'ouvre un autre fil de discussion https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2336919/comment-bien-redige#latest pour une bonne compréhension des mots utilisés lors de ma rédaction.

    Je dirais qu'il est mieux parfois de copier* lorsque tu as des difficultés de raisonnement et essaye le comprendre au fil des temps. 

    *Quant on est débutant et que nous manquons les bases.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • Amadou
    Modifié (21 Feb)
     Et s'il ne les connaît pas, il ne faut pas qu'il fasse ce genre d'exercice.
    C'est décourageant ! On peut les connaître et oublier de l'utiliser dans nos raisonnement. Moi je dirais qu'il est mieux de le rappeler sans cesse pour quelqu'un qui sollicite votre aide. 
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • gerard0
    Modifié (21 Feb)
    En fait, tu croyais bien faire en employant des tournures de phrase que tu ne comprenais pas. Tu ne comprenais pas que "soit ... " introduit un nouvel élément (généralement quelconque, mais d'un type particulier, et avec un nom). Mais déjà, tu n'avais pas compris auparavant que tu avais définis deux objets particuliers, $x$ et $y$, qui désormais étaient connus de celui qui lit (une démonstration est faite pour être lue, pense à celui qui va te lire), donc inutile de les redire; on peut en parler tout au long de la preuve. Le pire, c'est que tu venais justement de le faire : "Supposons que x+y∈F." donc pas de raison de changer ...
    Ensuite tu avais besoin de -x; en algèbre linéaire (ou en théorie des groupes), dès qu'on a un élément connu (ton x est "connu" puisque tu as dit qui il est au départ), son symétrique pour la loi de groupe est parfaitement défini, pas la peine de mettre un "il existe", on le sait. Le "il existe" vient préciser qu'on va pouvoir se servir d'un objet jusque là inconnu. Je ne reviens pas sur "stabilité".
    Enfin la phrase qui finissait ( "Et s'il ne les connaît pas ...") s'adresse au lecteur d'un tel exercice, qui ne peut comprendre la preuve que s'il connaît bien les bases. Mais toi, tu as relu et encore relu les premières pages de ton cours, et tu les connais bien. Donc tu peux lire sans qu'on te redise ce qu'il y a dans ton cours.
    Cordialement.
    NB. On rédige "bien" quand on connaît sur le bout du doigt les définitions, règles et théorèmes du cours. La rédaction n'est que l'utilisation de ces connaissances, rappelées ou évoquées.
  • raoul.S
    Modifié (21 Feb)
    NicoLeProf a dit : 
    $L$ est une extension finie de $K$ donc $L$ est un corps fini contenant $K$

    Attention, dire que $L$ est une extension finie de $K$ veut simplement dire que $L$ est de dimension finie lorsqu'on le regarde comme espace vectoriel sur $K$, pas que $L$ est fini.

    Sinon je n'arrive pas à faire l'exo de Foys moi non plus :mrgreen:

    @Foys tu fais comment pour appliquer l'histoire sur l'union des sous-espace vectoriels au théorème de l'élément primitif ?

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