Trivialiser une convergence uniforme avec la continuité uniforme ?

UItraviolet
Modifié (18 Feb) dans Analyse
Bonjour à tous,

Comme à mon habitude, je préfère les preuves concises et élégantes à celles longues et calculatoires c'est pourquoi j'aimerais en proposer une au problème suivant : 
 
D'abord on montre que $f_{n}$ converge simplement vers $e^{-x}$. Pour montrer que la convergence est uniforme je cherche alors à montrer que la différence $\left|e^{-x}-e^{nln(1-\frac{x}{n})} \right|$ tend uniformément vers $0$. Pour ce faire, je pose $\varepsilon > 0$, j'utilise le fait que la fonction exponentielle soit uniformément continue sur le compact $\left [ 0,n \right ]$, et comme $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}nln(1-\frac{x}{n})=-x$, j'obtiens l'existence d'un rang $N$ tel que $nln(1-\frac{x}{n})$ soit «delta-proche» de $-x$, ce qui entraîne que ma différence $\left|e^{-x}-e^{nln(1-\frac{x}{n})} \right|$ soit inférieure à $\varepsilon$. Et ce indépendamment du choix de $x$. 

Est-ce qu'il y a une arnaque, ça me paraîtrait un peu trop simple, la plupart des preuves des convergences uniformes pourraient se trivialiser avec le théorème de Heine ?
Bien cordialement,
UItraviolet. 
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (17 Feb)
    Pour ma part, dans cette rédaction, je ne vois pas
    où est utilisée la [pas convergence] [continuité] uniforme. Elle est mentionnée mais qu’est-ce que cela apporte ? Ou plutôt qu’est-ce que cela permet ? Sous quel théorème ?

    édit : désolé. 
  • Ben314159
    Modifié (18 Feb)
    Salut
    Perso, je suis un peu sceptique concernant cette preuve.
    - Déjà, si ce que tu évoques, c'est uniquement la continuité uniforme de $x\mapsto e^{-x}$ sur l'intervalle $[0,n]$ (via le théorème classique), ça signifie que, lorsque tu prends un $\varepsilon\!>\!0$, il va certes exister un $\eta\!>\!0$ et indépendant de $x$ tel que ... sauf que ce $\eta$ il dépend (a priori) de $n$ ce qui fait capoter la suite. 
    Donc si tu veux passer la par cette voie là, ce qu'il te faudrait, c'est de la continuité uniforme de $x\mapsto e^{-x}$ sur $[0,+\infty[$  tout entier (ce qui est vrai, mais il faut bien sûr le justifier).
    - C'est bien beau de dire que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\,\ln\big(1\!-\!\frac{x}{n}\big)=-x$, mais le résultat "classique", il parle de cette limite pour un $x$ fixé, donc c'est de la convergence simple.  Alors que là, bien évidement, ce dont tu as besoin, c'est de convergence uniforme sur $[0,+\infty[$ vu que c'est ça qu'on te demande de montrer.
  • UItraviolet
    Modifié (18 Feb)
    @Dom la convergence uniforme c'est ce que je voulais prouver.
    Bien à vous
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • UItraviolet
    Modifié (17 Feb)
    @Ben314159 Si je reprends la définition de la convergence uniforme, $\forall \varepsilon >0, \exists N\in \mathbb{N},\forall n\geq N,\forall x\in \mathbb{R^{+}},\left| e^{-x}-e^{nln(1-\frac{x}{n})} \right|<\varepsilon $, alors en effet, il y a bien un problème avec mon utilisation du théorème de Heine qui dépend de $n$ dès le début. En revanche, si j'arrive donc à montrer que $x\mapsto e^{-x}$ est uniformément continue sur $\mathbb{R^{+}}$, alors il ne me reste plus qu'à montrer que $\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}n\,\mathrm{ln}\left(1-\frac{x}{n}\right)=-x\,$ est une convergence uniforme, j'ai déjà simplifié le problème en quelque sorte non? 
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Pardon. Je corrige mon message. Je voulais dire « continuité » à la place de « convergence ». 
    Quel est le théorème que tu utilises pour dire « alors il ne le reste plus qu’à » ?
  • Ben314159
    Modifié (18 Feb)
    Oui et non vu que : 
    1) La suite de fonctions $f_n:x\mapsto\ln\big(1\!-\!\frac{x}{n}\big)$ ne risque pas de converger uniformément vers $x\mapsto -x$ sur $\mathbb{R}_+$ vu que les $f_n$ ne sont pas définies sur $\mathbb{R}_+$, mais seulement sur $[0,n]$ (et en plus, elles tendent vers $-\infty$ en $n$).
    2) Ce n'est cette fonction là que tu dois étudier sur $\mathbb{R}_+$ vu que ce n'est pas celle là qui apparaît dans l'énoncé.
    Et sinon, ce que je comprends de ton idée, c'est que tu veux utiliser le résultat (évident) disant que, si une suite de fonctions $(h_n)$ de $I$ dans $J$ (intervalles de $\mathbb R$) converge uniformément vers $h$ sur $I$ et que $g$ est une fonction uniformément continue de $J$ dans $\mathbb{R}$, alors la suite de fonctions $(g\!\circ\!h_n)$ converge uniformément vers $g\!\circ\!h$ sur $I$.
    L'idée n'est pas con, sauf qu'ici, ça ne marche pas : $g:x\mapsto e^{-x}$ est bien uniformément continue sur $\mathbb{R}_+$, mais tes fonctions $h_n$ ne convergent pas uniformément vers $x\mapsto -x$ sur $\mathbb{R}_+$.
  • plsryef
    Modifié (18 Feb)
    Cependant $\forall n \in \mathbb{N} ,\ \lim_{x \rightarrow + \infty} f_n (x)=0$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty} e^{-x}=0$.
  • gebrane
    Modifié (18 Feb)
    Est ce que il y a erreur sur le nom du théorème, parles-tu de Dini car la suite $\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n\ }$  est monotone.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Foys
    Modifié (18 Feb)
    NB: pour tout entier $n$ et tout $x$ (réel, complexe, dans une algèbre de Banach, etc), $$\exp(x) - \left (1+\frac x n \right )^n = \left [ \sum_{k=0}^n  \left (\frac 1 {k!} - \frac 1 {n^k} \binom n k \right ) x^k \right ]+ \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \tag{$\dagger$}$$ Quel intérêt me direz-vous? Et bien tous les coefficients qui apparaissent dans cette série entière sont positifs.
    En effet soit $n\in \N$ et $k\leq n$, alors $$\begin{align}  \frac 1 {k!} - \frac 1 {n^k} \binom n k & = \frac 1 {k!} - \frac{1}{k!} \frac {1} {n^k} \frac{n!}{(n-k)!} \\ & = \frac 1 {k!} \left (1 - \frac{1}{n^k} \prod_{j= 0}^{k-1} (n-j) \right) \\ & = \frac 1 {k! n^k} \left (n^k - \prod_{j=0}^{k-1} (n- j)\right) \geq 0\end{align}$$
    Cela entraîne immédiatement, pour tout $n \in \N$, tout $R\in [0,+\infty[$ et tous $x\in \R$ (ou $\C$, ou une algèbre de Banach ...) tel que $R \geq |x|$, les inégalités $$\left | \exp x - \left (1 + \frac x n \right)^n \right | \leq \exp (|x|) - \left ( 1 + \frac{|x|}{n}\right)^n \leq \exp (R) - \left ( 1 + \frac{R}{n}\right)^n $$ Ainsi, la convergence (passer au log) vers $0$ de la suite de réels $\left ( \exp (R) - \left ( 1 + \frac{R}{p}\right)^p \right)_{p\in \N}$ entraîne la convergence uniforme de la suite de fonctions correspondante sur toute la boule $B(0,R)$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • UItraviolet
    Modifié (18 Feb)
    Re tout le monde, après quelques recherches j'ai trouvé une résolution qui se rapproche de mon idée initiale, il se trouve que j'ai rencontré cet exercice dans le bouquin de M. El Amrani, et que le même exo est dans le Gourdon (on ne change pas les bonnes habitudes!), qui propose une deuxième solution :

    Je trouve cette preuve totalement géniale.
    Bien à vous,
    UItraviolet
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • @Foys n'ayant pas encore touché les séries entières, je ne sais pas si votre preuve est intuitive mais je la garde en tête. 
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Si tu veux vraiment trivialiser la CU, tu appliques plutôt le théorème de Dini
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • N’est-il pas temps de rédiger des théorèmes et leurs preuves pour savoir si le cas traité est particulier ou s’il se généralise ? 
  • @gebrane Oui, en effet je crois que j'ai utilisé à tort le théorème de Heine et que celui de Dini est bien plus adapté dans ce cas, vu qu'il ne se restreint pas à un intervalle dépendant de $n$!
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  • @Dom le temps m'est compté en ce moment. Ce n'est pas l'envie qui me manque d'explorer toutes ces idées pour mieux me familiariser avec les notions mais je pense que me confronter à des exos classiques sera plus efficace pour atteindre ce but.
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  • JLapin
    Modifié (18 Feb)
    Si tu veux vraiment trivialiser la CU, tu appliques plutôt le théorème de Dini
    Ici, il s'agit de vérifier une cvu sur $\R_+$, pas sur un segment.
    La preuve proposée intitulée "seconde méthode" me semble assez naturelle : pour contrôler $f(u_n) - f(\ell)$, l'idée d'utiliser des inégalités des accroissements finis ou de Taylor Lagrange vient assez spontanément.
  • gebrane
    Modifié (18 Feb)
    J'avais lu Foys ''entraîne la convergence uniforme de la suite de fonctions correspondante sur toute la boule B(0,R)"".
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • On peut appliquer Dini même si c'est sur $\R_{+}$. En effet pour tout $\varepsilon >0$, il existe $x_0$ tel que $e^{-x}\leq \varepsilon$ pour tout $x\geq x_0$, puis on applique Dini sur $[0,x_0]$ et c'est fini.
  • JLapin
    Modifié (18 Feb)
    On peut appliquer Dini

    On peut toujours appliquer un théorème tant que ses hypothèses sont respectées : je suis assez d'accord avec ça ;)

    Et merci pour cette jolie utilisation du théorème de Dini !

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