Le concept d'indice en analyse complexe

Ta définition préférée du logarithme, c'est la primitive de l'inverse nulle en $1$, non ? Ce qu'on voudrait appeler logarithme d'un nombre complexe $z$ non nul, c'est $\ln|z|+\mathrm{i}\arg(z)$, avec un problème parce que l'argument $\theta=\arg z$ n'est défini qu'à $2\pi$ près. Note que pourtant la différentielle $\mathrm{d}\theta$, elle, est parfaitement définie (c'est d'ailleurs l'archétype d'une forme fermée non exacte, ce qui est une bonne manière d'introduire le concept d'homologie) : partant d'une formule quelconque qui exprime $\theta$ en fonction de $(x,y)$, par exemple $\theta=\arctan(y/x)$ sur l'ouvert où $x>0$, ou bien $\theta=2\arctan\Bigl(y/\bigl(x+\sqrt{x^2+y^2}\bigr)\Bigr)$ sur $\C\setminus\R^-$, on finit par trouver que \[\mathrm{d}\theta=\frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^2+y^2},\]qui est – surprise ! – la partie imaginaire de $\mathrm{d}z/z$ (à un facteur deux près ?). On a en effet \[\frac{\mathrm{d}z}{z}=\frac{(x-\mathrm{i}y)(\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y)}{x^2+y^2}=\frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{x^2+y^2}+\mathrm{i}\frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}=\mathrm{d}\ln r+\mathrm{i}\mathrm{d}\theta\] où $(r,\theta)$ est caractérisé par $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, c'est-à-dire $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$.

Quand un chemin fermé $\gamma$ fait des tours autour de $0$, le nombre de tours est le quotient par $2\pi$ de la variation de $\theta$, laquelle est l'intégrale de $\mathrm{d}\theta$ le long du chemin. Comme l'intégrale de $\mathrm{d}r/r$ – la partie réelle de $\mathrm{d}z/z$ – est nulle parce qu'il y a bien une fonction $r(x,y)$, eh bien l'intégrale de $\mathrm{d}z/z$ est celle de sa partie imaginaire.

Après pour des tours autour de $z_0$ on remplace $z$ par $z-z_0$.

1°) Soit $A$ l'ensemble des fonctions de $[0,1] \times (\R/2\pi \Z)$ dans $\R$ de la forme $x, y \mapsto P\left (x, \cos (y), \sin (y) \right)$ où $P\in \R[X,Y,Z]$. Alors $A$ est dense dans $\mathcal C^0 \left ([0,1] \times (\R/2\pi \Z) , \R\right)$ muni de la norme infinie (via le théorème de Stone-Weierstrass, en tout cas sa forme générale: $A$ est une sous-algèbre séparante de $\mathcal C^0 \left ([0,1] \times (\R/2\pi \Z) , \R\right)$ contenant toutes les fonctions constantes).

2°) Dans ce qui suit, si $d\in \N$ et $E$ est une partie de $\R^d$, une fonction $f$ de $E$ dans $\R$ sera dite "$\mathcal C^{\infty}$" s'il existe un ouvert $V$ de $\R^d$ et une fonction $g$ de $V$ dans $\R$, de classe $\mathcal C^{\infty}$ au sens usuel sur les ouverts, et telle que $g|_E = f$.

Le résultat du 1°)  entraîne que toute fonction continue $f$ de $[0,1] \times \R$ dans $\R$ qui est $2\pi$-périodique en sa deuxième variable, est limite uniforme de fonctions $\mathcal C^{\infty}$; $(f_n)_{n \in _N}$ de $[0,1] \times \R$ dans $\R$, périodiques par rapport à leur deuxième variable.

3°) Soit $U$ un ouvert de $\C$, $f: U \to \C$ une fonction holomorphe (ici cela veut dire $\mathcal C^1$ et dérivable au sens complexe. Dans le livre "analyse réelle et complexe" de Walter Rudin, il est démontré que l'hypothèse $\mathcal C^1$ est superflue).

Soit $\gamma: [0,1] \times \R \to \C$ périodique en sa deuxième variable et dont les parties réelles et imaginaires sont $\mathcal C^{\infty}$.

On suppose que l'image de $\gamma$ est contenue dans $U$. On désigne par $\partial_1 \gamma$ (resp. $\partial_2 \gamma$) la dérivée de $\gamma$ par rapport à sa première (resp. deuxième variable).

En effet, au vu des hypothèses de régularité employées, l'intégrande est dérivable par rapport à $x$ et de dérivée bornée sur $[0,1] \times [0,2\pi]$. On peut échanger dérivation et intégrale et on a l'égalité $$\begin{align} \theta' (x) &= \frac d {du}|_{u:=x} \left (\int_0^{2\pi} \partial_2(\gamma) (u,t)f\circ \gamma (u,t) dt \right)\\ &= \int_0^{2\pi} \partial_1 \partial_2 \gamma(x,t) f \circ \gamma_(x,t)  + \partial_2 \gamma (x,t) \partial_1 \gamma (x,t) f' \circ \gamma (x,t) dt \\ &= \int_0^{2\pi} \partial_1 \partial_2 \gamma(x,t) f \circ \gamma_(x,t) dt + \left [ \partial_1 \gamma(x,t)  f \circ \gamma (x,t) \right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \partial_2 \partial_1  \gamma(x,t) f \circ \gamma (x,t)dt \\ &= 0 \end{align}$$

4°) Soient $\mu, \nu$ deux fonctions $\mathcal C^1$ par morceaux et $2\pi$-périodiques de $\R$ dans $U$. Si pour tout $x\in [0,1]$ et tout $t\in \R$, $(1-x) \mu(t)+x\nu(t) \in U$, alors la fonction $\Theta;= x \mapsto \int_0^{2\pi} \left (x\mu'(t) + (1-x)\nu'(t) \right) f \circ \left ( x\mu(t) + (1-x)\nu(t) \right) dt$.

L'argument est analogue à celui tenu au 3°).

5°) Soient $\gamma_1, \gamma_2$ deux fonctions $\mathcal C^1$ par morceaux et $2\pi$-périodiques de $\R$ dans $U$. On suppose que $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont homotopes dans $U$ (i.e. qu'il existe $\delta : [0,1] \times \R \to U$ continue et périodique par rapport à sa deuxième variable, telle que $\delta(0,\_) = \gamma_1$ et $\delta(1,\_ ) = \gamma_2$). Alors pour toute fonction holomorphe $f$ de $U$ dans $\C$, $\int_0^{2\pi} \gamma_1' (f) f\circ \gamma_1 (t) dt = \int_0^{2\pi} \gamma_2' (f) f\circ \gamma_2 (t) dt $ (ce qui est le vrai théorème fondamental de l'analyse complexe à mon avis. Tout s'y ramène. Les homotopies laissent intactes les intégrales et donc un lien direct entre analyse et topologie de $U$ apparaît. On a des théorèmes analogues ave mêmes preuves pour des formes différentielles fermées de degré 1 en dimension finie).

Pour prouver ce résultat il suffit de remarqer que par compacté il existe $\varepsilon>0$ tel que pour tous $(x,t) \in [0,1] \times \R$, La boule de centre $\delta(x,t)$ et de rayon $\varepsilon$ est contenue dans $U$ (voir l'autre fil de @Homo Topi sur le même sujet).  

On approche $\delta$ par une fonction $\mathcal C^{\infty}$ comme aux 1°) et 2°) et on applique les points 4°) et 5°) précédents.

6°) Etant donné $f: C^0([0,2\pi], \C \backslash \{0\})$ telle que $f(0) = f(2\pi)$, il existe une homotopie continue et $2\pi$-périodique entre $f$ (prolongée en fonction $2\pi$-périodique de manière évidente) et une fonction $g$ $\mathcal C^{\infty}$. On définit l'indice de $f$ en zéro par $\frac 1 {2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{g'(t)}{g(t)} dt$. Cette définition est correcte (le nombre en question est indépendant de la fonction $g$ choisie pour vérifier ces conditions et une telle fonction existe, à nouveau par Stone_Weierstrass). 

L'indice ainsi défini est constant sur les classes d'homotopie ($\mathcal C^0$: c'est ce que les considérations précédentes montrent).

7°) L'indice en $0$ de $t \mapsto \exp(int)$ est égal à $n$ pour tout entier $n$.

8°) Pour toute $f\in C^{0}(\R, \C \backslash \{0\})$ $2\pi$-périodique, il existe un entier $n$ et une homotopie continue entre $f$ et $t \mapsto \exp(int)$. Un tel entier est évidemment unique par ce qui précède.

Pour montrer l'existence de $n$, il suffit de traiter le cas $\mathcal C^{\infty}$ (en fait $\mathcal C^1$) par ce qui précède. Soit $c\in \C$ tel que $\exp c = f(0)$. Soit $L(x):= \int_0^x \frac  {f'(t)}{f(t)} dt$ et $G(x):= f(0) \exp \left (L(x) \right)$. Alors $ x \mapsto \frac {G(x)} {f(x)}$ est de dérivée nulle  (calcul direct) et comme elle vaut $1$ en $0$, on en déduit l'égalité $f(x) = \exp\left (L(x) \right) = \exp\left (i M(x) \right) $  pour tout $x\in \R$ avec $M(x):= \frac 1 i \left (c+ L(x) \right)$ pour tout $x$. $L$ et $M$ sont dérivables (donc continues) et comme $f(x + 2\pi) = f(x)$ on a $\exp\left (iM(2\pi + x) \right) = \exp\left (iM(x) \right)  $ pour tout $x$; ainsi la fonction continue $x \mapsto M(2\pi + x) - M(x)$ est à valeurs dans $2\pi \Z$ et est donc constante: il existe $n\in \Z$ tel que pour tout $x\in\R$, $M(2\pi + x) - M(x) = 2\pi n$.

Pour tout $p\in [0,1]$ et tout $x\in \R$, soit $h(p,t):= pM(x) +(1-p) nx $. Soit $H(p,x):= \exp \left (i h(p,x) \right) = \exp \left ( ip (M(x) - nx)\right ) \exp (inx)$. Alors $H$ est continue, ne s'annule jamais, pour tout $p$ $H$ est $2\pi$-périodique comme produit de deux fonctions $2\pi$-périodique et enfin, $H(0,x) = \exp(inx)$ et $H(1,x) = f(x)$ pour tout $x$ ce qui est le résultat voulu.

Cela donne un contenu formel à l'idée intuitive que l'indice de $f$ en $0$ est le nombre de tours que fait $f$ autour de $0$ (avec signe suivant le sens des tours).

Si tu acceptes que $r$ soit une fonction – au choix, $(x,y)\mapsto\sqrt{x^2+y^2}$ ou $(r,\theta)\mapsto\ r$ – et si tu m'autorises à noter $\ln r$ la composée – sans le rond – alors $\mathrm{d}\ln r$ est la différentielle de cette fonction. C'est d'ailleurs exactement ce que tu as fait...

Mais évidemment que $r$ est une fonction ! de même que $x$ ou $y$ d'ailleurs – même si ce sont également des symboles dénués de sens, ce sont aussi les fonctions $(x,y)\mapsto x$... En revanche $\theta$ n'est pas vraiment une fonction – ou bien elle n'est définie que localement, ou bien c'est une fonction multivaluée – même si sa différentielle est bien définie.

Bref, vu que $r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ on a\[\mathrm{d}r(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}y.\]Cela ne sert à rien pour calculer l'intégrale vu que $\frac{\mathrm{d}r}{r}$ est la différentielle de la fonction $\ln r:z\mapsto\ln|z|$ donc l'intégrale est $\ln |\gamma(b)|-\ln |\gamma(a)|$ (c'est-à-dire $0$ si le chemin est fermé). Quant à $\mathrm{d}\theta$ elle est donnée plus haut.

Bonjour,

Ben si $\gamma : t\mapsto \gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}$ sur $[a,b]$, alors

$$\int_\gamma a(r,\theta)\,dr+b(r,\theta)\,d\theta=\int_a^b \left(a(r(t),\theta(t))r'(t)+b(r(t),\theta(t))\theta'(t)\right)dt\;,$$

non ?

Salut Homo Topi

Une idée pour essayer de trouver une évidence à la formule des résidus et de faire un parallèle avec la transformation de Fourier d'un groupe :

si on voit $\mathbb{N}$ comme un monoïde ses caractères vers $\mathbb{C}$ sont les fonctions pour tout $\xi$ dans le cercle unité définie par $n\mapsto \xi^n$. La transformation de Fourier d'une fonction $a : \mathbb{N}\to\mathbb{C}$ devient $\sum_n a_n\xi^n$, autrement dit la série entière associée à la suite des $a_n$.

Pour la (pseudo) transformation inverse on va identifier les caractères du groupe des unités de $\mathbb{C}$ aux fonctions pour tout $k\in \mathbb{Z}$ : $z\mapsto z^k $, la formule d'inversion de Fourier donne $a_k =\int_{\mathbb{U}} f(z)z^{-k}du$ en intégrant sur la mesure de Haar du cercle unité. Si on reparamètre par la courbe $t\mapsto e^{i2\pi t}: [0,1] \to\mathbb{U}$ on tombe sur le facteur $i2\pi$

C'est une heuristique