Unicité d'une solution ?

Et même si tel est le cas, une contraction ($x_i\mapsto kx_i$ pour tout $i$ et $k$ non nul fixé) envoie une solution sur une autre.

Bonjour
Comment peux-tu démontrer l unicité d'une  chose qui n'existe pas. Pour n=3, dire que $x_2$ existe c'est dire que 1=0 vu la condition $\frac 1{0 -x_2}=\frac 1{1 -x_2}$.

Ok pour la contraction, je n'ai pas été assez attentif et l'écran est trop petit.

adrien2019 parfois  l'existence donne l'unicité 
Peux tu donner les $x_i$ pour n=4 et n=5 pour voir l évolution de ces $x_i$  je n'ai pas de quoi écrire la où je suis 
Peut être un programme peut faire les calculs 
 pour les petits n 

Voir cette discussion (mais est-ce plus clair ?).

On peut voir ce problème comme un problème d'électrostatique : $n$ particules de même charge (disons +1), placées en $x_1$, ... $x_n$,  sont contraintes au segment $[0,1]$ et chacune crée un "champ électrique" égal à $E_i(x) = \dfrac{1}{(x-x_i)^2} \dfrac{x-x_i}{|x-x_i|}$ (c'est le champ de Coulomb en 3 dimensions, mais le long d'une droite). La condition principale veut que le champ total perçu en $x_i$, qui est égal à $\sum_{j\neq i}E_j(x_i)$, soit nul pour chaque point intérieur (donc pour $2\leq i\leq n-1$). En électrostatique, ce serait une situation d'équilibre et les particules placées de cette manière ne bougeraient pas.
C'est juste une remarque, car après je ne vois pas non plus comment faire...
J'avais lu quelque part que pour le même problème avec le potentiel 2D (en $\log |x|$, et le champ en $1/x$) on obtient les polynômes de Legendre sur $[0,1]$... Alors, "intuition" : peut-être que les polynômes $P_n(X) = (X-x_1)\cdots (X-x_n)$ (pas les mêmes $x_i$ pour chaque $n$) sont orthogonaux pour un certain produit scalaire à trouver. Ça les ferait exister, et être unique.

Math Coss : ton involution ne serait-elle pas plutôt $x'_{n+1-i}=1-x_i$ ?

De   la contribution de i.zitoussi et bisam
Je note    pour tout $x$ distinct des $x_j$,  $f_j(x)=-\frac {1}{|x-x_j|}$.

 on a $f_j'(x)= \frac{x-x_j}{|x-x_j|^3}$ pour tout $x$ distinct des $x_j$ , en particulier
$f_j'(x_i)= \frac{x_i-x_j}{|x_i-x_j|^3}$, en particulier    $f_j'(x_i)= \frac{1}{(x_i-x_j)^2}$ si $j<i$  et  $f_j'(x_i)= -\frac{1}{(x_i-x_j)^2}$ si $j>i$  

 L'hypothèse $$\sum\limits_{j=1}^{i-1} \frac{1}{(x_i - xj)^2} = \sum\limits_{j=i+1}^n \frac{1}{(x_i - x_j)^2},\qquad \forall i \in \llbracket 2, n-1 \rrbracket$$ s'écrit  donc $$\sum_{j\neq i}  f_j'(x_i)=0 \quad \forall i \in \llbracket 2, n-1 \rrbracket.$$La suite à voir avec mon papa @john_john

Merci Ben ton approche est le bon 

En cherchant un autre truc, je suis tombé sur le même  problème sur MSE
Il est donné un un code en Python que je ne comprends pas . @dp help me 

Si quelqu'un peut donner un code pour ce problème, je le remercie (en python de préférence)

dp le problème est dans la conception de l algorithme, si tu as lu le message de Ben tu comprendras