Générateurs d'idéaux de polynômes

Homo Topi
Homo Topi
dans Algèbre
En lisant un peu sur les ensembles algébriques affines, je tombe sur le résultat suivant : si $S \subseteq k[X_1,...,X_n]$ est un ensemble de polynômes, alors l'ensemble $Z(S)$ des zéros communs à tous les éléments de $S$ est égal à $Z((S))$, où $(S)$ est l'idéal engendré par $S$.
Autre affirmation : les anneaux de polynômes étant noethériens, il existe une famille finie $S'$ de polynômes telle que $(S)=(S')$.
Donc en gros il suffit d'étudier les ensembles algébriques de la forme $Z(P_1,...,P_r)$. Maintenant la question : partant d'un ensemble $S$ de polynômes, typiquement infini, existe-t-il une méthode générale pour trouver des $P_1,...,P_r$ tels que $(S)=(P_1,...,P_r)$ ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    Comment t'es donnée la famille $S$ ? Supposons que $S$ soit donnée comme $(P_0,P_1,\ldots,P_n,\ldots)$ par un oracle qui te fournit le suivant de la liste quand tu lui réclames. Alors tu testes les uns après les autres les polynômes de $S$ pour savoir si $P_n$ est contenu dans l'idéal $\langle P_0,\ldots, P_{n-1}\rangle$ ; si oui, tu le jettes. Les logiciels de calcul formel savent faire ça, pourvu que le corps de base se prête aux calculs exacts.
    Bien sûr, il faudra être très très patient pour arriver au bout de la liste. :)
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Dans les "cas pratiques" (lire : dans les exos d'un cours de géométrie algébrique) la liste sera toujours finie, ou presque. C'était une question de curiosité, je suppose que l'argument est principalement d'utilité théorique, mais ça vaut toujours le coup de demander.
    Mais j'invente, par exemple prenons les polynômes en deux indéterminées dont tous les coefficients sont dans $\{0,1\}$, peut-être de degré $\leqslant d$ donné. Si l'idéal engendré par ce machin peut être finiment engendré et qu'un ligiciel me le calcule, c'est fort quand même (je trouve).
  • Math Coss
    Math Coss
    Parmi ces polynômes se trouve le polynôme $1$...
  • biguine_equation
    biguine_equation
    La méthode ci-dessus de GaBuZoMeu donne-t-elle le nombre minimum de générateurs ? 
    Par exemple,  $\langle x^2+x \rangle$ et $\langle x^2 \rangle$ sont deux sous-espaces propres de l’idéal $I=\langle x^2+x, x^2 \rangle \subset \mathbb{Z}[X]$. Mais $x \in I$ n’appartient ni à $\langle x^2+x \rangle$ ni à $\langle x^2 \rangle$.
    $2$ n’est donc pas le nombre minimum de générateurs de $I$. C’est une différence majeure avec les espaces vectoriels: si aucun sous-ensemble strict d’une famille génératrice n’engendre l’espace vectoriel $E$ alors cette famille est une base et le cardinal d’une base est le nombre minimum de générateurs.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Alors j'ai mal choisi mon exemple.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    On peut améliorer en faisant à chaque étape calculer une base de Groebner de l'idéal (c'est de toutes façons ce que fait le logiciel de calcul formel pour tester l'appartenance à l'idéal).
  • biguine_equation
    biguine_equation
    Modifié (February 2024)
    L’encadré ci-dessous (Monomial ideals and their decomposition, Moore, Rogers, Wagstaff) fournit une liste sans redondance de monômes générateurs d’un idéal $J$ définit sur un ensemble non-vide $S$ de monômes contenus dans $R=A[X_1,…, X_d]$. On sait par un théorème de Hilbert que tout idéal de $R$ est engendré par un ensemble fini de monômes.
    Soit l’idéal $J=(S)R=\{\sum_{i=1}^n s_i \in S, \: \in R \: \vert \: n \geq 0, \: s_i \in S, \: r_i \in R \}$.
    On définit sur $\mathbb{N}^d$ , la relation $\geq$: $(a_1,…, a_d) \geq (b_1,…, b_d)$ si $a_i \geq b_i$ pour tout $i$.

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (February 2024)
    "On sait par un théorème de Hilbert que tout idéal de $R$ est engendré par un ensemble fini de monômes."
    Ben non, tout idéal n'est pas monomial !
  • biguine_equation
    biguine_equation
    En effet ! Je voulais dire: tout idéal de $R$ engendré par des monômes a une base finie. 
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