Un sextuplet entre autres

Pour que GGB rame un peu moins on peut essayer de cacher les droites par exemple, pour ne pas surcharger les calculs liés à la fenêtre graphique. On peut aussi carrément ne pas les tracer du tout, par exemple en entrant A_B = Intersection(Droite(B, P), Perpendiculaire(A, Droite(P, B ))) dans la ligne de saisie.

Je me demande si on peut obtenir cette courbe sextique par une construction géométrique, sous la forme d'un lieu ?

Bonjour à tous,

Partant du même schéma que celui proposé par John_John, soit un triangle $ABC$, un point $P$ et les six projetés orthogonaux des sommets du triangle sur les céviennes passant par $P$, je répartis ces six points en deux triplets désignés selon "sommet/cévienne", soit $A/BP$, $C/AP$ et $B/CP$ d'une part, et $A/CP$, $C/BP$ et $B/AP$ d'autre part, et je m'intéresse aux paires de cercles passant par trois de ces points pris chacun sur une cévienne différente. Il existe quatre paires de tels cercles, que j'ai représentées sur les figures jointes l'une en rouge/vert (c'est la paire des cercles qui passent chacun par l'un des triplets $A/BP$, $C/AP$ et $B/CP$ d'une part, et $A/CP$, $C/BP$ et $B/AP$ d'autre part), et les autres en violet, rose et orange (celles des cercles qui passent par les triplets "mixtes").  

Quel est le lieu des points $P$ tels que les quatre droites des centres soient concourantes ?

Je joins deux cas de figure, avec concours (approximatif, ajusté "à la souris") et sans concours.

Je joins aussi en pdf le cas (que j'ai considéré en premier) où j'ai pris pour point $P$ le centre $I$ du cercle inscrit dans $ABC$, les céviennes étant alors les bissectrices intérieures du triangle. Alors, les quatre droites des centres concourent en $I$, ainsi qu'une huitième droite particulière ...

Bien cordialement, JLB