Fonction dans une équation d'exponentielles de matrice

LeVioloniste
Modifié (January 2024) dans Algèbre
Bonjour,
@OShine, je bloque sur cet exo.
On se place sur le corps commutatif $\mathcal{K}=\mathbb{C}$, On a 2 matrices $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathcal{K})$.
Soit $c \in \mathbb{C}^*$. On considère la relation $AB-BA=cB$.
Montrer que $e^{A+B}=e^{A}.e^{\rho(c).B}$ avec $\rho(c)=\dfrac{1-e^{-c}}{c}$.
Peux-tu m'aider ?

Réponses

  • Chaurien
    Modifié (January 2024)
    C'est un sous-forum LeVioloniste-OShine  :):p ?
    (Je n'ai peut-être pas tout suivi assez attentivement...)
  • LeVioloniste
    Modifié (January 2024)
    Bah sur ce lien il m'a laissé tombé ... Je le relance avec un autre exercice. Heureusement que mon cousin @gebrane et mon oncle  @john_john m'ont aidé à trouver !
    Matrice symétrique à coefficients inversés — Les-mathematiques.net

    Et puis on va bien s'amuser avec l'agrégation interne à partir de demain. Cela va être la folie ! @OShine va nous faire un corrigé comme les années précédentes.
    Comme tu peux le voir @Chaurien c'est une grande histoire de famille par ici.
  • JLapin
    Modifié (January 2024)
    Il est joli cet exercice !
    Voici deux questions intermédiaires pour les lecteurs intéressés.
    1) Montrer que $$\forall t\in \R, \quad e^{-tc} e^{tA}B = B e^{tA}.$$
    2) Montrer que $$\forall t\in \R, \quad e^{t(A+B)} = e^{tA} e^{\frac{1-e^{-tc}}cB}$$
    et conclure.
  • @JLapin
    J'avais en tête ceci.
    1) Reprendre l'exercice de @gebrane
    Si , alors et sont co-triangularisables — Les-mathematiques.net
    Et utiliser que $B$ est nilpotente.
    2) Utiliser alors le fait que $e^B$ soit une somme finie et essayer de retrouver la relation avec des produits de séries.

    Suis-je sur une fausse piste ? Tu as l'air de proposer bien autre chose ...
  • OShine
    Modifié (January 2024)
    @LeVioloniste
    Je n'ai pas le temps pour tes exercices qui demandent beaucoup de réflexion et qui sont assez difficiles. Ca s'enchaine trop vite pour moi. 
    Non, je ne vais pas corriger l'écrit de l'interne. 
    Je préfère travailler le cours et réfléchir aux leçons à préparer.
  • Oui mais en faisant des exercices @OShine tu travailles en même temps l'oral 2.
    Les exercices que je propose sont sympathiques, en plus tu vois ils plaisent aux autres.
    Je peux te dire que pour l'oral 2 de l'interne il y a beaucoup d'exos issus des X-ENS, c'est ce que j'avais fait; je pense ce que je propose convient pour le niveau attendu et en terme de durée cela tiendra 15 minutes environ pour un développement.
  • L'introduction de la variable $t$ n'est pas astucieuse mais il fallait y penser ...
  • OShine
    Modifié (January 2024)
    X-ENS ce n'est pas mon niveau. (A l'écrit je peux faire les premières parties à l'X car c'est assez détaillé dans la première et deuxième partie parfois). Mais les exercices d'oraux sont abrupts. 
    Seuls quelques exercices faciles de l'X sont à ma portée, mais ils sont rares.
    Jamais je ne proposerai des exos de ce niveau à l'oral, je proposerai du CCINP et Centrale/Mines. 
    Après à l'oral, on a le droit au livre, donc si le corrigé est bien rédigé, pourquoi pas. 
  • Je ne proposerai pas d'exos X-ENS, ce n'est pas mon niveau.
    Je proposerai des exos de niveau inférieur. 
    Il y a uniquement quelques exos de l'X "faisables" pour moi, uniquement les plus simples.
    De plus, je n'ai pas encore revu le cours sur les exponentielles de matrice, donc cet exo ne me sera pas profitable.
  • Le niveau des exercices X-ENS dans la série Cassini est assez hétérogène et les livres sont bien écrits. Il ne faut pas prendre les ENS Ulm qui sont infaisables en 15 min et pas adaptés et trop durs. Il y a des exercices assez faciles.
    Mais il faut que pour chaque leçon d'oral 2, tu ais un exo sous la main pour le développement.
  • etanche
    Modifié (February 2024)

    @ JLapin
    1/Par récurrence $\frac{t^k(A-cI_n)^{k}}{k!}=B\frac{t^kA^k}{k!}$ puis on somme $e^{t(A-cI_n)}B=Be^{tA}$
    Pour 2/ je ne vois pas comment faire ?

  • Tu peux vérifier que les deux termes de l'égalité sont solutions d'un même problème de Cauchy.

  • etanche
    Modifié (February 2024)
    @ JLapin ça marche avec tes indications merci. Je n’aurai pas trouvé sans tes questions 1/ et 2/
    $f(t)=e^{t(A+B)}$ vérifie le problème de Cauchy $Y’=(A+B)Y, Y(0)=I_n$ (1)
    Voyons que $h(t)=e^{tA} e^{g(t)B}$ vérifie (1) avec $g(t)=\frac{1-e^{-ct}}{c}$
    $h’(t)=Ae^{tA}e^{g(t)B}+e^{tA}g’(t)Be^{g(t)B}=(A+B)h(t)$ avec la question 1/
    donc $h$ vérifie le même problème de Cauchy par unicité on a $f=h$
    @ le violoniste est-ce que c’est un oral de concours ? Y avait-il d’autres questions ? Merci.
  • Tu peux aussi répondre à ma première question en utilisant une équation différentielle.
  • Quelles sont les applications de $e^{A+B} = e^{A}e^{\rho(c)B}$ ?
  • LeVioloniste
    Modifié (February 2024)
    @etanche non c'était la seule question. C'est un exercice de l'oral de l'X des années 1980 je crois.
    Avec l'agrégation interne du coup je ne l'ai pas travaillé. J'en proposerai d'autres après qu'on ait bossé les écrits de l'agreg.
    Les sujets sont très intéressants et leur concurrence est féroce avec cet exo.
  • LeVioloniste
    Modifié (February 2024)
    OShine a dit :
    @LeVioloniste Non, je ne vais pas corriger l'écrit de l'interne. 
    Je préfère travailler le cours et réfléchir aux leçons à préparer.
    Non @OShine les écrits sont très intéressants et comme d'habitude tu es le meilleur contributeur.
    Je regrette l'absence de @Julia Paule cette année.
  • OShine
    Modifié (February 2024)
    @LeVioloniste
    En algèbre j'ai toutes les connaissances pour faire le sujet.
    En analyse, il me manque le cours de spé sur les probas, fonctions génératrices etc... 
    Mais je compte dans les deux prochains mois, bosser le cours de MP d'analyse et de probas.
    Mais j'ai les connaissances pour faire un tiers du sujet. 
  • etanche
    Modifié (February 2024)
    JLapin a dit : 1) Montrer que $$\forall t\in \R, \quad e^{-tc} e^{tA}B = B e^{tA}.$$
    En suivant toujours ton indication avec les équations différentielles 
    $F(t)=Be^{tA}$ est dérivable $F'(t)=Be^{tA}A=BF(t)$ avec $F(0)=B$
    $G(t)=e^{-ct}e^{tA}B$ est dérivable $G'(t)=G(t)A$ (obtenu en utilisant $AB-BA=cB$) avec $G(0)=B$
    $F,G$ vérifient le même problème de Cauchy $Y'=YA, Y(0)=B$ par unicité on a $F=G$.
    Remarque :  je vois comment on résout l'équation différentielle $Y'=AY$ ses solutions sont $Y(t)=\lambda e^{tA}$
    mais quelles sont les solutions de $Y'=YA$, quand $A \in M(n,\C)$  par curiosité ? 
  • @etanche
    Si on transpose...
  • JLapin
    Modifié (February 2024)
    etanche a dit : ... je vois comment on résout l'équation différentielle Y′=AY ses solutions sont Y(t)=λetA

    Non, déjà tu te trompes.

  • etanche
    Modifié (February 2024)
    @ JLapin en effet je rectifie $Y’(t)=AY(t)$ a pour solution $Y(t)=e^{tA}Y_{0}$ où $Y_{0} \in \R^n$ 
  • Vu que les inconnues de ces différentes équa diffs sont des fonctions à valeurs dans $M_n(K)$, c'est encore faux.
  • @ JLapin zut, faut regarder du côté des résolvantes?
  • Non, juste modifier ton ensemble de paramètres $Y_0$...
  • etanche
    Modifié (February 2024)
    $Y_{0} \in M_n(\C)$ 
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