Agrégation interne - sujet 1 - exercice 2

Tu ferais mieux de faire directement $a) \Rightarrow b) \Rightarrow c) \Rightarrow a)$.

@Oshine. vas-y . Commence cette question

Q2) Montrons $a \implies b$.
Supposons $f$ diagonalisable. Notons $sp(f)= \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_p \}$.
On a $E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^p E(\lambda_i)$.
$\forall i \in [|1,p|]$ notons $P_i(X)=X-\lambda_i$.
Si $x \in E(\lambda_i)$ alors $P_i (f)(x_i)=f(x_i)- \lambda_i x_i = \lambda_i x_i- \lambda_i x_i =0$.
Posons $P=\displaystyle\prod_{k=1}^p P_i$.
$\forall i \in [|1,p|], \ \forall x_i \in E(\lambda_i)$ : $P(f)(x_i)=\displaystyle\prod_{j=1 \\ j \ne i}^p P_j(f) \circ P_i(f) (x_i)=0$.
Si $x \in E$, $\exists ! (x_1, \cdots, x_p) \in E(\lambda_1) \times \cdots \times E(\lambda_p)$ tel que $x=x_1+ \cdots +x_p$.
Donc par linéarité $P(f)(x)=P(f)(x_1) + \cdots + P(f)(x_p)=0$.
On a trouvé un polynôme scindé à racines simples qui annule $f$.

Montrons que $b \implies c$.
Soit $P$ un polynôme annulateur de $f$ scindé à racines simples.
$\pi_f$ étant annulateur, on a $\pi_f \mid P$. Donc $\pi_f$ est scindé à racines simples.

Montrons que $c \implies a$.
Supposons que $\pi_f$ soit scindé à racines simples. Ses racines sont les valeurs propres de $f$.
Ainsi $\pi_f (X)= \displaystyle\prod_{i=1}^p (X-\lambda_i)$.
Pour tout $j \ne i$, on a $(X-\lambda_i) \wedge (X-\lambda_j)=1$, d'après le lemme des noyaux : 
$\ker \pi_f (f)= E= \displaystyle\bigoplus_{i=1}^p E(\lambda_i)$ donc $f$ est diagonalisable.

Q3) Si $f$ est diagonalisable, on peut trouver $P \in \C [X]$ scindé à racines simples tel que $P(f)=0$.
Donc $\forall x \in E \ P(f)(x)=0$.
A fortiori $\forall x \in F \ P(f)(x)=0$. Si $x \in F \ f_{ | F} (x)=f(x)$.
Donc $\forall x \in F \ P (f_{ | F} )(x) =0$ donc $P(f_{ | F} )=0$.
$f_{ | F} $ est annulé par un polynôme scindé à racines simples donc $f_{ | F} $ est diagonalisable.

Oui je réfléchis à la 4, normalement ça devrait être rapide. 

@Oshine je ne suis pas convaincu de ta réponse 4.a.  En fait le "Donc $f_i(x)\in F$" me semble tomber comme un cheveu dans la soupe. 

La rédaction d'Oshine est celle que j'aurais voulu faire, franchement je ne comprends pas pourquoi tu n'y vas pas !

4.c) 
On fait une récurrence sur $n= \dim E$.
Si $n=1$, le résultat est évident.
On suppose le résultat vrai pour tous les espaces de dimension strictement inférieure à $n$.

• Si tous les $f_i$ pour $i \in [|1,k|]$ sont des homothéties, alors le résultat est évident.
• Sinon, soit $j \in [|1,k|]$ tel que $f_j$ ne soit pas une homothétie. Puisque $f_j$ est diagonalisable, $E=\displaystyle\bigoplus_{\lambda \in sp(f_j)} \ker (f_j -\lambda id)$. Chacun des $E_{\lambda}$ de $f_j$ est de dimension strictement inférieure à $n$ car $f_j$ n'est pas une homothétie. De plus, tous les $f_i$ avec $i \in [|1,k|]$ et $i \ne j$ commutent avec $f_j$ donc $E_{\lambda}$ est stable par les $f_i$ et $f_{i \ | \ E_{\lambda}}$ est diagonalisable pour tout $\lambda \in sp(f_j)$. On applique l'hypothèse de récurrence à $f_{i \ | \ E_{\lambda}}$ pour tout $\lambda \in sp(f_j)$ ce qui donne une base commune de diagonalisation des $f_{i \ | \ E_{\lambda}}$ pour tout $\lambda \in sp(f_j)$ et donc une base commune de diagonalisation des $f_i$ pour $i \in [|1,k|]$ par réunion de ces bases.