Matrice symétrique définie positive

Bethebesteveryday · 23 Jan

Bonsoir tout le monde
S'il vous plait

soit E un evn
je me demande est-ce que cette implication est vraie que pour les matrices symétriques définies positives ? Ce n'est pas vrai si A est quelconque et pourquoi ?
la voici :

si A est une matrice symétrique définie positive alors les vecteurs propres forment une base (orthogonale peut-être) de E.
Merci

Dom · 23 Jan

Il existe des matrices non symétriques dont les vecteurs propres forment une base. Notamment lorsque les $n$ valeurs propres existent et sont toutes distinctes.

Bibix · 23 Jan

Le théorème spectral nous dit que pour $V$ un $\mathbb{K}-$e.v. de dimension finie et $n = \dim V$, toute matrice dans $M_n(\mathbb{K})$ symétrique est diagonalisable dans une base orthogonale de vecteurs propres donc vérifie cela.

SandwichFromage · 23 Jan

Non Bibix, c'est vrai pour $ \mathbb K = \mathbb R $ mais pas pour $ \mathbb K $ quelconque.
Pour $ n = 2 $, la matrice $$\left( \begin{array}{cc} 2 & i \\ i & 0 \\\end{array} \right) $$ est symétrique dans$\mathcal M_n(\mathbb C)$ mais non diagonalisable ($\chi_A = (X-1)^2 $).
Si on veut construire un contre exemple pour $n$ quelconque, on fait des blocs de taille $2 \times 2$ sur la diagonale comme celui-ci, en ajoutant un 1 en bas à droite quand $n$ est impair.

Titi le curieux · 23 Jan

Bonjour,

Que ce soit dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, pour que la matrice soit définie-positive tu as besoin qu'il y ait une base orthogonale de vecteurs propres ET que les valeurs propres soient strictement positives (pour que la matrice soit juste auto-adjointe, les valeurs propres restent réelles, mais pas nécessairement positives)

Comme le fait remarquer SandwichFromage, si il s'agit bien de matrice symétrique dans un $\mathbb{R}$ espace vectoriel, dans un $\mathbb{C}$ une matrice auto-adjointe est une matrice égale à la matrice conjuguée de sa transposée.

Bibix · 24 Jan

Effectivement, j'avais en tête le cas où $A$ est symétrique définie-positive car on peut alors appliquer le théorème spectral pour $\mathbb{K}$ quelconque et la forme sesquilinéaire $(x,y) \longmapsto x^T A y$. Mais du coup, ça n'a rien à voir avec la question de l'OP.

Dom · 24 Jan

En effet la question était : « je me demande est-ce que cette implication est [n’est vraie que] pour les matrices symétriques définies positives ? Ce n'est pas vrai si A est quelconque et pourquoi ? »

GaBuZoMeu · 24 Jan

le théorème spectral pour $\mathbb K$ quelconque et la forme sesquilinéaire $(x,y)\mapsto x^{\mathsf T}Ay$

@Bibix : ça, c'est juste une forme bilinéaire. Pourquoi parles-tu de sesquilinéarité ? Et qu'est-ce que le théorème spectral pour une forme bilinéaire ?

Dom · 24 Jan

Digression :
« Ça marche » (je mets les guillemets pour « comprenne qui pourra »)
1) dans le cas réel avec une matrice symétrique
2) dans le cas complexe avec une matrice antisymétrique

Question : existe-t-il d’autres types de corps (non réels, non complexes) où il faut encore autre chose (ni symétrique, ni antisymétrique) pour que « ça marche encore » ?

je ne sais pas si ma question est idiote…

gebrane · 24 Jan

Dom je corrige
2) dans le cas complexe avec une matrice hermitienne

gebrane · 24 Jan

Dom
Pour répondre à ta question, si le polynôme caractéristique est scindé sur le corps $K$ avec des racines simples, alors c'est bon. Plus généralement, si le polynôme caractéristique est scindé sur $K$ et la multiplicité d'une racine $\lambda$ de ce polynôme coïncide avec la dimension de l'espace propre $E_{\lambda}$, alors c'est bon.
Je dis bien que K est un corps quelconque . edit il vaut mieux que K soit commutatif
Exercice pour Dom Pour raffraichir la memoire
dans Z/5Z est ce que la matrice $\left[ \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right]$ est diagonalisable . :m

NicoLeProf · 27 Jan

Où veux-tu en venir cher @gebrane avec l'exemple que tu proposes?

Puisque Dom n'a pas répondu, je spoile, désolé : sauf erreur de ma part, cette matrice est diagonalisable (car elle a deux valeurs propres simples et distinctes : $0$ et $2$) mais elle n'est ni symétrique ni antisymétrique. Et pourquoi pas? Je ne vois pas le problème ici...

gebrane · 27 Jan

@NicoLeProf D'abord, je précise un point :

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur le corps des réels et ses valeurs propres sont réelles.
Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexes et ses valeurs propres sont imaginaires pures.
Toute matrice hermitienne complexe est diagonalisable sur le corps des complexes.

Ton calcul est juste. Je voulais dire que dans le cas d'un corps autre que $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, notre seul salut est le polynôme caractéristique.
Si tu préfères une matrice symétrique, prenons celle-ci : $\quad \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}.$
Étudions la diagonalisation dans $F_p$.

Dom · 27 Jan

Désolé je suis sollicité par plusieurs trucs…

J’ai confondu « antisymétrique » et « hermitienne », merci gebrane.

Et ma réflexion était « selon le corps - réel ou complexe - ce n’est pas la même chose que l’on demande » mais en fait, « hermitienne réelle », c’est « symétrique ».

Je regarde la matrice et son polynôme caractéristique :
$(1-X)^2-3^2=(1-X-3)(1-X+3)=(-X-2)(-X+4)=(X-4)(X+2)$
On peut récrire : $(X-4)(X-3)$ ou encore $(X+1)(X+2)$.

Titi le curieux · 29 Jan

Bonjour,

Je suppose que si on veut aller plus loin sur la question de Dom, il faut se poser la question de ce que signifie une base orthogonale dans un corps quelconque. Un corps n'a généralement pas de relation d'ordre compatible avec sa structure, donc généralement, pas de notion de positif et encore moins de "défini-positif". Par contre il y a peut-être des cas qui reste intéressant: je crois qu'avec $M_2(F_7)$ on a bien une forme bilinéaire symétrique $F$ telle que $\forall X,\ F(X,X) = 0 \implies X = 0$ (parce que dans $F_ 7$, il n'existe pas deux carrés dont la somme est nulle).

Math Coss · 29 Jan

NB : pour $A$ une matrice réelle carrée, $A$ est anti-symétrique SSI $\mathrm{i}A$ est hermitienne.

Matrice symétrique définie positive

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