Une drôle d'égalité

SandwichFromage · 16 Jan

Bonjour
On m'a mis au défi de montrer que, si $(u_n)_{n \in \mathbb N} $ est la suite strictement croissante qui décrit l'ensemble des solutions positives de $ x \sin(x) = 1$ (ou si on préfère $ \frac{\sin(x)}{x} = \mathrm{sinc}(x) = \frac{1}{x^2} $), alors $$ \sum_{n\in \mathbb N} \frac{1}{u_n^2} = 1 .$$
Je suis assez mystifié de ce fait. Pourtant des approximations numériques ont l'air de bien concorder.
Je m'en remets à vous. Auriez-vous une idée pour montrer ce résultat ?
J'espère que vous pourrez m'aider.

L'équation équivaut aussi à $ \sin(x) = \frac 1 x $, on voit qu'on a $u_n \sim n \pi $. Il faut sans nul doute travailler avec les sommes partielles, peut-être en donner une expression sur laquelle on pourrait dire des choses ; mais j'ai bien du mal à y parvenir. Vu l'équation, $ \sum\frac{1}{u_n^2} = \sum \frac{\sin(u_n)}{u_n}$ ; je me demande s'il n'y aurait pas un lien avec les transformées de Fourier. J'ai une vague intuition que faire apparaître des intégrales (de Fourier ?) pourrait être bien... Je n'arrive pas à faire de tels liens mais si quiconque voit quelque chose je suis [lui] en serai reconnaissant.

Ben314159 · 16 Jan

Salut,
As-tu regardé ce que ça donnait avec un truc style théorème des résidus appliqué à $f(z)\!=\!\dfrac{\sin(z)\!+\!z\cos(z)}{z^2\big(z\sin(z)\!-\!1\big)}$ ?

SandwichFromage · 16 Jan

Salut,

C'est hors de mon champ de compétences pour l'intant. Mais si quelqu'un peut m'affirmer qu'iel a fait ce calcul (ou un calcul similaire)(ou une toute autre méthode) et trouve le résultat, je serai très satisfait

ev · 16 Jan

1/ Tu démontres que les zéros complexes de $ z \longmapsto z \sin z - 1 $ sont réels.

2/ Tu écris $ z \sin z - 1 = \prod\limits_{n\in\N} \left(1 - \dfrac{z^2}{u_n^2} \right) $.

3/ Un DL à l'ordre 2 en zéro te permet de conclure.

e.v.

john_john · 16 Jan

Bonsoir, je ne puis taper des maths avec mon téléphone, mais je pense avoir vu des choses analogues. Construis un opérateur à noyau symétrique $K$ dont les valeurs propres sont les $1/x_k$. Ensuite, la somme des carrés des valeurs propres est l'intégrale double de $K^2$.

Ben314159 · 16 Jan

Si je ne me suis pas trompé, ça marche bien avec les résidus (le seul truc chiant, c'est de majorer la fonction sur le contours pour montrer que l'intégrale tend vers 0).
Et comme la fonction a pour (seuls) pôles les $z\!=\!\pm u_n$ avec un résidu de $\dfrac{1}{u_n^2}$ ainsi que $z\!=\!0$ avec un résidu de $-2$, ça donne bien $\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\dfrac{1}{u_n^2}\!=\!1$.

Sinon, concernant la méthode de @ev, j'aimerais savoir comment il fait pour montrer qu'il n'y a pas de terme en $e^{\phi(z)}$ dans la factorisation de Weierstrass.

ev · 16 Jan

Euh, j'ai un petit problème de signe : \[ 1 - z \sin z = \prod\limits_{n\in\N} \left(1 - \dfrac{z^2}{u_n^2} \right). \]
Sinon un coup de Liouville peut aider, non ?
e.v.

Ben314159 · 16 Jan

Sinon, il y aurait peut-être un moyen élémentaire : considérer les polynômes $P_n$ obtenus en tronquant la série entière de $f(x)=x\sin(x)\!-\!1$ puis utiliser le fait que la somme $\sigma_n$ des carrés des inverses des racines, c'est $\dfrac{a_1^2-2a_0a_2}{a_0^2}$ lorsque $P_n=a_0+a_1X+a_2X^2+...$.
Ici, ça donne $\sigma_n\!=\!2$ pour tout $n$ et le tout est de trouver les bons arguments pour justifier que $\sigma_n$ tend bien vers $2\sum\dfrac{1}{u_k^2}$.

bisam · 17 Jan

Il y avait eu une discussion identique à propos des solutions de l'équation strictement positives de $\tan(x)=x$ sur le forum.
J'en avais tiré un exercice assez costaud qui reste dans le cadre prépa (l'exercice 6 dans la feuille ci-jointe).

jandri · 17 Jan

Je donne le lien du fil traitant des solutions strictement positives de l'équation $\tan(x)=x$ :
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2234974/somme-des-1-x-2-tels-que-tan-x-x

Je ne l'ai pas complètement rédigé mais je pense que cela peut s'adapter à l'équation $x\sin x=1$ en considérant l'équation $(2n+1)\sin\left(\dfrac{x}{2n+1}\right)\sin x=1$ et les polynômes de Tchebicheff.

Une drôle d'égalité

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