Matrices de rang r

OShine
Modifié (11 Jan) dans Algèbre
Bonsoir
Je bloque sur cet exercice depuis 3 jours.
Soit $M \in \mathcal M_n( K)$ avec $K=\R$ ou $K=\C$ de rang $r$.
Montrer qu'il existe deux matrices inversibles $A$ et $B$ de $\mathcal M_n( K)$ telles que : $M=A+B$.

Réponses

  • Ben314159
    Modifié (11 Jan)
    Si tu prends, (juste pour voir . . .) $A=\lambda I_n$ avec $\lambda\!\in\!{\mathbb K}$ et, bien sûr, $B\!=\!M\!-\!\lambda I_n$,
    a) Pour quels $\lambda$ la matrice $A$ est-elle inversible ?
    b) Pour quels $\lambda$ la matrice $B$ est-elle inversible ?

    Autre méthode marchant pour tout corps autre que ${\mathbb F}_2$ : $M$ peut s'écrire $M\!=\!PDQ$ avec $P,Q$ inversibles et $D=...$ et il suffit de prendre $A=...$ ; $B=...$.
    (Et c'est aussi vrai sur ${\mathbb F}_2$ pourvu que $n\!\geqslant\!2$, mais je n'y arrive qu'avec un petit bricolage).
  • Le plus simple : on décompose en deux matrices triangulaires sans zéros sur la diagonale. L'une triangulaire superieure , l'autre triangulaire inferieure (cela marche pas pas si K=Z/2Z  :anguished:)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • OShine
    Modifié (11 Jan)
    @Ben314159
    Merci.
    a) $A$ inversible si et seulement si $\lambda \ne 0$.
    b) Je ne vois pas. On ne connaît pas $M$.

    Pour la deuxième méthode, le cours dit qu'il existe $P,Q \in GL_n(K)$, $M=P J_r Q$.
    Mais la preuve du cours se base sur une matrice de $M_{n,p} (K)$ et je n'arrive pas à adapter la preuve sur $M_n(K)$.
    Je ne comprends pas comment trouver $P$ et $Q$.

    @gebrane
    Je ne connais pas ta méthode.
  • gebrane
    Modifié (11 Jan)
    Ma méthode consiste à garder la partie inférieure pour $A$ et la partie supérieure pour $B$ et de bricoler la diagonale . C'est du chinois pour toi Oshine ?

    Ajout. J'ajoute ceci, si ton intention est de traiter l'exercice pour $K=\R$ ou $\C$, tu ne trouveras pas mieux que la méthode de Ben, il te dit tu peux écrire toute matrice sous la forme $\ M=M-\lambda I+\lambda I$, avec $\lambda $ non nul qui n'est pas une valeur propre de $M$. 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Je ne comprends aucune des méthodes données.
  • Bah, $M=M-\lambda I+\lambda I$ donc on pose $A=M-\lambda I$ et $B=\lambda I$ avec $\lambda \neq 0$ et $\lambda \notin sp(M)$.
    La méthode de Ben est simple et efficace.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • bisam
    Modifié (11 Jan)
    Mais la preuve du cours se base sur une matrice de $M_{n,p}(K)$ et je n'arrive pas à adapter la preuve sur $M_n(K)$.
    Je ne comprends pas comment trouver $P$ et $Q$.
    Je ne pensais [pas] que tu étais encore à ce point handicapé par la mauvaise compréhension des quantificateurs, @OShine !
    Si cela marche pour tout $n$ et pour tout $p$, cela marche en particulier lorsque $n=p$.
    Par ailleurs, tu n'as pas besoin de trouver $P$ et $Q$ : c'est le théorème qui te les donne !
    Une fois que tu as écrit ta matrice $M$ sous la forme $PJ_rQ$, elle s'écrit aussi $M=P(J_r+I_n)Q + (-PQ)$ qui est bien la somme de deux matrices inversibles.
  • @OShine Que peux-tu dire de $\lambda$ si $B=M-\lambda Id$ n'est pas inversible? Comment appelle-t-on de tels $\lambda$?
  • Question analogue : déterminer une condition sur r et n pour que toute matrice inversible dans $M_n(\R)$ soit somme de deux matrices de rang r.
  • @bisam
    Ok merci. Il fallait y penser à l'astuce du $J_r+I_n$...

    @DeGeer
    $B=M- \lambda Id$ n'est pas inversible si et seulement $\ker B \ne \{ 0 \}$ si et seulement si $\lambda$ n'est pas valeur propre de $M$.

    @NicoLeProf
    Ok merci.

    @Ben314159
    $M=PDQ$ avec $D=J_r$.
    Soit $E_0$ un supplémentaire de $\ker(u)$ dans $\R^n$.
    On a $\R^n = E_0 \oplus \ker(u)$.
    Soit $B_1=(e_1, \cdots, e_r,e_{r+1}, \cdots, e_p)$ une base adaptée. Et $B_2=(u(e_1), \cdots, u(e_r), f_{r+1}, \cdots, f_n)$ de $\R^n$.
    On a $Q=P_{B_c}^{B_2}$ et $P=(P_{B_c}^{B_1})^{-1}$.

  • Cet exercice a été posé en sup donc la notion de valeur propre n'est pas connue.
    Mais la méthode avec la réduction est intéressante. 
  • Merci @JLT pour ton exercice. On a une bonne semaine pour le traiter avec Oshine 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (11 Jan)
    @Oshine, pour tester ta compréhension, et c'est formateur, est-ce que la première méthode de Ben s'applique si K=Z/3Z ?"
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • On retombe toujours sur le même problème.
    Quand un énoncé dit : 
    Soit M une matrice, soit A et B construites ainsi ...   
    Montrer que M =A+B et que A et B sont inversibles
    tu vas réussir à faire l'exercice (au moins de ton point de vue)
    tu vas écrire quelques lignes en Latex, tu vas conclure avec l'expression CQFD, et tu vas considérer que tu as su faire l'exercice. Et tant pis s'il y a des imprécisions dans ta démonstration, des quantificateurs qui sont faux, des théorèmes qui sont appliqués sans justification.

    Dès qu'il ne s'agit plus de démontrer le résultat, mais de trouver les 2 matrices A et B en question, il faut faire preuve d'initiative, il faut écrire à un moment : 'tiens, et si on prenait A= ... et B= ... ,
    Dès qu'il faut cette démarche d'intuition, c'est mort.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • JLapin
    Modifié (11 Jan)
    tu vas réussir à faire l'exercice

    C'est la journée de l'optimisme aujourd'hui ?

  • Surtout, je ne comprends pas pourquoi il n'a pas saisi ma méthode avec les matrices triangulaires, qui a l'avantage de s'appliquer sur n'importe quel corps K de caractéristique différente de 2.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @JLT : $n\leq 2r$.
  • le mieux $r\leq n\leq 2r$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (11 Jan)
    Je donne ma façon de procéder.
    *** La condition est trivialement nécessaire  (Le rang de la somme est inférieur à la somme des rangs).
    ***Soit \(A\) inversible, alors \(A\) est équivalente à l'identité. Il existe deux matrices inversibles \(P\) et \(Q\) telles que \(A = P I Q\). Je décompose l'identité \(I\) comme la somme de deux matrices diagonales \(M + N\) de la manière suivante :
               Pour la matrice \(N\),
    \(n_{ii} = 1\) pour \(i = 1, \ldots, n-r\),
    \(n_{ii} = \frac{1}{2}\) pour \(i = n-r+1, \ldots, r\) (il y a \(2r-n\) termes), 
    \(n_{ii} = 0\) pour \(i = r+1, \ldots, n\).
    Il est clair que le rang de \(N\) est \(r\).
             Pour la matrice \(M\),
    \(m_{ii} = 0\) pour \(i = 1, \ldots, n-r\),
    \(m_{ii} = \frac{1}{2}\) pour \(i = n-r+1, \ldots, r\) (il y a \(2r-n\) termes), 
    \(m_{ii} = 1\) pour \(i = r+1, \ldots, n\).
    Il est clair que le rang de \(M\) est \(r\).
        On obtient \(A = P N Q + P M Q\). avec \(rang\,  P N Q=rang\,  P M Q=r \)  la multiplication par des matrices inversibles ne change pas le rang.
    Puis-je savoir ta méthode @JLT ou @Gai requin
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • JLT
    JLT
    Modifié (11 Jan)
    J'avais la même solution. Juste pas la peine de prendre $P$ et $Q$, on peut choisir $P=A$ et $Q=I$.
  • gebrane
    Modifié (11 Jan)
    Ok, je me suis concentré sur la décomposition de \(I\).

    En guise d'amusement, je propose cette question.
    Question piège. Peut-on écrire une matrice symétrique de  \( M_2(\mathbb{Q}) \) ayant \(\sqrt{7}\) comme valeur propre comme une somme de deux matrices de  \( M_2(\mathbb{R}) \) n'ayant pas chacune \(\sqrt{7}\) comme valeur propre ? .
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Il n'existe pas de telle matrice symétrique.
  • Bien vu
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gebrane
    Modifié (11 Jan)
    Une question mais par contre je ne sais pas répondre.
    À quelle condition peut-on écrire une matrice inversible de \(M_n(\mathbb{R})\) comme la somme d'une matrice triangulaire et d'une matrice de rang 1?"
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane
    Aucune idée pour $\Z/3 \Z$.
    Pas compris ta méthode avec les matrices triangulaires.
  • OShine
    Modifié (11 Jan)
    @lourrran
    L'exercice est théorique, ce n'est pas simple d'avoir des idées.

    L'exercice suivant est proposé dans la suite du cours. Il est classé comme facile.
    Montrer que $M \in \mathcal M_n(K)$ de rang $r$ est semblable à une matrice de la forme $(A \ \  0)$ où $A \in \mathcal M_{n,r} (K)$.

    $\dim \ker(u)=n-r$. 
    Une idée. On prend $(e_{r+1}, \cdots, e_n)$ une base du noyau que l'on complète en une base $B=(e_1, \cdots, e_r, e_{r+1}, \cdots, e_n)$ de $E$.
    Le résultat en découle immédiatement.
  • Ben314159
    Modifié (11 Jan)
    La méthode de gebrane pour le premier exercice, ça consiste à écrire $M\!=\!T_1\!+\!D\!+\!T_2$ où $T_1$ contient les termes strictement au dessous de la diagonale, $D$ les termes diagonaux et $T_2$ ceux  au dessus de la diagonale.
    Si on peut écrire $D\!=\!D_1\!+\!D_2$ avec $D_1$ et $D_2$ diagonales sans termes nuls sur la diagonale, alors c'est gagné vu que $A\!=\!D_1\!+\!T_1$ et $B\!=\!D_2\!+\!T_2$ seront triangulaires et sans zéros sur la diagonale donc inversible (et évidement de somme $M$).
    Après, si on veut être le plus général possible, l'unique question est donc de savoir si tout scalaire du corps de base peut s'écrire comme somme de deux scalaires non nuls (pour décomposer $D$).  Et la réponse est clairement "oui", sauf dans le cas où le corps de base est le corps à 2 éléments.
  • Ah d'accord merci je vois le problème.
    Si $D=diag(0,1)$ par exemple on écrit $D_1=diag(-1,-1)$ et $D_2=diag(1,2)$.

    On doit exclure la caractéristique $2$ car si 
    Si $D=diag(3,4)$ alors on doit écrire $3$ comme somme d'un nombre pair et d'un nombre impair, or tout nombre pair est nul en caractéristique $2$.
  • Ben314159
    Modifié (11 Jan)
    Oui, c'est ça, modulo que ce n'est pas la caractéristique 2 le problème, c'est uniquement le cardinal du corps : si ton corps contient au moins 3 éléments alors, quelque soit le scalaire $\lambda$, il va exister un scalaire $\mu$ non nul et distinct de $\lambda$. 
    Et ce scalaire $\mu$ permet d'écrire que $\lambda\!=\!\mu\!+\!(\lambda\!-\!\mu)$ où les deux termes de la somme sont tout les deux non nuls.
    Donc le seul corps qui pose problème, c'est ${\mathbb F}_2$ dans lequel le scalaire $1$ ne peut pas s'écrire comme somme de deux scalaires non nuls.
  • Ah d'accord merci.
  • gebrane
    Modifié (12 Jan)
    Maintenant, je pense que tu as bien compris pourquoi la méthode de Ben ne marche pas toujours lorsque le corps \(K\) est fini. Elle marche uniquement si \(A \in M_n(K)\) avec \(n+1 < \text{card}(K) \).
    Si tu ne veux pas voir, je ne vais pas de l'expliquer :smiley: sauf si quelqu'un d'autre le demande  
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Yanel
    Modifié (13 Jan)
    @gebrane si je comprends bien votre réponse,
     
  • Je te félicite pour la troisième fois, 
    et tu as prouvé que tu n'es pas un PDQ lambda .
    Reste avec nous au forum
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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