Matrice symétrique positive / définie positive

zorg · 8 Jan

Voici l'énoncé (douteux) d'un exercice.

Soit $A$ une matrice symétrique définie positive et $B$ une matrice symétrique positive.
1) Montrer que $f : X \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \mapsto \frac{X^{\top}BX}{X^{\top}AX}$ admet un maximum $M$ et un minimum $m$.
2) Montrer que $A^{-1}B$ est diagonalisable. Montrer que $M = \max \mathrm{Sp}(A^{-1}B)$ et $m = \min \mathrm{Sp}(A^{-1}B)$.

1) ok on se ramène à la boule unité qui est compact
2) il ne manquerait pas une hypothèse ? Du genre $A$ et $B$ commutent ? Qu'en pensez-vous ?

lale · 8 Jan

A étant symétrique définie positive est le carré d'une matrice symétrique définie positive C .
$A^{-1} B=C^{-1} C^{-1}B $
$C A^{-1}B C^{-1}=C^{-1}B C^{-1}$ qui est symétrique réelle donc diagonalisable ,il en est donc de même de $A^{-1}B$

De plus $A$ étant sdp (symétrique définie positive), il existe $ P \in Gl_n(\R) $ tel que$ P^T AP=I_n$.
Soit $B'=P^TBP$ le quotient proposé est donc égal à $\frac {Y^TB' Y}{Y^TY} $ avec $ Y=PX$.
$m$ et $M$ sont donc la plus petite et la plus grande des valeurs propres de $B'$.
Or, $B'=P^TBP=P^TA A^{-1}BP= P^{-1}A^{-1} B P $ a pour valeurs propres celles de $ A ^{-1}B $.

zorg · 8 Jan

@lale Merci ! L'énoncé était donc correct.

JLapin · 8 Jan

Sinon, tu peux munir $\R^n$ du produit scalaire $(X\mid Y)\mapsto X^T AY$, observer que le numérateur s'écrit $(A^{-1}B X\mid X)$ et que $X\mapsto A^{-1}BX$ est autoadjoint pour le produit scalaire susmentionné.

Sauf erreur, il suffit que $B$ soit symétrique : la positivité n'est pas utilisée.

gebrane · 8 Jan

Non !
Une propriété du quotient de Rayleigh
$$\max_x (R_A(x):=\frac{{}^txAx}{\|x\|^2})=\max Sp(A)$$ donc $\max_{x}\frac{x^TB x}{x^T A x}=\max_{x}\frac{x^TA^{-1/2}BA^{-1/2}x}{x^Tx}= \max Sp(A^{-1/2}BA^{-1/2})= \max Sp( BA^{-1}=\max Sp( A^{-1} B$
les matrices $CD$ et $DC$ ont le même spectre.

Dom · 8 Jan

Coquille ? B n’est pas forcément inversible (?)

gebrane · 8 Jan

Oui Dom une coquille; le latex m' a énervé il faut lire $\max Sp( BA^{-1})=\max Sp( A^{-1}B )$

zorg · 8 Jan

Merci pour l'aide. Finalement il y a deux choses que je ne comprends plus.

1) A quoi ça sert de savoir que $BA^{-1}$ est diagonalisable ?
(La formule sur le quotient de Rayleigh $\max(R_S(x)) = \max(Sp(S))$ est valable pour une matrice $S$ symétrique (réelle) ; on applique cette formule à la matrice symétrique $A^{-1/2}BA^{-1/2}$. Alors à quoi sert de savoir que $BA^{-1}$ est diagonalisable ?)

2) Comme l'a remarqué @JLapin, il suffit que la matrice $B$ soit symétrique ? (pas forcément symétrique positive).

gebrane · 8 Jan

On a besoin que A une matrice symétrique définie positive et B une matrice symétrique ; c'est tout
Je donne les détails ce soir.

Dom · 8 Jan

Cet exercice a d’autres formes, notamment sous le titre « quotient de formes quadratiques ». Plusieurs fils sur le sujet. En effet, le numérateur peut être juste « symétrique ». Le dénominateur ne doit pas trop s’annuler…

Des applications existent en géométrie mais je ne sais plus lesquelles. Nos géomètres préférés (mais parfois hors de portée… [pour moi]) vont peut-être nous rafraîchir la mémoire.

gebrane · 8 Jan

Voilà ! à lire attentivement s'il y a une erreur ou coquille.

$A$ étant définie positive, je note $S := A^{1/2}$, Pour $x\neq 0$ quelconque, $\text{Notons y=Sx},$
$$\frac{x^T Bx}{x^T A x} = \frac{(Sx)^TS^{-1}BS^{-1}(Sx)}{(Sx)^T(Sx)} =\frac{y^TS^{-1}BS^{-1}y}{y^Ty}$$
La matrice $S^{-1}BS^{-1}$ étant symétrique réelle (puisque $S$ et $B$ le sont), d'après le quotient de Rayleigh
$$\frac{y^TS^{-1}BS^{-1}y}{y^Ty}\leq \max Sp(S^{-1}BS^{-1}) = \max Sp(S^{-2}B) =\max Sp(A^{-1}B)$$
Donc $\forall x\neq 0,\ \frac{x^T Bx}{x^T A x} \leq \max Sp(A^{-1}B)$.

Montrons que $\max_{x\neq 0}\quad \frac{x^T Bx}{x^T A x}$ est bien $\max Sp(A^{-1}B)$.
Soit $x$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda=\max Sp(A^{-1}B)$ ($\lambda x=A^{-1}B x $). On a $\frac{x^TBx}{x^TAx}=\lambda\cdot \frac{x^TBx}{x^TA\lambda x}=\lambda\cdot \frac{x^TBx}{x^TAA^{-1}Bx}=\lambda\frac{x^TBx}{x^TBx}=\lambda$.

Noter bien que pour ce $x$, on a bien $x^TBx=\lambda x^TAx\neq 0$.

En ce qui concerne ta question sur le besoin du fait que $A^{-1}B$ soit diagonalisable, peut-être que l'auteur de l'exercice en a besoin dans sa preuve

Dom · 8 Jan

Peut-être pour justifier que les valeurs propres sont réelles ?

gebrane · 8 Jan

Dom, Si une matrice est symétrique et réelle, alors ses valeurs propres sont réelles

gebrane · 8 Jan

Lol
Zorg ne suppose pas que $B$ est réelle, il n'est pas certains que les vp de $A^{-1}B$ sont réelles.

zorg · 9 Jan

Dans l'énoncé la matrice B est supposée être symétrique réelle (et même symétrique positive mais on a vu que cette hypothèse est superflue).

Dom · 9 Jan

Gebrane,

La question : pourquoi dit-on « $A^{-1}B$ » est diagonalisable ? est-ce utile ?

Je me dis que c’est pour justifier que les valeurs propres sont réelles.

Tu me dis que c’est le cas dès qu’une matrice est symétrique réelle.

1) oui, mais justement, dire que c’est le cas permet de le justifier
2) $A^{-1}B$ est-elle symétrique réelle ?

gebrane · 9 Jan

Bonsoir Dom,

. L'auteur a précisé que ces matrices sont réelles.

Pour ta question 2, l'inverse d'une matrice symétrique est symétrique,

edit première bêtise de gebrane en 2024'-----> et le produit de deux matrices symétriques est symétrique sauf si je n'ai pas compris ta question.

Pour la question 1, on peut démontrer qu'une matrice symétrique réelle a ses valeurs propres réelles sans passer par une diagonalisation. sauf si je n'ai pas compris ta question.

Dom · 9 Jan

Non pour le 2. Exemple sur la photo ci-dessous.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/sh/kdm2yhzxlbb3.jpeg

C’est vrai [le produit est symétrique] lorsque les matrices symétriques commutent.

gebrane · 9 Jan

Ah oui, j'avais l'esprit ailleurs ? 😄 Merci d'avoir remis les choses en ordre. Je n'ai même pas réfléchi une seconde à la manière de prouver que le produit de deux matrices symétriques est bien symétrique. J'ai balancé ça sans réfléchir, la honte m'étreint.

Il faut donc justifier que $A^{-1} B$ est diagonalisable et déduire que ces vp sont réelles pour donner un sens au max des vp
as-tu une preuve Dom que $A^{-1} B$ est diagonalisable je n'ai pas réfléchi et je ne veux rien balancer

gebrane · 9 Jan

Papa @john_john, j'ai besoin de toi. Je suis dans une situation délicate.

Soit A une matrice réelle symétrique définie positive et B une matrice réelle symétrique (on suppose pas que A et B commutent). Je veux démontrer que AB est diagonalisable.

merci Nico pour l oubli de la symétrie de A

Mon idée est de montrer qu'il existe une matrice inversible P telle que $P^{-1}AP = I$ et $P^{-1}BP = D$, ( correction à lire plutôt $P^{T}AP = I$ et $P^{T}BP = D$ ) Mais, je ne sais pas comment le justifier,

Bref un truc d'algébriste. Je sais que @dSP s''éclate de rire

Il murmure pauvre gebrane

edit j'ai retrouvé le lien

JLapin · 9 Jan

TU écris $A = C^2$ avec $C\in S_n^{++}(\R)$ puis $AB = C^2 B = C CBC C^{-1}$. Donc $AB$ est semblable à $CBC$ et tu conclus avec le théorème spectral.

NicoLeProf · 9 Jan

Déjà, ça part mal pour deux raisons : l'égalité : $P^{-1}AP = I$ te donne nécessairement $A=I$, ce qui n'est pas forcément le cas. Il faudrait plutôt écrire : il existe une matrice inversible $N$ telle que : $A=N^T N$ (enfin tu supposes $A$ symétrique aussi j'imagine car ce n'est pas clairement indiqué).

Ensuite, dans les expressions données, pourquoi utiliser la même matrice $P$?

Je vais réfléchir à ton énoncé sinon.

Edit : wow jolie preuve JLapin !!!

Dom · 9 Jan

C’est je crois l’argument donné ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2461680/#Comment_2461680

gebrane · 9 Jan

Nico, c'etait une coquille d'ecrire $P^{-1}$ au lieu de $P^T$ je corrige

Pour ta question Nico
Ensuite, dans les expressions données, pourquoi utiliser la même matrice P

? c'etait pour conclure :m

gebrane · 9 Jan

Je viens de le constater Dom et il prend aussi la même matrice P . Mais comment le justifier ?
Le lapin est toujours agréable à lire

NicoLeProf · 9 Jan

@gebrane, justement, il n'y a aucune raison que ce soit la même matrice $P$ car a priori $A$ et $B$ n'ont pas de base commune de diagonalisation (on ne suppose pas qu'elles commutent justement, pas de raison non plus que ce soit la même matrice $P$ pour le caractère défini positif de $A$ et la matrice de passage pour la diagonalisation de $B$ ou il faudrait le prouver).

Mais heureusement, la démarche de lale ici n'affirme rien de tout ceci (il définit une nouvelle matrice $B'$ à partir de $P$), je détaille et j'adapte la preuve sans utiliser l'astuce du $C^2$ :

la matrice $A$ est symétrique réelle définie positive donc il existe une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $P^T A P=I_n$ donc $P^T A=P^{-1}$.

Soit $B'=P^T B P$.

Alors, on peut écrire : $B'=P^T B P=P^T A A^{-1} B P=P^{-1} A^{-1} BP$.

Or, $(B')^T=P^T B^T P=P^T B P=B'$ (car $B$ est symétrique). Donc $B'$ est symétrique. De plus, $B'$ est à coefficients réels puisque $P$ et $B$ le sont.

Par suite, $B'$ est symétrique réelle donc diagonalisable et il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice diagonale $D$ telles que : $B'=Q^T D Q$.

Dès lors, on a : $P^{-1} A^{-1} BP=Q^T D Q$ soit finalement : $A^{-1} B=P Q^T D Q P^{-1}=P Q^{-1} D Q P^{-1}=(QP^{-1})^{-1} D (Q P^{-1})$ avec $QP^{-1} \in GL_n(\mathbb{R})$ donc $A^{-1}B$ est diagonalisable.

gebrane · 10 Jan

Merci Nico, mais j'ai presque la certitude d'avoir déjà vu ce résultat
Une matrice symétrique réelle et une autre matrice qui est symétrique réelle et définie positive peuvent être diagonalisées simultanément

Ajout, J'ai une autre question Est ce que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est diagonalisable

JLapin · 10 Jan

Une matrice symétrique réelle et une autre matrice qui est symétrique réelle et définie positive peuvent être diagonalisées simultanément

Ce n'est pas exactement une diagonalisation simultanée mais on peut démontrer que si $A\in S_n^{++}(\R)$ et $B\in S_n(\R)$, alors il existe $P\in GL_n(\R)$ et $D$ diagonale telles que $A = P P^T$ et $B = PDP^T$.

Ajout, J'ai une autre question Est ce que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est diagonalisable

Oui. Voir par exemple le texte suivant.

https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2009/MP_MATHS_CENTRALE_2_2009.enonce.pdf

gebrane · 10 Jan

Merci Jlapin
Tu confirmes qu'on espère plus ce résultat
Si $A \in \mathbb{S}^{++}_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathbb{S}_n(\mathbb{R})$, alors il existe $P \in \text{GL}_n(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale telles que $ P^T AP =I$ et $ P^T BP =D$

JLapin · 10 Jan

Je veux bien tenter de confirmer ou d'infirmer ce que tu veux mais je ne comprends pas le sens ton message.

gebrane · 10 Jan

Salut Jlapin, je te présente ce prétendu théorème : si $A \in \mathbb{S}^{++}_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathbb{S}_n(\mathbb{R})$, alors il existe $P \in \text{GL}_n(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale telles que $P^T AP = I$ et $P^T BP = D$.

Penses-tu que ce théorème est vrai ou faux ? De mémoire, je pense qu'il est vrai, je l'ai vu quelque part, mais je ne m'en rappelle plus. Nico, le prof, dit qu'il n'y a pas de raison que ce théorème soit vrai."

JLapin · 10 Jan

C'est à très très très peu de choses près le théorème que j'ai présenté plus haut.

NicoLeProf · 10 Jan

Ce n'est pas qu'il n'y a pas de raison que ce soit vrai selon moi, c'est plutôt que : tant que je n'ai pas vu ou fait de preuve, je ne peux pas être sûr de la véracité de ce théorème !

Par contre, si JLapin dit que c'est vrai, alors je le crois les yeux fermés tellement il est brillant !!!

gebrane · 10 Jan

@NicoLeProf La réponse de @Jlapin est très prudente, faut-il comprendre quoi ? Cette question m'obsède, il vaut mieux que je l'oublie

JLapin · 10 Jan

Ton théorème est vrai.

NicoLeProf · 10 Jan

Mouais ok. Je continue à trouver cela bizarre tout de même (sans douter de JLapin bien sûr). Simplement, je ne vois pas comment on peut avoir $P^T BP=D$ sans que $P$ soit orthogonale et si $P$ est orthogonale, ça bug grave : on aurait $P^T=P^{-1}$ donc $A$ serait semblable à l'identité donc égale à l'identité... Il y a certainement quelque chose que je ne comprends pas là-dessous.

Je ne suis pas contre une preuve quand même ne serait-ce pour comprendre comment on arrive à une matrice diagonale avec une relation de ce genre : $P^T BP=D$ et $P$ non orthogonale.

JLapin · 10 Jan

Tu écris $A = C^2$ avec $C\in S_n^{++}(\R)$. Ensuite, tu orthodiagonalises la matrice symétrique $C^{-1}BC^{-1} = QDQ^{-1}$.

Tu pose $P=CQ$ et tu obtiens $B = PDP^T$ et $PP^T = CQQ^TC = C^2 = A$.

Sinon, tu peux appliquer le théorème spectral à l'endomorphisme autoadjoint $x\mapsto A^{-1}B$ pour le produit scalaire $(x,y)\mapsto (Ax|y)$ mais il faut réfléchir un peu aux propriétés d'une matrice "orthogonale pour ce produit scalaire".

gebrane · 10 Jan

La confirmation de Jlapin m'a encouragé à retrouver la source de la preuve tant cherchée, et miracle.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/u8/98z3jtlnhmc8.png

NicoLeProf · 10 Jan

Fascinant JLapin, merci beaucoup !

Il faut que je réfléchisse pour ton second point avec l'endomorphisme autoadjoint. J'arrive à démontrer que cet endomorphisme est autoadjoint mais il faut encore que je travaille sur les propriétés d'une matrice orthogonale pour ce produit scalaire.

Edit : @JLapin, malheureusement, je suis bloqué sur l'identité : $P^T A P=A$ que doit vérifier une matrice $P$ orthogonale pour le nouveau produit scalaire que tu as défini mais je ne parviens pas à conclure ensuite. J'aurais préféré tomber sur une identité plus pratique à manipuler...

Matrice symétrique positive / définie positive

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