Intégrales à ranger
Bonjour
$\displaystyle I(a,b,c)=\int_{0}^{\pi/4} a(b(c(x))) dx$, avec $a(x),b(x),c(x) \in \{ \cos(x),\sin(x),\tan(x) \}$
Ranger par ordre croissant toutes ces intégrales. Justifier.
À faire sans utiliser un logiciel, dans la mesure du possible.
$\displaystyle I(a,b,c)=\int_{0}^{\pi/4} a(b(c(x))) dx$, avec $a(x),b(x),c(x) \in \{ \cos(x),\sin(x),\tan(x) \}$
Ranger par ordre croissant toutes ces intégrales. Justifier.
À faire sans utiliser un logiciel, dans la mesure du possible.
Pour alléger les notations on notera par exemple $I(c,t,s) =\int_{0}^{\pi/4} \cos(\tan(\sin(x))) dx$
Source un forum anglophone n'y avait pas de solution https://artofproblemsolving.com/community/c7h445443p2507725
Merci.
Source un forum anglophone n'y avait pas de solution https://artofproblemsolving.com/community/c7h445443p2507725
Merci.
Réponses
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Est-il possible de prendre plusieurs fois la même fonction ?
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Oui, l'exercice est juste plus difficile dans ce cas
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Salut
$ s < x < t $ (où x est l'identité et s = s(x)) et les fonctions s, t et x sont croissantes sur $ E = \left[0, \dfrac \pi 4 \right] $
d'autre part je mets des inégalités strictes pour aller plus vite !! et j'utilise la notation multiplicative pour la composée
donc $s s < s < s t$ (1) donc $ s s s < s s < s s t $ et $ t s s < t s < t s t $
donc $t s < t < t t $ (2) donc $ s t s < s t < s t t $ et $ t t s < t t < t t t $
mais de (1) on déduit aussi que $ss < s < x$ donc $ tss < ts < t$ et de (2) on déduit alors $ x < t < tt $ donc $ s < st < stt $
and so on mais le pb c'est que la fonction cos est décroissante et il faudra introduire (les abscisses) des points d'intersection ...
to be continued ... or not ... that is the questionCe ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Donc c'est un rangement avec répétition, ce qui nous amène à calculer 27 intégrales. Je prends en charge la dernière intégrale qui resteLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Voici la réponse...
[((cos, tan, cos), 0.2156051242842485), ((sin, sin, sin), 0.2695088026334965), ((sin, sin, tan), 0.3035548024696988), ((sin, tan, sin), 0.3043532727665054), ((tan, sin, sin), 0.3049049973016684), ((sin, tan, tan), 0.3617795202686498), ((tan, sin, tan), 0.3681421481485677), ((tan, tan, sin), 0.37027696585449327), ((sin, cos, cos), 0.45459578400526796), ((cos, cos, sin), 0.47976951291062836), ((cos, cos, tan), 0.5023145829246538), ((sin, sin, cos), 0.551787943774176), ((cos, sin, cos), 0.5571540377478515), ((tan, cos, cos), 0.5634340449321196), ((sin, cos, tan), 0.5952401296335658), ((sin, cos, sin), 0.6191012201001485), ((cos, tan, tan), 0.6287877546282005), ((cos, cos, cos), 0.6382802029228505), ((cos, tan, sin), 0.6985024318643569), ((cos, sin, tan), 0.6992575814927743), ((cos, sin, sin), 0.7225556583804853), ((sin, tan, cos), 0.7356495342669395), ((tan, sin, cos), 0.7824909653080943), ((tan, cos, tan), 0.963656175778972), ((tan, tan, tan), 0.9667606260630097), ((tan, cos, sin), 1.0278023829530132), ((tan, tan, cos), 9.848488620685751)]
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Comment démontrer sans logiciel que tan, tan, cos a la plus grande valeur. Je ne sais pas !Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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@ Area51 oui on peut prendre plusieurs fois la même fonction.@ zygomathique il faut toujours aller le plus possible en maths.@ Math Coss reste à trouver les démonstrations qui permettent de les ranger.
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Vas-yLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonjour!
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