Intégrales à ranger

etanche
Modifié (January 2024) dans Analyse
Bonjour
$\displaystyle I(a,b,c)=\int_{0}^{\pi/4} a(b(c(x))) dx$, avec $a(x),b(x),c(x) \in \{ \cos(x),\sin(x),\tan(x) \}$
Ranger par ordre croissant toutes ces intégrales. Justifier.
À faire sans utiliser un logiciel, dans la mesure du possible.
Pour alléger les notations on notera par exemple $I(c,t,s) =\int_{0}^{\pi/4} \cos(\tan(\sin(x))) dx$ 
Source un forum anglophone n'y avait pas de solution https://artofproblemsolving.com/community/c7h445443p2507725
Merci.

Réponses

  • Est-il possible de prendre plusieurs fois la même fonction ?
  • Oui, l'exercice est juste plus difficile dans ce cas :)
  • zygomathique
    Modifié (January 2024)
    Salut
     $ s < x < t $  (où  x est l'identité et s = s(x)) et les fonctions s, t et  x sont croissantes sur $ E = \left[0, \dfrac \pi 4 \right] $
    d'autre part je mets des inégalités strictes pour aller plus vite !! et j'utilise la notation multiplicative pour la composée
    donc $s s < s < s t$ (1) donc $ s s s < s s < s s t $  et  $ t s s < t s < t s t $
    donc $t s  < t  < t t $ (2) donc $ s t s < s t < s t t $  et  $ t t s < t t < t t t $
    mais de (1) on déduit aussi que $ss < s < x$  donc  $ tss < ts < t$  et de (2) on déduit alors  $ x < t < tt $  donc  $ s < st < stt $ 
    and so on mais le pb c'est que la fonction cos est décroissante et il faudra introduire (les abscisses) des points d'intersection ...  :/
    to be continued ... or not ... that is the question  :D

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Donc c'est un rangement avec répétition,   ce qui nous amène à calculer 27 intégrales. Je prends en charge la dernière intégrale qui reste  :mrgreen:
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Voici la réponse...
    [((cos, tan, cos), 0.2156051242842485),
     ((sin, sin, sin), 0.2695088026334965),
     ((sin, sin, tan), 0.3035548024696988),
     ((sin, tan, sin), 0.3043532727665054),
     ((tan, sin, sin), 0.3049049973016684),
     ((sin, tan, tan), 0.3617795202686498),
     ((tan, sin, tan), 0.3681421481485677),
     ((tan, tan, sin), 0.37027696585449327),
     ((sin, cos, cos), 0.45459578400526796),
     ((cos, cos, sin), 0.47976951291062836),
     ((cos, cos, tan), 0.5023145829246538),
     ((sin, sin, cos), 0.551787943774176),
     ((cos, sin, cos), 0.5571540377478515),
     ((tan, cos, cos), 0.5634340449321196),
     ((sin, cos, tan), 0.5952401296335658),
     ((sin, cos, sin), 0.6191012201001485),
     ((cos, tan, tan), 0.6287877546282005),
     ((cos, cos, cos), 0.6382802029228505),
     ((cos, tan, sin), 0.6985024318643569),
     ((cos, sin, tan), 0.6992575814927743),
     ((cos, sin, sin), 0.7225556583804853),
     ((sin, tan, cos), 0.7356495342669395),
     ((tan, sin, cos), 0.7824909653080943),
     ((tan, cos, tan), 0.963656175778972),
     ((tan, tan, tan), 0.9667606260630097),
     ((tan, cos, sin), 1.0278023829530132),
     ((tan, tan, cos), 9.848488620685751)]
    
  • Comment démontrer sans logiciel que tan, tan, cos a  la plus grande valeur. Je ne sais pas !
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • etanche
    Modifié (January 2024)
    @ Area51 oui on peut prendre plusieurs fois la même fonction. 
    @ zygomathique il faut toujours aller le plus possible en maths. 
    @ Math Coss reste à trouver les démonstrations qui permettent de les ranger. 
  • visiteur
    Modifié (January 2024)
    @gebrane
    On peut déjà comparer $\cos$, $\sin$ et $\tan$
    L'équation $\cos(x)=\tan(x)$ permet de faire cette comparaison.
  • Vas-y
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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