Questions autour des conditions de Cauchy-Riemann (analyse complexe)

Homo Topi
Modifié (January 2024) dans Analyse
Bonjour.
En analyse complexe, les équations de Cauchy-Riemann entourent le concept qu'avec une fonction d'une variable complexe, comme $(\C,|\cdot |)$ est un $\R$-espace vectoriel, on peut avoir une différentielle réelle et une différentielle complexe, et qu'il y a une condition à avoir pour que les deux soient en un sens équivalentes.
J'ai un certain nombre de questions. Je vais abréger parce que j'ai déjà essayé une fois de tout expliciter dans un message qui m'a mis 2h à taper, et que mon ordi a décidé qu'il était temps de s'éteindre (il était branché).
Si $U \subseteq \C$ est un ouvert, $a \in U$ et $f : U \longrightarrow \C$ est une fonction, on peut définir pour $f$ la notion de $\C$-dérivabilité en $a$ avec le taux d'accroissement, la notion équivalente de $\C$-différentiabilité en $a$ avec l'application $\C$-linéaire, et la notion plus faible de $\R$-différentiabilité en $a$ qui ne change de l'autre que sur le point ou l'application demandée n'est que $\R$-linéaire (mais toujours définie $\C \longrightarrow \C$).
Je ne suis pas un grand fan des $\R$-différentielles de fonctions d'une variable complexe, donc dans un premier temps j'aimerais formuler les choses sans.
On peut associer à la fonction $f$ deux fonctions $\text{Re}(f)$ et $\text{Im}(f)$ telles que $f = \text{Re}(f) + i \text{Im}(f)$, en général on fait un peu autrement dans les cours que j'ai lus et on prend deux fonctions $P,Q$ de deux variables réelles : $f(x+iy) = P(x,y) + i Q(x,y)$. Tant qu'à faire, je préfère aller un cran plus loin dans le réel et définir :
- $\varphi : \R^2 \longrightarrow \C$, $(x,y) \longmapsto x+iy$
- $V = \varphi^{-1}(U)$
- $F : V \longrightarrow \R^2$, $(x,y) \longmapsto \begin{pmatrix} P(x,y) \\ Q(x,y) \end{pmatrix}$
de sorte que $f = \varphi \circ F \circ \varphi^{-1}$.
J'aime bien utiliser $F$ parce que quand on exprime Cauchy-Riemann avec les dérivées partielles de $P$ et $Q$, en fait la jacobienne de $F$ en $a$ est une matrice de similitude directe.
La question que je me pose, c'est : est-ce que $f$ est $\R$-différentiable en $a$ si, et seulement si, $F$ l'est ?
Je pense qu'on peut répondre en utilisant $f = \varphi \circ F \circ \varphi^{-1}$. $\varphi$ est certainement un $\R$-difféomorphisme, donc on peut prendre la $\R$-différentielle de cette égalité et avoir une chain rule. Avec ça, je pense que l'équivalence devient assez immédiate. Quelqu'un peut valider ?
Maintenant, j'ai une autre question. Si $f$ est $\C$-différentiable, alors la $\C$-différentielle de $\varphi \circ F \circ \varphi^{-1}$ existe. $\varphi^{-1}$ a une variable complexe donc sa $\C$-différentielle existe, mais ce n'est pas le cas de $\varphi$ ni de $F$. On ne peut pas tirer de chain rule complexe de $\varphi \circ F \circ \varphi^{-1}$, j'imagine ?
Autre chose : y a-t-il une conséquence géométrique plus profonde au fait qu'une fonction $\C$-dérivable se comporte localement comme une similitude directe ? Parce que ce n'est pas non plus anodin... si ?
J'aurai d'autres questions en rapport avec des opérateurs différentiels plus tard, mais je préfère envoyer mon message maintenant avant que mon ordi décide de s'éteindre tout seul encore une fois.

Réponses

  • Area 51
    Modifié (January 2024)
    Cauchy-Riemann vérifiées signifie machin holomorphe, ou encore $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$ dans les coordonnées $(z,\bar{z})$.
  • Ben314159
    Modifié (January 2024)
    Salut
    Question 1 : bien sûr que $F$ est $\R$-différentiable ssi $f$ l'est vu que $\varphi$ est un $\R$-isomorphisme linéaire (donc différentiable avec une différentielle constante égal à lui même).

    Question 2 : non, la $\C$-différentielle de $\varphi^{-1}$ n'a pas de sens : l'ensemble d'arrivé n'étant pas un $\C$-e.v. comment veux-tu trouver une application $\C$-linéaire (la différentielle) qui prenne ses valeur dans cet ensemble d'arrivée ?

    Question 3 : oui, il y a une interprétation géométrique on ne peut plus connue : le fait que la différentielle soit en fait un complexe (i.e. une matrice de similitude) signifie que l'application conserve les angles : si deux courbes de $\C$ se coupent et que leur tangentes font un angle $\alpha$ au point d'intersection, alors il en sera de même pour les images de ces deux courbes par une fonction holomorphe (modulo que la dérivée de la fonction holomorphe ne soit pas nulle au point d'intersection) : on dit que ce sont (localement) des transformations conforme : 
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_conforme
  • Homo Topi
    Modifié (January 2024)
    D'accord.
    J'ai en effet déjà vu la mention de transformation conforme mais je n'ai jamais vraiment su quoi en faire. Effectivement l'idée qu'une fonction ait une dérivée qui soit "localement conforme" en ce sens-là, ça s'interprète visuellement comme quelque chose de très très régulier. Intéressant :)
  • @Homo Topi : Une similitude du plan réel, c'est une homothétie de la droite complexe. Pour $\mathbb{R}$, comme pour $\mathbb{C}$, une fonction dérivable se comporte localement comme une homothétie.
  • C'est très vrai, ça. Je ne m'étais jamais fait la remarque.
  • Homo Topi
    Modifié (January 2024)
    J'en viens à mes questions sur les formes différentielles. @Area 51 a déjà mentionné quelque chose, justement.
    Donc dans mon bouquin, ils parlent de l'ensemble qu'ils notent $\mathcal{L}_{\R}^{\C}(\C,\C)$ des applications $\R$-linéaires $\C \longrightarrow \C$, vu comme un espace vectoriel complexe : donc de dimension $2$ sur $\C$.
    Ils définissent ensuite $\text{d}x$ et $\text{d}y$ de manière analogue à dans $\R^2$ : $\text{d}x(z):= \text{Re}(z)$ et $\text{d}y(z):=\text{Im}(z)$. $(\text{d}x,\text{d}y)$ est une base de $\mathcal{L}_{\R}^{\C}(\C,\C)$ : on décompose une application $\R$-linéaire $f : \C \longrightarrow \C$ en $\text{Re}(f)+i\text{Im}(f)$, rien de plus classique.
    Ensuite, ils définissent $\text{d}z:=\text{d}x+i\text{d}y$ et $\text{d}\overline{z} := \text{d}x - i \text{d}y$ et font remarquer que ce sont respectivement l'identité et la conjugaison dans $\C$. Ils mentionnent que $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$ est une autre base de $\mathcal{L}_{\R}^{\C}(\C,\C)$.
    La première question qui me vient, c'est : la base $(\text{d}x,\text{d}y)$ a un côté complètement naturel : puisque $\C$ est un espace vectoriel sur $\R$, ça me parait naturel de décomposer une application linéaire $\C \longrightarrow \C$ en ses parties réelle et imaginaire. Est-ce que la décomposition dans la base $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$ a un sens "plus profond" que je ne vois pas ? Je veux dire, là comme ça c'est complètement parachuté. Je sais qu'ils vont utiliser cette base pour aboutir au $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}}(a)=0$ de Cauchy-Riemann, mais à part cette formule, je ne vois pas trop l'intérêt de la base $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$. Là où la décomposition en partie réelle/imaginaire permet de tout faire dans $\R$ (cf ma fonction $F$ et ma matrice jacobienne), qui est un domaine connu où les calculs sont clairs, j'ai l'impression que là on complique beaucoup les choses.
    Je suis aussi un peu paumé face à certaines notations de dérivées partielles.
    Aux notations près, ils définissent dans mon bouquin $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + i y_0):= \dfrac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 + i y_0):= \dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$, donc les dérivées directionnelles dans $\C$ selon les axes réel et imaginaire pur. Ils affirment qu'on a $\text{d}_{x_0 + i y_0}f = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + i y_0)\text{d}x + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 + i y_0)\text{d}y$. Je n'ai pas vérifié mais je pense que c'est rapide à faire.
    Ils disent que les formules de changement de base de $(\text{d}x,\text{d}y)$ vers $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$ "conduisent à définir" les opérateurs
    $\dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \bigg( \dfrac{\partial f}{\partial x} - i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)$, et $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \dfrac{1}{2} \bigg( \dfrac{\partial f}{\partial x} + i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)$. Je n'ai pas vérifié, je le ferai plus tard.
    Ils aboutissent à l'écriture $\text{d}_a f = \dfrac{\partial f}{\partial z}(a)\text{d}z + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}}(a)\text{d}\overline{z}$ et démontrent que cette différentielle est $\C$-linéaire si, et seulement si, $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}}(a)=0$.
    Du coup, une fonction $\C$-dérivable a pour $\C$-différentielle $\text{d}_a f = \dfrac{\partial f}{\partial z}(a)\text{d}z$. Ce qui me perturbe ici, c'est... quand on a une fonction d'une seule variable réelle $x$, on a une écriture de la forme $\text{d}_a f = f'(a)\text{d}x$. A la physicienne, $f'(a) = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}(a)$ avec un $\text{d}$ droit au lieu du $\partial$. Donc ici, en complexe, est-ce qu'on a $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}z}(a) = \dfrac{\partial f}{\partial z}(a)$ ? Les deux écritures désignent le même objet ? Parce que l'expression $\dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \bigg( \dfrac{\partial f}{\partial x} - i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)$ me perturbe un peu, si c'est censé être ça de dériver dans $\C$.
    En bref, je ne comprends pas tout à fait le "sens" derrière la base $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$ de $\mathcal{L}_{\R}^{\C}(\C,\C)$, ou quelles opérations exactement sont $\dfrac{\partial}{\partial z}$ et $\dfrac{\partial}{\partial \overline{z}}$.
  • Bonjour,
    Qu'est-ce pour toi que la partie réelle et la partie imaginaire d'une application $\R$-linéaire de $\C$ dans $\C$ ?
    Une telle application est de la forme $x+iy\mapsto (k x+\ell y)+i(m x+n y)$ ($k,\ell,m,n$ réels). Elle s'écrit donc $(k+im) \mathrm{d}x +(\ell+in)\mathrm{d}y$. La décomposition sur la base $(\mathrm{d}x, \mathrm{d}y)$ n'est pas la décomposition en partie réelle et partie imaginaire.
    Pour une fonction holomorphe $f$, on a bien $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}=\dfrac{\partial f}{\partial z}$. Si $f$ n'est pas holomorphe, $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}$ ne fait pas sens.

  • Ah oui en effet, j'avais mal factorisé mon truc. Mais du coup... quand on définit $\text{d}x$ et $\text{d}y$ sur $\R^2$, ce sont les formes première/seconde coordonnée, quand on les définit sur $\C$, ce sont les formes partie réelle/imaginaire, ça ça ne change pas. Mais en tant que base de $\mathcal{L}_{\R}(\C,\C)$, on est censé les interpréter comment ? Je ne sais pas si ma question est claire en fait.
    Mais par rapport à ta première question : pour n'importe quelle application $f : \C \longrightarrow \C$, on est censé pouvoir définir une application partie réelle/imaginaire, définie simplement par $\text{Re}(f)(z):=\text{Re}(f(z))$ et idem pour l'autre. C'est bien comme ça qu'on trouve les fameuses applications que j'appelais $P$ et $Q$ dans mon premier message. Le fait que l'application considérée soit $\R$-linéaire ne change rien ici, à ce que je sache.
    Concernant ta dernière phrase. En fait je suis frileux sur certains termes. Dans certains bouquins, "holomorphe" c'est un synonyme de "$\C$-dérivable", dans le sens où on peut être "holomorphe en un point". Alors que dans d'autres, quand on dit holomorphe c'est sur tout un ouvert. Et comme il y a des différences de régularité notables, j'imagine, entre être dérivable exactement en un seul point, et dérivable sur tout un voisinage d'un point, il faut faire attention. Donc la question serait, dans le cas où $f$ est une fonction supposée $\C$-dérivable uniquement en un point $a$ donné, a-t-on $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}z}(a)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(a)$ ou bien faut-il des conditions supplémentaires pour écrire ça ?
  • SkyMtn
    Modifié (January 2024)
    On dit qu'une fonction $f : U \longrightarrow \mathbb C$ est holomorphe en un point $a \in U$ si elle y est $\mathbb C$-différentiable. Mais comme une application $\mathbb C$-linéaire de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$ est de la forme $z \mapsto \alpha z$ avec $\alpha\in\mathbb C$, la $\mathbb C$-différentielle s'identifie avec un scalaire appelé nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ ou $\frac{\mathrm d f}{\mathrm dz}(a)$.  

    Maintenant, supposons que $f : U \longrightarrow \mathbb C$ soit $\mathbb R$-différentiable en $a$. Alors, on a
    $$ \mathrm df(a) = \frac{\partial f}{\partial x}(a) \,\mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y}(a) \,\mathrm dy \tag{1}$$ En injectant dans $(1)$ les relations $\mathrm dx = \frac{\mathrm dz + \mathrm d\bar z}{2}$ et $\mathrm dy = \frac{\mathrm dz - \mathrm d\bar z}{2i}$ (qui proviennent des formules  $\operatorname{Re}(z) = \frac{z+\bar z}{2}$ et $\operatorname{Im}(z) = \frac{z-\bar z}{2i}$) on obtient :
    $$ \mathrm df(a) = \frac{\partial f}{\partial z}(a) \,\mathrm dz + \frac{\partial f}{\partial \bar z}(a)\,\mathrm d\bar z  \hspace{5mm}\text{avec}\hspace{5mm}  \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\bigg) \text{ et } \frac{\partial}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\bigg) $$ 
    Enfin, $f$ est holomorphe en $a$ si, et seulement si $\mathrm df(a) \cdot i = i \mathrm df(a) \cdot 1$, c'est-à-dire 
    $$ i \frac{\partial f}{\partial z}(a) - i \frac{\partial f}{\partial \bar z}(a) = i\frac{\partial f}{\partial z}(a) + i \frac{\partial f}{\partial \bar z}(a)  \hspace{5mm}\text{c'est-à-dire} \hspace{5mm} \frac{\partial f}{\partial \bar z}(a) = 0   $$ On retrouve la condition de Cauchy-Riemann en terme d'opérateur $\mathrm d$-barre. De plus, comme la $\mathbb C$-différentielle coïncide avec la $\mathbb R$-différentielle, on a $\frac{\mathrm df}{\mathrm dz}(a) = \mathrm df(a) \cdot 1 = \frac{\partial f}{\partial z}(a)$. En définitive, les conditions de Cauchy-Riemann ne sont que de l'algèbre, il n'y a pas de calcul différentiel derrière. 
  • Jusque-là je suis d'accord, mais j'aimerais quand même avoir une compréhension plus intuitive des formes/opérateurs différentiels qui apparaissent ici.
  • Homo Topi
    Modifié (January 2024)
    Je reviens ici parce qu'il me manque quand même des réponses.
    On parle donc de l'espace $\mathscr{L}_{\R}(\C,\C)$ des applications $\R$-linéaires de $\C$ dans $\C$. On en a une première $\C$-base $(\text{d}x,\text{d}y)$ et l'idée c'est d'en donner une autre qu'on notera $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$.
    Quand on prend une fonction réelle $f : \R \longrightarrow \R$, différentiable en un point $a$, la différentielle est l'application $\text{d}f(a) : h \longmapsto f'(a) \times h$. Donc si on veut écrire ça sous la forme $\text{d}f(a) = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}(a)\text{d}x$, il faut poser que $\text{d}x = \text{id}_{\R}$. Ce qui colle aussi avec $\text{d}x_k$ étant la forme linéaire $k$-ième coordonnée en dimension plus élevée.
    Du coup, pour une fonction complexe $f : \C \longrightarrow \C$, différentiable (au sens complexe) en un point $z_0$, on va avoir exactement la même écriture. Pour qu'on ait $\text{d}f(z_0) = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}z}(z_0)\text{d}z$, il faut poser que $\text{d}z = \text{id}_{\C}$. Et c'est bien ça la définition de $\text{d}z$.
    J'ai donc mon application $\text{d}z$, je sais même que $\text{d}z = \text{d}x + i\text{d}y$, cool. Je sais que $\text{d}z$ tout seul formera une base de $\mathscr{L}_{\C}(\C,\C)$, les applications $\C$-linéaires de $\C$ dans $\C$. Je veux aussi compléter $\text{d}z$ en une autre base de $\mathscr{L}_{\R}(\C,\C)$. OK, alors appelons $\text{d}\overline{z}$ par exemple mon autre choix de vecteur de base. Et je dis bien choix, parce qu'on peut prendre un tas de choses. Donc la question, c'est : pourquoi spécifiquement choisir que $\text{d}\overline{z}$ soit la conjugaison $\text{d}x - i\text{d}y$ ?
  • Si $z = x + iy$, on a $x = \frac{z + \bar z}{2}$ et $y = \frac{z - \bar z}{2i}$... le choix de la conjugaison s'impose !
  • Math Coss
    Modifié (January 2024)
    L'écriture $\mathrm{d}x=\mathrm{id}_\R$ me trouble : pour une forme différentielle sur $\R^2$ il faudrait un espace de dimension $2$ au départ. En fait, l'application $\mathrm{d}x$ est formellement la projection sur la première coordonnée : $(h,k)\mapsto h$. Au départ, $\R^2$ ; à l'arrivée, on peut discuter si c'est $\R$ ou $\C$ mais ça ne change pas grand-chose. Disons à valeurs dans $\C$ dans notre cas précis parce qu'on veut manipuler des fonctions à valeurs complexes.
    Ensuite, la différentielle $\mathrm{d}$ est linéaire : vu que $z=x+\mathrm{i}y$, on a $\bar z=x-\mathrm{i}y$ et $\mathrm{d}\bar{z}=\mathrm{d}x-\mathrm{i}\,\mathrm{d}y$. Ce n'est pas un choix. Après, pourquoi cette forme-là ? Ne serait-ce pas pour avoir une base orthonormée (ou orthogonale ?) en un certain sens à préciser ?
    Je précise « le » sens : partant de la base $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$, on cherche une deuxième forme $\omega$ de sorte que $(\mathrm{d}z,\omega)$ soit une base orthogonale. Vu que $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x+\mathrm{i}\,\mathrm{d}y$, la première colonne de la matrice est $\begin{pmatrix}1&\mathrm{i}\end{pmatrix}^{\mathsf{T}}$. La norme (pour la forme hermitienne canonique sur $\C^2$) de ce vecteur est $2$ donc on cherche une deuxième colonne orthogonale à la première et de norme $2$. À un complexe de module $1$ près, on tombe nécessairement sur $\begin{pmatrix}1&-\mathrm{i}\end{pmatrix}^{\mathsf{T}}$, ce qui est la colonne des coordonnées de $\mathrm{d}\bar{z}$.
    Edit : rectification de coquilles + ajout du dernier paragraphe.

  • @Math Coss je ne vois pas le problème avec $\text{d}x= \text{id}_{\R}$. En dimension $1$, $\text{d}x(a)=a$, ça c'est l'identité de $\R$. Je m'étais bel et bien placé en dimension $1$ quand j'ai dit ça.
    J'ai un sacré problème avec ta remarque "la différentielle $\text{d}$ est linéaire". Oui d'accord, on sait qu'elle l'est, mais de là à écrire des choses comme : "$z = x + iy$ donc $\text{d}z = \text{d}x + i \text{d}y$" il me manque des choses, moi. Pour moi, $z$ c'est un nombre complexe, toi là tu le traites comme une fonction à différentier. Pour moi c'est trop pointu et il me faudrait beaucoup de justifications avant d'être capable d'affirmer que ça c'est vrai. $\text{d}x$ c'est la différentielle de quelle fonction ?
  • OK pour $\mathrm{d}x$, si c'était en dimension $1$ c'est que j'avais lu trop vite.
    De quelle fonction est-ce que $\mathrm{d}z$ est la différentielle ? Ben, de $z$... c'est-à-dire de $z\mapsto z$, ou $(x,y)\mapsto x+\mathrm{i}y$, selon le point de vue. De même, sans surprise, $\mathrm{d}x$ est la différentielle de la fonction $x$, c'est-à-dire de $\mathrm{id}_\R$ en dimension $1$ et de la première projection $(x,y)\mapsto x$ en dimension $2$.
  • Ce qui me perturbe c'est ce côté, appeler $x$ la fonction $x \longmapsto x$. Je n'ai pas de difficulté à le comprendre, mais ça me dérange quand même. La même lettre commence à prendre trop de significations différentes à mon goût. Je n'aime pas beaucoup ce concept, je ne sais pas si je m'y habituerai un jour.
  • SkyMtn
    Modifié (January 2024)
    Les notations du calcul différentiel sont ce qu'elles sont. Déjà que c'est assez immonde, si on devait utiliser des notations plus « rigoureuses » on ne s'en sortirait jamais (et ça nuirait à l'intuition) ! 
  • Typiquement si j'appelle $x_k$ l'application $k$-ième coordonnée de $\R^n$, alors comme elle est linéaire on a $\text{d}x_k = x_k$, d'où le fait que parfois dans la littérature on introduit $\text{d}x_k$ comme une "notation traditionnelle" pour l'application $k$-ième coordonnée. Le fait de voir des choses comme $\text{d}x_k(x_1,...,x_n)=x_k$ dans la littérature me fait péter des câbles.
  • Moi, quand j'ai peur, je note $\pi_i$ la projection sur la $i$-ème coordonnée, j'écris des pages de calculs triviaux et je suis rassuré. Je suis d'accord avec toi, @Homo Topi.
  • En parallèle, je réfléchis parfois à un meilleur système de notation pour tout ce bazar, mais c'est vrai que c'est compliqué de trouver quelque chose de bien et cohérent.
    C'est vraiment juste les notations, en calcul diff. Les concepts ne sont pas compliqués à comprendre, c'est juste un immense bordel à écrire.
  • @Homo Topi Bon courage pour trouver un meilleur système de notations, ça fait plusieurs siècles que tout le monde s'y casse les dents.
  • Yanel
    Modifié (January 2024)
    Salut tous le monde dans le même contexte je cherche la formule pour faire le passage colorié en jaune.

  • GaBuZoMeu
    Modifié (January 2024)
    Bonsoir
    Si $z=x+iy$, ne vois-tu pas pourquoi $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=1$ ?
  • @Héhéhé j'ai dit que j'y réfléchissais, je n'ai pas dit que j'allais trouver :D
  • @Yanel : Théorème de dérivation des fonctions composées.
  • Foys
    Modifié (January 2024)
    Bien sûr que les notations du calcul différentiel sont une abomination et une usine à gaz. Elles se sont imposées en pratique par des siècles d'histoire pour se constituer en standard de fait. Le bien fondé de ces notations n'est pas défendable pour autant.
    C'est un peu comme la langue française qui comme d'autres langues est le résultat de siècles d'évolutions. Personne ne peut défendre le caractère logique du français. Quant au "c'est illiogique donc c'est mieux car plus intuitif": voyez les difficultés délirantes auxquelles sont confrontés les gens qui tentent d'apprendre sa pratique écrite correcte.
    Faire des notations parfaites pour le calcul différentiel est certes très difficile mais on peut arriver assez vite à un compromis raisonnable (comme dans Bourbaki au fond) rien qu'en liant les variables quand c'est nécessaire.
    Cauchy-Riemann est juste un exo d'algèbre linéaire. Soit $\mathcal L$ l'ensemble des applications $\R$-linéaires de $\C$ dans lui-même, vu comme $\R$-espace vectoriel. Alors:
    1°) $\mathcal L$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension $2$, et une $\C$-base en est le couple $(P,Q)$, avec pour tout $z\in \C$, $P(z) = z$ et $Q(z):= \overline z$. Cette base est telle qu'un élément de $\mathcal L$ est $\C$-linéaire si et seulement si il appartient au sous-$\C$-espace vectoriel engendré par $P$, autrement dit si sa coordonnée en $Q$ est nulle.
    2°) Il y a une autre $\C$-base $(A,B)$ de $\mathcal L$ donnée par $A(x+iy):= x$ et $B(x+iy) := y$ pour tous $x,y\in \R$ et on a les relations $A+iB = P$, $A-iB = Q$, $\frac 1 2 \left ( P + Q\right )$, $\frac 1 {2i} \left ( P - Q\right)$ (ce qui permet de déduire que $(P,Q)$ est une $\C$-base de $\mathcal L$ du fait que $(A,B)$ en est une puisque ce dernier point est plus facile a établir pour cette dernière).
    3°) Soient $(A^*,B^*)$ et $(P^*,Q^*)$ les $\C$-bases duales respectives de $(A,B)$ et $(P,Q)$. On a alors les relations $A^* = P^* + Q^*$, $B^* = i (P^* - Q^*)$, $P^* = \frac 1 2 (A^* - iB^*)$ et $Q^* = \frac 1 2 (A^*+iB^*)$
    4°) Soit $U$ un ouvert de $\C$, $f: U \to \C$ une fonction et $a\in U$. On dit que $f$ est différentiable en $a$ s'il existe $L\in \mathcal L$ et $\eta \in \C^U$ telles que $\eta(x) \underset {x \to a} {\longrightarrow} 0$ et $f(x) = f(a)+  L(x-a) + |x-a|\eta (x)$ pour tout $x\in U$. Une telle $L$ est alors unique.
    5°) On trouve parfois d'autres notations telles que $A:= dX$, $B:= dY$; $P:= dZ$, $Q:= d{\overline Z}$, et avec $L,f$ comme au 4°) , $\frac{\partial f}{\partial X} (a) := A^* (L)$, $\frac{\partial f}{\partial Y} (a) := B^* (L)$, $\frac{\partial f}{\partial Z} (a) := P^* (L)$ et $\frac{\partial f}{\partial \overline {Z}} (a) := Q^* (L)$.
    On en tire des égaltés comme $$ \frac{\partial f}{\partial X} (a)  dX + \frac{\partial f}{\partial Y} (a) dY =  \frac{\partial f}{\partial Z} (a) dZ + \frac{\partial f}{\partial \overline Z} (a) d \overline Z = L \tag 1.$$
    Ainsi qu'une floppée d'autres, connues sous le nom "d'équations de Cauchy-Riemann" et qui ne sont que les réécritures de 2°) et de 3°) avec ces nouvelles notations.
    6°) Toujours avec les notations de 4°), il est immédiat que $f$ est holomorphe en $a$ si et seulement si $L$ est $\C$-linéaire. Cela équivaut alors à la lumière de 1°) à ce que $P^* (L) = 0$, autrement dit à $\frac{\partial f}{\partial \overline Z} (a) = 0$.
    7°) Il y a une mode d'antiformalisme bon teint consistant à escamoter les points 1°) à 6°) et à inviter l'apprenant à plutôt se représenter ces notations comme des divisions par des objets infinitésimaux mystérieux vivant dans une autre dimension (qui diable peut être "$d\overline z$") et ce sous divers prétextes: "Poincaré" (ou autre icône au choix); "c'est plus intuitif"; "les anciens faisaient comme ça"  (est-ce seulement vrai) etc. Je n'ai jamais compris. En tout cas on peut tout faire proprement.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • En fait j'aime beaucoup la remarque de @Foys qui dit que Cauchy-Riemann n'est qu'un exo d'algèbre linéaire.
    Une fois qu'on a posé les définitions de $\text{d}x$, $\text{d}y$ et $\text{d}z$ sur $\R$ et sur $\C$, alors on peut voir les choses comme ça :
    1) $\text{d}x$ est une base du $\R$-espace vectoriel $\mathscr{L}_{\R}(\R,\R)$ des applications $\R$-linéaires $\R \longrightarrow \R$, espace qui contient entre autres les $\R$-différentielles totales de fonctions réelles qui s'écrivent $\text{d}f(a) = f'(a)\text{d}x$.
    2) le penchant dans $\C$ : $\text{d}z$ est une base du $\C$-espace vectoriel $\mathscr{L}_{\C}(\C,\C)$ des applications $\C$-linéaires $\C \longrightarrow \C$, espace qui contient entre autres les $\C$-différentielles totales de fonctions complexes qui s'écriront $\text{d}f(z_0) = f'(z_0)\text{d}z$.
    3) L'espace $\mathscr{L}_{\R}(\C,\C)$ des applications $\R$-linéaires $\C \longrightarrow \C$ est de dimension $2$ sur $\C$ et contient le précédent comme un sous-espace, donc on cherche à compléter la famille $(\text{d}z)$ en une base de $\mathscr{L}_{\R}(\C,\C)$. On dispose déjà d'une base $(\text{d}x,\text{d}y)$ qui est orthonormée pour le produit hermitien ??? et on fabrique le vecteur manquant en faisant un changement de base orthonormé, on tombe sur $\text{d}\overline{z}$ et la particularité de la base $(\text{d}z,\text{d}\overline{z})$ est qu'une application $\R$-linéaire $\C \longrightarrow \C$ est $\C$-linéaire si, et seulement si, sa composante selon $\text{d}\overline{z}$ est nulle.
    Je trouve ça très joli sous cette forme. La seule partie qui sort de l'algèbre linéaire c'est celle où l'on montre que les coordonnées des différentielles totales dans ces bases sont en fait les dérivées partielles.
  • geo
    geo
    Modifié (January 2024)
    Il me semble que les applications $\mathbb{R}$ linéaires de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$  forment un espace de dimension 4.
    $\mathbb{C}$ est vu comme un $\mathbb{R}$ espace vectoriel de dimension 2.
  • Justement pas ! C'est bien comme un espace vectoriel sur $\C$ qu'on le regarde, c'est tout l'intérêt de la chose.
  • Homo Topi
    Modifié (January 2024)
    Je veux juste revenir sur cette histoire de produit hermitien de @Math Coss
    Si j'ai deux formes linéaires $\omega = a_1\text{d}x_1 +\dots+ a_n\text{d}x_n$ et $\omega' = b_1\text{d}x_1 +\dots+ b_n\text{d}x_n$, définies $\R^n \longrightarrow \R$, je peux définir $\langle \omega \mid \omega' \rangle$ comme $\langle (a_1,\dots,a_n) \mid (b_1,\dots,b_n) \rangle$, c'est-à-dire
    $a_1b_1+\dots+a_nb_n$, le produit scalaire usuel sur $\R^n$. De tête, ce truc-là est effectivement un produit scalaire sur les formes linéaires de $\R^n$. 
    L'espace $\mathscr{L}_{\R}(\R^n,\R)$ des applications $\R$-linéaires de $\R^n$ dans $\R$, vu comme $\R$-espace vectoriel, pour être précis. Il est de dimension $n$ et on en a une base $(\text{d}x_1,\dots,\text{d}x_n)$.
    Maintenant, ce que nous on traîne ici, ce sont des applications $\R$-linéaires définies $\C \longrightarrow \C$, donc on est dans $\mathscr{L}_{\R}(\C,\C)$, vu comme un $\C$-espace vectoriel, il est de dimension $2$ et on en a une base $(\text{d}x,\text{d}y)$. Donc ici j'ai effectivement besoin du produit hermitien usuel sur $\C^2$ pour définir le produit hermitien de deux formes linéaires, mais ça va marcher exactement pareil que le cas réel, j'imagine.
    Je n'ai jamais vu cette notion de produit scalaire de formes linéaires avant, c'est marrant. Bon, je ne sais pas si c'est profondément utile non plus, mais c'est intéressant de le voir comme ça. En tout cas, j'ai déjà tripatouillé les formes linéaires, les formes différentielles, et tout le bazar d'algèbre extérieure/tensorielle avec des $\text{d}x_k$ à tout va sans jamais avoir mis de produit scalaire quelque part.
  • geo
    geo
    Modifié (January 2024)
    On a     $\mathcal{L} _{\mathbb{R}}( \mathbb{C})=\mathbb{C}I \oplus \mathbb{C}\bar{I}$ où $I=id_{\mathbb{C}}$   et   $\bar{I}=id_{\mathbb{C}}$   
    Donc c'est de dimension $4$.
  • Non, toujours pas.
  • geo
    geo
    Modifié (January 2024)
    Tu plaisantes??? $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{R}$ espace vectoriel est de dimension deux.
    Explique pourquoi alors ???
  • Par contre tu as   $\mathcal{L} _{\mathbb{C}}( \mathbb{C})\subset  \mathcal{L} _{\mathbb{R}}( \mathbb{C})$
  • gerard0
    Modifié (January 2024)
    Géo, Tu parles de dimension comme $\mathbb R$-espace vectoriel, alors que HT parle d'espace vectoriel sur $\mathbb C$; il te l'a dit. Et $\mathbb C$, comme $\mathbb C$-espace vectoriel est de dimension 1.
    Cordialement.
  • geo
    geo
    Modifié (January 2024)
    Gérard. Ok je n'avais vraiment pas vu désolé dans ce cas.
  • Bah, pas de souci. J'étais parti du principe que tu avais lu mon message, justement.
  • geo
    geo
    Modifié (January 2024)
    Homotopi Je me suis posé les mêmes questions que toi il y a plusieurs années et je t'avoue que les notations m'avaient troublé aussi. Depuis je m'y suis fait.
    Il ne faut pas trop se casser la tête.
    Ta question est de trouver le moyen de compléter $(dz)$ en une base qui donne $(dz; d\bar{z})$  en partant de $(dx; dy)$ c'est cela ?
  • @geo: le corps de base qui définit la structure d'espace vectoriel compte dans le calcul de la dimension; et tout $\C$-espace vectoriel de dimension $d$ est un $\R$-espace vectoriel (pour la structure induite) de dimension $2d$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Math Coss après avoir refait les calculs rapidement, je tombe effectivement sur ce que tu disais : pour compléter $\text{d}z$ en une base orthonormée, on tombe sur $\text{d}\overline{z}$ multiplié par un complexe de module $1$.
    C'est assez amusant à constater, ça, je trouve. Dans le cas réel (compléter un vecteur en une base en dimension $2$), j'imagine que c'est la même chose, mais du coup le module $1$ se traduirait en $\pm 1$, qui lui-même se traduit en base orthonormée directe/indirecte. Il n'y a que deux choix, contre une infinité dans le cas complexe. Est-ce qu'il y a un "concept assimilable" à une orientation dans le cas complexe ? Je veux dire, techniquement ici le seul choix "privilégié" c'est de prendre $\text{d}\overline{z}$ directement, donc de choisir $1$ comme coef multiplicateur de module $1$, mais rien ne nous y oblige pour faire marcher les choses il me semble.
  • Sans doute pas tout à fait orthonormée – mais deux vecteurs orthogonaux de même norme (différente de $1$), plutôt ?
    À propos d'orientation, note qu'un espace vectoriel complexe (et donc une variété holomorphe) est automatiquement orienté. En effet, pour une base $(e_1,\dots,e_n)$ sur $\C$, on associe la base $(e_1,\mathrm{i}e_1,\dots,e_n,\mathrm{i}e_n)$ du même vu comme ev sur $\R$, ce qui donne une orientation qui se trouve être indépendante de la base de départ.
  • Nan mais que la norme soit $2$ au lieu de $1$ on s'en fout, tu changes le produit scalaire avec un coef $1/2$ quelque part et c'est réglé, c'est effectivement le fait qu'ils soient orthogonaux de même norme qui compte.
    Je ne me suis jamais encore intéressé aux variétés complexes. C'est vraiment marrant que $\C$ a une "rigidité" aussi forte quand on le voit comme un truc réel. Les fonctions $\C$-dérivables une seule fois sont aussi régulières que les fonctions réelles les plus régulières possibles, une variété complexe est toujours orientable en tant que variété réelle... ça a l'air fun à étudier :smile:
  • Tu as aussi des théorèmes assez spectaculaires au sujet des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes (au moins deux). Tu peux regarder l'énoncé du théorème de prolongement de Hartogs par exemple. :) 
  • @Foys Oui je suis au courant.
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