Théorème de Cauchy

Démonstrator
Modifié (December 2023) dans Analyse
Toute fonction entière (i. e. holomorphe sur $\mathbb{C}$) est-elle somme d'une série entière de rayon de convergence infini ?
La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel

Réponses

  • Poirot
    Modifié (December 2023)
    Encore en recherche de contre-exemple ? :D
    La réponse est oui, ça se voit dans la démonstration de la formule de Cauchy, on peut pousser le développement jusqu'à la singularité la plus proche.
  • Démonstrator
    Modifié (December 2023)
    Dans le théorème de Cauchy que j'ai sous les yeux, pour une fonction $f$ holomorphe sur l'ouvert $U$, elle est analytique et somme d'une série entière sur tout disque inclus dans $U$ avec des coefficients qui s'obtiennent grâce à une intégrale le long de la frontière dudit disque. D'où ma question puisque cela ne veut plus rien dire pour $R = \infty$.
    Ou alors je dis : ma fonction entière $f$ est effectivement DSE centrée en $0$ sur tout $D(0,R)$, $R \geqslant 0$ et par unicité du DSE en $0$, pour tout $z \in \mathbb{C}$, j'ai bien $f(z) = \sum \frac{a_n}{n!} z^n$ (autrement dit, l'unicité du DSE implique que les $a_n$ sont indépendants de $R$) ? Ou bien c'est une ineptie ?
    La pensée ne préexiste pas à la langue et à ses formes, car c’est en parlant, fût-ce en soliloquant, que je pense. — Hegel
  • Oui c'est ça, l'unicité des coefficients d'une série entière convergente sur un voisinage de $0$ implique que les coefficients sont les mêmes, quel que soit le développement que l'on fait dans un $D(0, R)$. En particulier la série converge sur tout $\mathbb C$, donc a un rayon de convergence infini.
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