Promenade aléatoire dans le demi-plan de $\mathbb{Z}^2$
Soit $U_1,\ldots,U_n,\ldots$ indépendantes et de même loi définie par $$\Pr(U_n=( 1,0))=\Pr(U_n=( -1,0))=\Pr(U_n=(0, 1)=\Pr(U_n=(0, -1)=1/4.$$
Soit $V_1,\ldots,V_n,\ldots$ indépendantes et de mème loi définie par $
\Pr(V_n=(\pm 1,0))=\Pr(V_n=(0,1)=1/3.$.
On considère la promenade aléatoire $S_n=(X_n,Y_n)$ à valeurs dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ telle que $S_0=(0,0)$ et $S_n-S_{n-1}=U_n$ si $Y_{n-1}>0$ et $S_n-S_{n-1}=V_n$ si $Y_{n-1}=0$.
Montrer que avec probabilité $1$, il existe $n>0$ tel que $S_n=(0,0).$
On considère la promenade aléatoire $S_n=(X_n,Y_n)$ à valeurs dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ telle que $S_0=(0,0)$ et $S_n-S_{n-1}=U_n$ si $Y_{n-1}>0$ et $S_n-S_{n-1}=V_n$ si $Y_{n-1}=0$.
Montrer que avec probabilité $1$, il existe $n>0$ tel que $S_n=(0,0).$
Je cherche une idée. Pour la
promenade dans $\mathbb{Z}^2$, c'est classique. La frontière change
tout.
Réponses
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Voici une idée : soit $c$ une réalisation de la marche aléatoire habituelle sur le plan entier (celle avec que des $U$ comme incréments).
Un $n$ est dit "instant de sortie" si $c_n$ est sur l'axe des abscisses, et si $c_{n+1}$ est strictement en-dessous de l'axe des abscisses. Un $n$ est dit "instant d'entrée" si $c_n$ est à strictement en-dessous de l'axe des abscisses et $c_{n+1}$ est sur l'axe des abscisses.
Soit $(s_n)_n$ la suite des instants de sortie et $(e_n)_n$ la suite des instants d'entrée. On a $0 \leq s_0 < e_0 < s_1 < e_1 < \cdots$. Soit, pour tout $n$, $k_n$ le plus grand entier $k$ tel que $e_k < n$ et $\phi$ l'énumération croissante de $\mathbb{N} \setminus \bigcup_j \{s_j,\cdots e_j\}$. On pose, pour tout $n$, $d_n := \sum^n_k (c_{e_k + 1} - c_{s_k}) \in \mathbb{Z}\times \{0\}$. On pose enfin, pour tout $n$, $c'_n := c_{\phi(n)} - d_{n}$.
En bref, $c'$, c'est $c$, sauf qu'on oublie tous les instants dans le mauvais demi-plan, et quand $c$ rentre dans le bon demi-plan, on décale $c$ horizontalement (parce que $c$ ne rentre pas forcément dans le bon demi-plan à l'endroit où elle est sortie).
Alors, je pense que si $c$ suit la loi de la marche aléatoire habituelle, $c'$ suit la loi de ta marche aléatoire à toi.
EDIT : Il y avait plein d'erreurs, j'ai corrigé.
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Et sinon, autre idée : en reprenant tes notations, notons $\phi$ l'énumération des instants où $S$ est sur l'axe des abscisses. Alors l'application $n \mapsto S_{\phi(n)}$ est une marche aléatoire "de groupe" (i.e. ses incréments sont iid) sur l'axe des abscisses qui est symétrique. Ca ne suffit pas pour montrer qu'elle revient en $0$ presque sûrement ?EDIT. J'ai enlevé un anti-slash qui était en trop.
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Pour la seconde méthode, bien ingénieuse, il faudrait être sur que $S(\Phi(1))$ est d’espérance finie : je crois qu'il existe des promenades aléatoires sur $\mathbb{Z}$ symétriques et transientes. Feller tome 2 page 205 donne un exemple à densité. Pour le cas arithmétique, je ne suis pas trop sûr et n'ai pas trouvé d'exemple dans Spitzer.Pour ta première méthode je cherche à la comprendre.
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Bonsoir
Une idée assez différente : il me semble que ton modèle se traite bien avec la théorie des réseaux électriques. Sauf erreur la monotonie de la résistance équivalente (lorsqu'on supprime des morceaux d'un graphe) fait que tu peux déduire de la récurrence de $\mathbb{Z}^2$ la récurrence dans le demi-plan (car tu gardes les mêmes résistances en faisant la marche symétrique aux 3 ou 4 voisins).Comme référence : le livre de Doyle et Snell que tu connais probablement déjà très bien, ou le cours de M2 de Nicolas Curien qui est sur sa page web (celui sur les marches aléatoires). -
Ce n’étaient que des idées, pas des ébauches. Pour la deuxième, hum, c’est vrai que cette marche peut nous emmener loin…
Et pour la première, en fait, ben, je m’étais dit la chose suivante : on considère le modèle à piles, i.e. en chaque site, on met une pile infinie de cartes avec haut, ou bas, ou gauche ou droite marqué dessus, le tout de manière équiprobable, et chaque pas que l’on fait est celui indiqué par la carte posée sur le site où on est, cette carte étant ensuite défaussée. Alors ta marche consiste à prendre les mêmes piles de cartes que pour la marche habituelle, sauf que quand on est sur l’axe des abscisses, on ignore toutes les cartes qui disent d’aller vers le bas. C’était mon idée de départ, et je l’ai ensuite déformée pour te dire celle que j’ai écrite ci-dessus en ne parlant plus de pile.
Je ne commente pas les résistances de Lucas car je ne sais pas ce que c’est ! -
Bonjour,
Qu'est-ce que $Y_n$ dans le message original ? -
L’ordonnée de la position de la marche au temps $n$ !
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Je reviens à la charge, j'ai l'impression que ma solution n'a pas convaincu grand monde... Après un rapide coup d'oeil au livre de Doyle et Snell, je confirme que pour tout sous-graphe de la grille, la marche symétrique aux plus proches voisins est récurrente.
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Merci chers amis, Doyle and Snell Theorem page 133 donne la parfaite solution, conforme a nos intuitions.
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Bonjour!
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