Un défi pour "experts"

uvdose
Modifié (December 2023) dans Arithmétique
Bonjour
Je partage avec vous le défi que je vais proposer à la rentrée des vacances à mes élèves de Maths Expertes.

Déterminer les entiers naturels $x$ tels que :
$\text{(i)}$  $x-1000$ est une puissance de $2$,
$\text{(ii)}$  $x+1$ est une puissance de $45$.

Bonnes fêtes !

Réponses

  • zygomathique
    Modifié (December 2023)
    Salut
    je ne vois pas trop où est le défi  :/ 
    1/ $ x = 1000 + 2^k$
    2/ $ x = 45^k - 1 $

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Probablement qu'il faut cumuler les deux conditions.
  • L'objectif est probablement que les 2 conditions soient vérifiées en même temps.
    $2^k+1000$ est multiple de $3$ ssi $k$ est impair.
    $2^k-1$est multiple de $5$ ssi $k$ est multiple de $4$.
    Et donc, aucune solution.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran il y a au moins une solution, $2024$
  • Oups, je me suis planté sur les puissances de 5. En plus, 2024, c'était si évident en cette période.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • C'est la seule solution. En raisonnant modulo 9 puis modulo 8 on arrive à exprimer 1001 comme une différence de deux carrés.
  • uvdose
    Modifié (December 2023)
    @jandri : solution simple et efficace. Je m'étais compliqué la vie en raisonnant modulo 125 puis modulo 601 :'( .
    J'hésitais avec ce défi.
    Déterminer les entiers naturels $x$ tels que :
    $\text{(i)}$  $x+24$ est une puissance de $2$,
    $\text{(ii)}$  $x+1$ est une puissance de $45$.
  • jandri
    Modifié (December 2023)
    Pour ce deuxième défi il y a bien la solution évidente mais pour trouver toutes les solutions la méthode que j'avais utilisée pour le premier défi ne marche plus : la puissance de $45$ est bien paire mais celle de $2$ est impaire.

    En raisonnant modulo $45^4$ je trouve que la puissance de $2$ est au moins égale à $849431$ mais je ne trouve pas d'impossibilité pour l'existence d'une autre solution à ce défi.
  • Je suis (très) loin de mon ordi, mais il me semble qu'on obtient une obstruction en raisonnant modulo $125\times101$.
  • 45², d’ailleurs, est utilisé dans les codes QR quand il contient une URL.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • LOU16
    Modifié (18 Jan)
    Bonjour;  
    Soient $x,n,p \in \N$ tels que $\begin{cases} x+24=2^n\\x+1 =45^p.\end{cases}\:\: $ Alors $\:\:2^n -23 =45^p.\:\: $ Supposons que $\:p\geqslant 3.\:$ Alors $\:\:2^n\equiv 23 \mod 5^3.$
    L'ordre de $2$ dans $(\Z/5^3\Z)^{\times} $ est égal à $100$ et  $\:\:2^{31}\equiv 23 \mod 5^3.\quad$ Ainsi $ n \equiv 31 \mod 100,\quad 2^n \equiv 2^{31}\equiv 34 \mod 101.$
    $2^n -23 \equiv 11 \mod 101$ . En usant du symbole de Legendre et de la loi de réciprocité quadratique, on obtient:
    $\:\left (\dfrac{11}{101}\right) =\left( \dfrac{101}{11}\right) =\left(\dfrac{2}{11}\right)=-1, \quad \left(\dfrac{ 45^p}{101}\right)=\left(\dfrac {5.3^2}{101}\right)^p=\left(\dfrac 5{101}\right)^p=\left( \dfrac{101}5\right)^p =\left ( \dfrac 15\right )^p=1^p=1.$ 
    Il en résulte que $\forall n,p \in \N, 11\not\equiv 45^p \mod 101$ et  $\:\:2^n-23 \neq 45^p.$
    Ainsi $p<3, \:\:$ et le seul entier $x$ répondant à la question est $x=2024 =45^2-1=2^{11} -24.$
     NB L'usage de la loi de réciprocité quadratique n'est bien entendu  pas indispensable. Je l'ai utilisée ici pour convaincre le "lecteur", sans qu'il ait à le vérifier avec une turbine, que $\forall  p\in\N, \:45^p \not\equiv 11 \mod 101.$
  • Bravo @LOU16.
    Je n'avais pas remarqué que $\varphi(125)=\varphi(101)=100$.
  • zygomathique
    Modifié (December 2023)
    Certes ... mais en restant à un niveau math expert ?
    Pour le premier @jandri a donné la réponse : on raisonne modulo 8 et 9 pour avoir des conditions nécessaires sur n et p puis la différence des carrés = 1001 = 7 * 11 * 13 permet de traiter "à la main" ces différents cas.
    Un "bon" énoncé/questionnement permet de guider "raisonnablement convenablement" l'élève vers la solution (sans tout lui donner).

    Pour le deuxième :  $2^m - 24 = 45^n - 1\iff 2^m - 23 = 45^n$
    les cas n = 0 et n = 1 sont immédiats.
    On suppose donc $n \ge 2$ et en écrivant $2^m + 2 = 25 + 45^n$ alors en raisonnant modulo 25 on en déduit (avec tableur pour simplement automatiser les calculs et ce qu'on fait régulièrement à ce niveau) que m = 11 + 20k (1)
    (en raisonnant modulo 9 on trouve m = 5 + 6k (2) et la combinaison de (1) et (2) donne m = 11 + 60k).
    En raisonnant modulo 8 on trouve comme pour le premier défi que n est pair.
    Mais ensuite ça me semble compliqué en restant à un niveau de math expertes ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.