Dérivées successives

math65
Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonjour,

Pour montrer que $f$ est infiniment dérivable, est-ce que je dois simplement dire que $f$ est produit, somme, composée de fonctions infiniment dérivables ?
Est-ce que je dois donner une formule générale pour les dérivées successives ?
Merci.

Réponses

  • Chaurien
    Modifié (December 2023)
    Pour la première question, je pense effectivement qu'il suffit de dire que $f $ est produit, somme, composée de fonctions infiniment dérivables.
    Pour la seconde question, l'énoncé demande de calculer la dérivée $n$-ème $f^{(n)}(x)$ pour tout $n \in \mathbb N$.
  • Math Coss
    Modifié (December 2023)
    Comment comprends-tu la consigne "calculer ses dérivées successives" ?
  • Le choix des verbes dans les énoncés d'exercices n'est pas neutre. Ici, l'énoncé demande de vérifier. Sur le fond, c'est la même chose que démontrer. Mais dans les faits, quand on demande de vérifier, on demande juste 2 ou 3 lignes d'explications. Donc, oui, une phrase comme celle que tu as écrite est suffisante.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • math65
    Modifié (December 2023)
    Bonjour
    Pour 1), j'ai trouvé : $f^{(n)} (x) =(w_n + v_n x +u_n x^2)e^{3x}$
    Avec $u_n= 3^n$, $v_n =2 n 3^{n-1}$ et $w_n=n(n-1)3^{n-2}$.
  • En voici un que j’aime beaucoup : calculer la dérivée n-ième de $X^2(1+X)^n$.
    Défi : de tête.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Rescassol
    Modifié (December 2023)
    Bonjour,

    Sauf erreur, $\dfrac{n!}{2}\left((n+1)(n+2)X^2 + 2n(n+1)X + n(n-1)\right)$

    Cordialement,
    Rescassol

  • salut

    @math65 il est plus simple d'écrire $ f^{(n)}(x) = P_n(x) e^{3x}$ et donner directement $P_n$

    d'ailleurs on remarque que $P_n(x) = 3^{n - 2} [(3x + n)^2 - n]$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • math65
    Modifié (December 2023)
    pour 2)
    J'ai trouvé $f^{(n)}(x)=\cosh(na+ \sinh(a)x)e^{\cosh(a)x}$
    pour 3), j'ai trouvé $f^{(n)}(x)=2^{n} \sin(n\pi/6 + x)e^{\sqrt{3}x}$
    @zygomathique. Poser des suites m'a aidé à trouver une forme générale. Est-ce qu'utiliser un polynôme permet de trouver plus efficacement ?
    Merci.
  • zygomathique
    Modifié (December 2023)
    Non ça condense simplement l'écriture et tu peux remarquer que si $ f(x) = p(x) e^{q(x)} $ où $p$ et $q$ sont des polynômes alors $f'$ est de la même forme
    ainsi $ f'(x) = [p'(x) + p(x)q'(x)]e^{q(x)} = P(x) e^{q(x)} $,
    et dans ton exemple 1/ on peut même démonter que si $f^{(n)}(x) = P_n(x) e^{3x} $ alors $\deg (P_n) = 2$ sans même calculer $P_n$
     ;)
    Tu peux même t'amuser à donner le degré de $P$ de mon cas général en fonction des degrés de $p$ et $q$.

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Les dérivées successives, sérieux ? Elles ont certainement une sale gueule, surtout pour la fonction du milieu. Les gars, ils ne disent pas quand s'arrêter.
  • La fonction du milieu, c'est juste une combinaison linéaire de deux exponentielles.
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