Exemple à chercher
Salut
Soit $\Omega$ un domaine borné de $\mathbb{R}$.
Est-ce que vous pouvez me donner un exemple d'un opérateur ou fonction qui vérifie ces hypothèses
\begin{align*}
(a) \quad& A:\Omega \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d\,;\\
(b) \quad &\text{Il existe } L_{A}>0 \text { tel que } \|A\left(x, y_{1}\right)-A\left(x, y_{2}\right)\| \leq L_{A}\|y_{1}-y_{2}\| ,\quad \forall y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}^d, \text { p.p. } x \in \Omega\,; \\
(c) \quad&\text {Il existe } m_A>0 \text { tel que } \left(A\left(x, y_{1}\right)-A\left(x, y_{2}\right)\right) \cdot\left(y_{1}-y_{2}\right) \geq m_{A}\|y_{1}-y_{2}\|^{2},\quad \forall y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}^d, \text { p.p. } x \in \Omega\, ;\\
(d) \quad & x \mapsto A(x, y) \text { est Lebesgue mesurable sur } \Omega\, ;\\
(e) \quad& A(x,0)=0 \text { p.p. } x \in \Omega.
\end{align*}
Soit $\Omega$ un domaine borné de $\mathbb{R}$.
Est-ce que vous pouvez me donner un exemple d'un opérateur ou fonction qui vérifie ces hypothèses
\begin{align*}
(a) \quad& A:\Omega \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d\,;\\
(b) \quad &\text{Il existe } L_{A}>0 \text { tel que } \|A\left(x, y_{1}\right)-A\left(x, y_{2}\right)\| \leq L_{A}\|y_{1}-y_{2}\| ,\quad \forall y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}^d, \text { p.p. } x \in \Omega\,; \\
(c) \quad&\text {Il existe } m_A>0 \text { tel que } \left(A\left(x, y_{1}\right)-A\left(x, y_{2}\right)\right) \cdot\left(y_{1}-y_{2}\right) \geq m_{A}\|y_{1}-y_{2}\|^{2},\quad \forall y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}^d, \text { p.p. } x \in \Omega\, ;\\
(d) \quad & x \mapsto A(x, y) \text { est Lebesgue mesurable sur } \Omega\, ;\\
(e) \quad& A(x,0)=0 \text { p.p. } x \in \Omega.
\end{align*}
[Edit. a.e. (almost everywhere) remplacé par p.p. (presque partout)]
Réponses
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avec $A$ non linéaire par rapport à $y$.
-
Salut
que signifie "a.e." ?Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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a.e. = almost everywhere ... Après, je ne sais pas car mon anglais est grave pourri.
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presque partout
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$A(x,y)=y$.
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Il faut que $A$ soit non linéaire par rapport à $y$.
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Pourquoi ne pas l'avoir écrit directement en français ?
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$A(x,y)=2 y + |y|$, où $|y| = (|y_1| \cdots |y_d|)^T$.
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condition (c) n'est pas vérifiée
-
Si, cette condition est vérifiée d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
-
$(2y_1+\|y_1\|-2y_2-\|y_2\|).(y_1-y_2)=(2y_1-2y_2).(y_1-y_2)+(\|y_1\|-\|y_2\|)(y_1-y_2)=2\|y_1-y_2\|^2++(\|y_1\|-\|y_2\|)(y_1-y_2)$
Pour l'inégalité de Cauchy Schwarz avec certain manipulation
$|(\|y_1\|-\|y_2\|)(y_1-y_2)|\leq \|y_1-y_2\|^2$Donc on a inférieur ou égal mais notre but est de montrer que $(2y_1+\|y_1\|-2y_2-\|y_2\|).(y_1-y_2)\geq m_{A}\|y_1-y_2\|^2$.[Hermann Schwarz (1843-1921) prend toujours une majuscule. AD] -
On a $|(|y_1| - |y_2|) \cdot (y_1 - y_2)| \leq \||y_1| - |y_2|\| \|y_1 - y_2\| \leq \|y_1 - y_2\|^2$ donc $(|y_1| - |y_2|) \cdot (y_1 - y_2) \geq -\|y_1 - y_2\|^2$ ce qui donne bien $(2 y_1 + |y_1| - (2 y_2 + |y_2|)) \cdot (y_1 - y_2) = 2 \|y_1 - y_2\|^2 + (|y_1| - |y_2|) \cdot (y_1 - y_2) \geq \|y_1 - y_2\|^2$.
-
$(|y_1|-|y_2|).(y_1-y_2) $ c'est un vecteur et $-\|y_1-y_2\|^2$ est un scalaire ?
-
et $|.|$ est une norme d'un vecteur ?
-
Relis correctement les messages (notamment la condition (c) et ma première réponse), la réponse s'y trouve.
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