Déterminant circulant

OShine
Modifié (December 2023) dans Algèbre
Bonjour
Je bloque sur la deuxième moitié de la question a.
Je trouve $A=a_1 I+a_2 J+ \cdots + a_n J^{n-1}$.
Je n'ai pas compris comment faire la suite de la question.

Réponses

  • Tu as calculé $J^n$?
  • Ben314159
    Modifié (December 2023)
    Salut
    Vu ce que tu viens d'écrire, est-t-il possible qu'un polynôme de degré $<n$ annule la matrice $J$ ?
    D'un autre coté, quel polynôme connais-tu qui annule forcément la matrice $J$ ? Quel est son degré ?
    Conclusion.
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    Si seulement @Oshine consentait à étudier sérieusement le livre de Xavier Gourdon sans ergoter sur sa difficulté.
    Nonobstant. Sans aller jusqu’au polynôme minimal, quel genre de polynôme cherches-tu ? Quelle qualité devrait avoir ses racines ?
    Et pour finir qu’est-ce qu’un polynôme minimal ?
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    Merci pour votre aide mais je n'ai pas compris comment trouver $\deg( \mu_J)$.

    Calculons $J^n$. 
    Soit $j$ l'endomorphisme canoniquement associé à $J$.
    On a $j(e_1)=e_n$ e $\forall k \in [|2,n|] \ j(e_k)=e_{k-1}$.
    Ainsi, $j^n(e_1)=j^{n-1} (e_n)=e_{n-(n-1)}=e_1$.
    $j^n (e_2)=j^{n-2} ( e_n)=e_{n-(n-2)}=e_2$.
    Etc..
    Donc $J^n = I_n$. Le polynôme $X^n-1$ annule $J$, il est de degré $n$.

    Par contre, je ne comprends pas le lien avec la relation $A=a1 I+ a_2 J + \cdots + a_n J^{n-1}$.

    @Ben314159
    Je ne vois pas comment savoir si c'est possible qu'un polynôme de degré $<n$ annule $J$.

    @hx1_210
    On cherche un polynôme annulateur ? 
    L'ensemble des polynômes annulateurs est un idéal $I$ de $\C[X]$.
    L'anneau $\C[X]$ est principal, il existe un unique polynôme unitaire $\pi_u$ qui engendre $I$.
    On a $I=(\pi_u)$. Le polynôme minimal de $u$ est le polynôme de plus bas degré qui annule $u$.

    Coquille corrigée suite à la remarque de @bd2017.

  • @Oshine a  dit  $X^n$  annule $J.$  $J$  serait une matrice nilpotente...
     
  • Ben314159
    Modifié (December 2023)
    Si, (par exemple et à tout hasard...) $P(X)\!=\!a_1\!+\!a_2X\!+\!a_3X^2\!+\cdots+\!a_nX^{n-1}$, (donc de degré $<n$) c'est quoi $P(J)$ ?
  • math78
    Modifié (December 2023)
     Oshine, faites la bonne vieille méthode calculez $\det (J- X I_n)$.
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    Bien. Donc $X^n-1$  et pas $X^n$ annule $J$ et il est de degré $n$ et unitaire. Je ne te dis pas que c’est un polynôme célèbre parce que cela te divulgacherait la suite de l’exercice.

    ue signifie $P(J)=A=0_n$ ?
    (T’ai-je déjà dit que tout cela se trouve dans le Gourdon?  B))
  • bd2017
    Modifié (December 2023)
    @Oshine tu as calculé $J^n$  et tu as trouvé   $J^n=I_n$ et $I_n$  n'est pas la matrice nulle.   Donc tu fais une erreur en disant  que   $X^n$ annule $J$.  En fait $J^n- I_n=0.$ Autrement dit c'est $P(X)=X^n-1$  qui annule $J.$ 
     
  • Dans cet énoncé, l'indexation des coefficients est particulièrement maladroite : il fallait noter les coefficients $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ !
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    @john_john oui et la question 1) est mal posée; je trouve qu’elle n’aide pas. Dans le fond on se moque de savoir qui est le polynôme minimal ce qui est intéressant c’est qu’il soit scindé à racines simples (sur $\C$.)

    Mais puisque OShine continue de piocher des exercices à droite à gauche plutôt que de travailler comme tout le monde avec la merveille de Gourdon…
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    J'ai corrigé l'erreur entre temps @bd2017.

    @Ben314159
    On a $P(J)=A$ et $J^n-I_n=0$.
    Si $P(J)=0$ alors $P=0$. 
    Mais le polynôme minimal est unitaire donc non nul.
    Donc le polynôme minimal de $J$ ne peut pas s'écrire comme un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$.
    Donc $\mu_J =X^n-1$.

    Les deux dernières questions ne devraient pas me poser de difficultés.

    @math78
    Je sais faire cette méthode un classique des sujets de concours Centrale mais ce n'est pas dans l'esprit de l'exercice.
  • On peut aussi tout bêtement affirmer sans vergogne et sans aucun calcul que le polynôme caractéristique de $J$ est $X^n-1$ puisque on reconnaît que $J$ est la matrice compagne de ce polynôme !
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @bisam
    En effet, mais l'exercice perd son intérêt.
    Je propose ceci pour la fin de l'exercice.

    b) $\mu_J = X^n-1$. Donc $sp(J)= \{ e^{2 i k \pi /n} \ | \ k \in [|0,n-1|] \}$. 

    c) $\mu_J$ est scindé à racines simples donc $J$ est diagonalisable.
    $J$ est semblable à $D=diag(1,w, \cdots, w^{n-1})$ où $w=e^{2 i \pi /n}$.
    Il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que $D=P^{-1} J P$.
    On a $\det(J)=\det(D)$.
    $A=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k J^{k-1}$.
    Donc $D=P^{-1} A P = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k D^{k-1}$.
    Mais $\forall k \in [|1,n|] \ D^{k-1}= diag (1,w^{k-1}, \cdots, w^{(n-1)(k-1)})$.
    Donc $\boxed{\det(A)=\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}  \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k w^{(k-1) i} \right)}$.
    J'ai vérifié pour $n=2$ et $(a_1,a_2)=(1,2)$ ça a l'air de marcher.
  • LeVioloniste
    Modifié (December 2023)
    @OShine
    De mémoire la formule du déterminant s'écrit avec le polynôme caractéristique. Je vais vérifier. 
    D'ailleurs tu as des informations par ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante.
    Voilà comment j'aurais fait les choses : avec une coquille $A$ est semblable à $diag(...)$ à la dernière ligne et non égal.
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @LeVioloniste
    Ok merci, je trouve la même chose que toi.

    Un exercice où je n'ai pas laissé trop de plumes pour une fois. On passe au suivant. Cette fiche d'exercices sur la réduction pour l'agreg interne est vraiment cool, les exercices sont abordables et intéressants.
  • LeVioloniste
    Modifié (December 2023)
    @OShine Lentement mais sûrement, tu es en train de rattraper @gebrane @gai requin @JLapin @bd2017 @bisam ... en terme de niveau de mathématiques.
    Tes cibles sont : @gerard0 et @NicoLeProf qui sont un étage au-dessus. C'est l'élite des professeurs agrégés.
    Tu as fait beaucoup de progrès et c'est très bien.
    Fais encore quelques annales de l'agrégation interne, l'X en 2024 et tu seras au top. En 2025 c'est nous qui nous ferons aider par toi !
  • Ouf! je n'ai pas été cité. La clairvoyance du @Violoniste est à l'image de sa façon de faire les statistiques et la probabilité.
     
  • @bd2017 Je travaille dur les probas stats. Je progresse !  Pour te punir je te rajoute dans la liste de mon message précédent.
  • @OShine est-ce que ça t'intéresse si je mets en ligne des exercices d'algèbre linéaire ? On peut les chercher ensemble.
  • bd2017
    Modifié (December 2023)
    C'est bien!  Mais, ne  continue pas à écrire un peu tout et n'importe quoi et tiens compte des bonnes remarques d'@Alexique.
     
  • NicoLeProf
    Modifié (December 2023)
    Euh? Pardon LeVioloniste? C'est très gentil et valorisant pour moi de me considérer comme "l'élite des professeurs agrégés" mais je ne peux pas m'empêcher de penser qu'il y a de l'ironie dans ton message ci-dessus, sinon : je tiens à rétablir la vérité comme elle l'est : JLapin, bisam, bd2017, gebrane et gai requin (et plein d'autres) sont extrêmement brillants et leur niveau dépasse largement le mien : il est même à des années lumières du mien en regardant leurs interventions et en constatant la brillance incroyable de leurs divers raisonnements mathématiques sur des exercices très ardus... Ce sont bel et bien ces membres du forum qui m'apprennent le plus de choses et qui n'hésitent pas à corriger mes erreurs quand j'en fais, avec une grande bienveillance et une grande patience (merci beaucoup à eux d'ailleurs ! :)<3 )
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @NicoLeProf Ah ne soit pas modeste ... Tu proposes des solutions détaillées de qualité. Je ne fait pas mieux que toi, tu peux le voir en regardant les photos récentes que j'ai envoyées pour @OShine ! Les personnes que j'évoque et que tu évoques proposent des idées mais rarement des preuves rédigées. Ce sont des interventions que je trouve différentes des tiennes. Mais pour comprendre et réfléchir ton apport est très positif, sans ironie.
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    Je ne rattraperai jamais ceux que tu as cité, ils ont trop d'avance  :D 
    Dans la vie, il faut accepter qu'il y a des gens qui sont plus forts que soi. Et ça ne me dérange pas.
  • bd2017
    Modifié (December 2023)
    Oui, il y a au moins un point où je suis d'accord avec @LeVioloniste :  
     @NicoLeProf a un bon niveau et il (ou elle?) fait partie des nouveaux agrégés qui ont un bon potentiel pour bien enseigner, ce qui n'est pas le cas de tous les agrégés, nous avons des exemples.
    Maintenant, chacun fait comme il veut mais en principe c'est au questionneur de faire le travail de rédaction. 
     
  • Merci beaucoup pour vos compliments !!!
    Merci beaucoup bd2017, ça me touche que tu trouves que j'ai un bon niveau, je vais continuer à enseigner en collège et à l'université à côté, je dois donc maintenir ce niveau, surtout en algèbre ! En effet, contre toute attente, j'ai de nouveau été embauché pour enseigner une UE d'algèbre très théorique qui a l'air passionnante (théorie des groupes, algèbre bilinéaire, réduction des endomorphismes) en L2 au deuxième semestre ! :)  <3
    P.S : c'est bien "il" me concernant ! ^^'
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @NicoLeProf
    Ne néglige pas l'analyse comme certains profs connus qui font des vidéos sur youtube s'il te plaît :(
     De toute façon, je vais bientôt passer à l'analyse, il me reste un chapitre de théorie des groupes sur le produit semi-direct, après je passerai à de l'analyse de sup, familles sommables. En algèbre j'ai commencé à accumuler des connaissances, mais il faut aussi que je fasse un peu d'analyse.
  • NicoLeProf
    Modifié (December 2023)
    Oh non ! ^^'
    L'avantage d'avoir eu le concours aussi est le fait que je puisse travailler uniquement ce qui me plaît maintenant donc de l'algèbre en grande partie (après, je ne suis pas non plus réfractaire à un peu d'analyse et ça dépend quelles notions en analyse: la topologie m'intéresse toujours même si c'est ardu ! ) ^^'
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • gebrane
    Modifié (6 Jan)

    Bonjour le violoniste, je vais tenter de te  répondre (je suis très occupé en cette période). 

    Il est bien ressenti l'effort d'Oshine de s'améliorer, mais il doit encore travailler davantage sur sa méthode d'apprentissage. Il apprend puis oublie si vite ce qu'on lui dit, parfois j'ai l'impression qu'il construit sur du sable. 

    Mais en ce qui te concerne le violoniste, plutôt que de te focaliser sur Oshine, tu aurais mieux à faire pour améliorer ton niveau, car il stagne depuis un moment. Dans ta liste tu as oublié le diabolique @raoul-s :smiley: qui t'a aidé souvent 

    En ce qui concerne Nico le prof, il est méthodique, avec un très bon niveau et sympathique en plus 

    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • NicoLeProf
    Modifié (7 Jan)
    Merci beaucoup pour tes compliments gebrane, ça me touche !!! :blush: Toi aussi tu m'es toujours très sympathique, altruiste et je salue la pertinence de tes interventions souvent accompagnées d'un humour très appréciable !!! ;)<3
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • bd2017 a dit :
    @Oshine a  dit  $X^n$  annule $J.$  $J$  serait une matrice nilpotente...
    Si la première colonne était composée que de 0, alors ce serait nilpotent. Or , ce n'est pas le cas ici.
  • kenshiro0
    Modifié (9 Feb)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    C'est bien la topologie, mange-en 😀
  • OShine a dit :
    Je ne rattraperai jamais ceux que tu as cité, ils ont trop d'avance  :D 
    Dans la vie, il faut accepter qu'il y a des gens qui sont plus forts que soi. Et ça ne me dérange pas.
    Indeed , m'y friend. Tu crois que Bruce Lee ou Jackie Chan sont devenus spécialistes en arts martiaux du jour au lendemain ?Non. Alors cherche par toi même, essaie, et si tu ne trouves pas,  on t'aidera. Amen. 
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