Calendrier de L’Avent II
Réponses
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Il faut réinterpréter les questions à cause de la contrainte d’absence d’une certaine lettre
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Justement, on peut interpréter comme on veut !
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@jandri : Désolé, je n'ai pas écrit un énoncé classique pour compléter, car je pensais qu'il était clair que $P$ et $A$ étaient arbitraires.Il s'agit bien de montrer que pour tout polynôme $P\in\C[X]$ non constant et toute partie finie $A$ de $\C$, on a $$\textrm{Card}(P^{-1}(A))\geq \big(\textrm{Card}(A)-1\big) \deg(P) + 1.$$Pour ce calendrier, la non utilisation de la lettre "e" m'a mis beaucoup en difficulté. Bravo à ceux qui ont réussi à avoir de belles formulations et des exercices clairs avec cette contrainte.
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Jour 19
Par toi, qui suis L1 ou L2, laissant choir ton bouquin abstrus, connaîtrons-nous un $r$ positif mais non nul, si maigrichon, si amoindri, si riquiqui, si rabougri soit-il, satisfaisant à
$\forall z\in {\rm D}(0\,;\,r),\,\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{n-1}}{n!}(z{\rm e}^{-z})^n=z$ ?
Si tu n'y vois qu'un galimatias obscur, un gloubiboulga confus (sic dixit Casimir), au soir, tu auras la solution !Certains auront reconnu le théorème de réversion de Lagrange appliqué à la fonction $z\mapsto z\exp(-z)$. Or, justement, on demande de prouver qu'elle est vérifiée dans un voisinage épointé de $0$ en n'utilisant que des moyens de L1/L2 : calcul intégral d'une variable réelle, suites et séries, familles sommables et surtout pas la théorie des fonctions holomorphes.
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MrJ : (J18) : au lieu de pourrais-tu avoir ?, on pouvait écrire as-tu toujours ?
Pourvu que Quentino ne durcisse pas la contrainte l'an prochain (mais tu pourras organiser un Calandriait dissidant) !
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@john_john : $r=h$, je suppose.
C'est moi ou la contrainte du "e" distrait et favorise l'apparition de coquilles, voire de sérieux problèmes de quantification ? -
En plus, il reste un e, difficilement remplaçable qui plus est
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@Namiswan On peut remplacer $e$ par $\alpha$ et rajouter où $\alpha=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac 1{m!}$.
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Magnéthorax : oui ! $r=h$ ; je corrige... Est-ce dans l'énoncé d'aujourd'hui qu'il y a des pb de quantification ? En tout cas, c'est bien $\forall z$ ici.
Effectivement, il reste un $\rm e$ ; on peut le remplacer par $\sum1/n!$ comme le propose Philippe ou par $u\in\R_+^*$ annulant $\ln X-1$.
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Pas de réponse au Jour 19 ? Tiens... cela ne m'avait pas semblé trop dur, pourtant (bon, bien sûr, beaucoup n'ont pas que cela à faire). Alors, voici :Le membre de gauche est $S=\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\big(\sum_{p\geqslant0} u_{n,\,p}\big)$, où $u_{n,\,p}=\displaystyle(-1)^p\frac{n^{n-1}}{n!\,p!}n^{p}z^{n+p}$ ; le thm de Fubini appliqué à $\sum_n(\sum_p|u_{n,\,p}|)$ montre la sommabilité de la famille lorsque $|z|{\rm e}^{|z|}<1/{\rm e}$, ce qui obtenu pour $|z|$ assez petit.Supposons cela vérifié et calculons $\sum u_{n,\,p}$ par paquets de la forme $p+n=N$ ; on obtient alors $S=\displaystyle\sum_{N=1}^{+\infty}(-1)^{N-1}\frac{z^N}{N!}v_N$, où $v_N=\displaystyle\sum_{n=1}^N(-1)^{n-1}{N\choose n}n^{N-1}$.Or, $v_1$ se calcule somme toute assez facilement et il reste à montrer que $v_N=0$ pour $N\geqslant2$ : cela se fait classiquement en considérant de deux façons le coefficient en $x^{N-1}$ dans le DL en $0$ de $({\rm e}^x-1)^N$.
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Désolé, je me rends compte que j'étais hors-sujet. Message supprimé.
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@Quentino37 : Je peux proposer un problème le 23 si la date est toujours libre.
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Jour 20
où nous craignons du brutal.
$M=\begin{pmatrix}1&a&1\\1&{\rm j}&b\\c&1&{\rm j}^2\end{pmatrix}\in{\mathfrak{M}}_3(\C)$, où $j=\displaystyle\frac{-1+{\rm i}\sqrt3}2$, voit un produit $M\times M\times\cdots\times M$ finir, fourbu, à $0$. Transcris-nous, ô toi, cador du forum, ta moisson d'$a,\,b,\,c$, pourquoi pas fonctions $P/Q$ d'un $z$ dans $\C$, uni à $\{\infty\}$ mais dont tu auras ravi au plus un amas fini. Mais, sais-tu, munis-toi d'un bon papyrus puis d'un stylo.Les matrices citées doivent être nilpotentes ; on en demande le paramétrage par des fonctions rationnelles de $z$ élément de $\C\cup\{\infty\}$ privé d'un ensemble fini (les pôles des fractions).
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A john john est-ce qu'il faut trouver a,b,c pour que M soit nilpotente ?
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J'ai le début avec les équations algébriques, mais je ne sais pas pour le moment, en déduire une paramétrisation (il existe peut-être une méthode générale que j'ignore).La matrice $M$ est nilpotente si et seulement si $\textrm{Tr}(M)=\textrm{Tr}(M^2)=\textrm{Tr}(M^3)=0$, ce qui fournit les équations $$a+b+c = 0\quad\text{et}\quad 2abc + (1+i\sqrt{3})a - 2b + (1-i\sqrt{3})c +4 = 0.$$
En éliminant $b$ de la seconde équation, on arrive à$$-2a^2c - 2ac^2 + (3+i\sqrt{3}) a + (3-i\sqrt{3})c + 4 = 0.$$ -
etanche : oui, caractériser les matrices nilpotentes de cette forme en les paramétrant par des fonctions rationnelles.
MrJ : je pense qu'il vaut mieux laisser le complexe $\rm j$ tel quel et tenter d'avoir des relations aussi symétriques que possible entre $a$, $b$ et $c$.
J'avais fabriqué des exos de khôlle en variant la place des coefficients inconnus (sur la diagonale, ou dans une même rangée : on peut voir cela avec $n$ quelconque, mais ici, $n=3$ dissuade d'aller plus loin
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NB : si j'ai remplacé $M^3=0$ par $M\times M\times\cdots\times M=0$, ce n'est pas pour introduire une difficulté bien inutile, mais c'est parce que j'ai déjà suffisamment utilisé la tournure (...) satisfaisant à (...) pour contourner les 'e'.
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Suite à la remarque de john_john, je réécris les équations en conservant $j$. On obtient que $M$ est nilpotente si et seulement si
$$a+b+c = 0 \quad\text{et}\quad abc + bj^2 + cj^2 + a j + b j + a + c + 2=0.$$La seconde équation se réécrit de manière plus sympathique (sous la première) : $$abc - a j^2 - c j - b + 2=0.$$ -
Je reprends les équations de @MrJ. En posant $b=u+v+w$, $a=u+jv+j^2w$, $c=u+j^2v+jw$, on obtient $u=0$, et $u^3+v^3+w^3-3uvw-3v+2=0$, donc $u=0$ et $v^3+w^3-3v+2=0$. Cela revient à paramétrer $v^3+w^3-3v+2=0$ où $(v,w) \in \C^2$, mais je ne sais pas faire.$v^3-3v+2=(v-1)(v^2+v-2)=(v-1)^2(v+2)$.
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marco : $v^3-3v+2=(v-1)^2(v+2)$ ; tu brûles...
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Soit $t=v-1$, alors $t^2(t+3)+w^3=0$. Si on pose $t=\lambda w$, alors $\lambda^2(\lambda w+3)+ w=0$
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Donc $w=\frac{-3 \lambda^2}{\lambda^3+1}$
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Donc $a=jv+j^2w$, $b=v+w$, $c=j^2v+jw$, avec $$w=\frac{-3 z^2}{z^3+1},\qquad\text{ et }\qquad v=1-\frac{3z^3}{z^3+1}$$
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$z \in (\C \cup \{\infty\}) \setminus \{-1,-j,-j^2\}$.
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Le cas où $z=\infty$ n'est pas sans intérêt !
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Pour $z=\infty$, on trouve $a=-2j$, $b=-2$, $c=-2j^2$. On vérifie que $a+b+c=0$ et $abc-j^2a-b-jc+2=-8+2+2+2+2=0$.
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Certes, mais, surtout, la matrice $M$ est de rang $1$, et c'est la seule parmi les matrices nilpotentes de cette famille. C'est évidemment un hasard, car on aurait aussi bien pu prendre $Z=(z-{\rm i})/(z+2023)$ comme paramètre.
Mais non ! Au temps pour moi : le $z$ de marco n'est pas le même que le mien ; c'est au contraire pour $z=0$ que marco obtient la matrice de rang $1$.
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A propos de hasard, en est-ce un que les $v$ et $w$ de marco soient de la forme $w(z) = -\frac{P'(z)}{P(z)}$ et $v(z) = 1- \frac{zP'(z)}{P(z)}$, où $P(z):= z^3+1$ ? J'ai essayé de comprendre pourquoi, pas encore trouvé. Bravo à Marco. Et john_john, ton intérêt pour les matrices nilpotentes commence à être suspect !
Après je bloque. -
Pour le jour 3, il me semble que la réponse est positive, en tout cas si la norme considérée est une norme euclidienne, dérivant d'un produit scalaire sur $F=R^d\,$ que je noterai $(.|.)\,$. Par ailleurs je poserai $E=R^n\,$, $G=Im(f)\,$, $H=G^{\perp}\,$ et noterai $p\,$ le projecteur orthogonal sur $H\,$.Dans ce cas, le $\min$ considéré vaut $\displaystyle \mu= \sum_{i=1}^d \min_{x\in E} ||y_i -f(x)||^2\,$.En posant $\displaystyle \mu_i = \min_{x\in E} ||y_i -f(x)||^2\,$, pour tout $i\,$ on a: $\mu_i = ||p(y_i)||^2\,$. Soit alors $(e_1,\ldots, e_k)\,$ une b.o.n de $H\,$. Pour tout $i\,$ il vient: $\displaystyle \mu_i= \sum_{j=1}^k (y_i | e_j)^2\,$.Complétons alors la famille $(e_1,\ldots, e_k)\,$ en une b.o.n $ (e_1, \ldots, e_d)\,$ de $F$. Soit $T$ l'endomorphisme orthogonal de $F$ qui envoie chaque $y_j$ sur $e_j$. Dans ce cas, $\displaystyle \sum_{j=1}^k (y_i | e_j)^2 \, = \,\sum_{j=1}^k (y_i | T(y_j)^2 \,$, de sorte que :$\displaystyle \mu= \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^k (y_i | T(y_j)^2 \,=\, \sum_{j=1}^k \displaystyle ( \sum_{i=1}^d (T(y_j) | y_i)^2) \,=\, \sum_{j=1}^k||T(y_j)||^2 \,=\,k \,$ quantité indépendante de la b.o.n $(y_i)\,$ initialement choisie.PS. Comment fait-on pour "cacher"un texte ? Y a-t-il des balises particulières ?[6ème bouton à partir de la gauche, puis Révéler. AD]
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Hello. Je n'ai malheureusement pas eu beaucoup de temps pour réfléchir aux problèmes posés jusqu'a present. Mais en tout cas voici le mien.
Jour 21
Trouver toutes les fonctions $f:\R\to\R$ continues telles que
$$\forall x\in\R, f\circ f(x)=xf(x).$$
(j'aime bien les équations fonctionnelles, j'en poserai probablement une chaque année tant que le principe de ce calendrier demeure) -
Comme j'avais, à tout hasard, tapé un corrigé du Jour 20, je le dévoile ci-dessous ; il est essentiellement identique à celui de marco, à la seule différence près que marco écrit $a,b,c$ en fonction de paramètres auxiliaires $v,w$ alors que j'ai fait l'inverse. Mais les correspondances sont bijectives et cela ne change donc rien.La matrice $M$ est nilpotente si, et seulement si, $(1)\ a+b+c=0$ et $(2)\ {\rm j}^2a+b+{\rm j} c=abc+2$ ; posons $u=abc+2$ et $v={\rm j} a+b+{\rm j}^2c$. On obtient alors\[\displaystyle a=\frac{{\rm j} u+{\rm j}^2v}3,\,\quad b=\frac{u+v}3,\,\quad c=\frac{{\rm j}^2u+{\rm j} v}3\]En reportant dans $(2)$, on a la CN $u^3+v^3=27u-54$ ; ici, se produit un miracle : cette cubique admet le point singulier $(3,\,0)$ et est donc param\'etrable rationnellement : en posant $v=z(u-3)$, on obtient alors $\displaystyle u=3-\frac9{1+z^3}$ et $v=\displaystyle-\frac{9z}{1+z^3}$ pour $z\in\C\cup\{\infty\}$, mais $z\not\in\{-1,\,-{\rm j},\,-{\rm j}^2\}$.On vérifie enfin que ces solutions conviennent toutes. À noter que, pour $z=\infty$, et seulement pour cette valeur, on obtient $u=3$ et $v=0$, c'est-à-dire $a={\rm j},\,b=1$ et $c={\rm j}^2$ (la matrice $M$ correspondante est même déjà de carré nul).
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i.zitoussi :
seul un spécialiste comme GaBuZomeu pourrait nous dire si la dérivée logarithmique que tu as remarquée est prévisible ou non ! Avec mon paramétrage, elle n'apparaît pas : y avait-il donc un paramétrage canonique lié au problème ? À mon (humble) avis, l'existence d'un paramétrage est déjà miraculeuse.
Et, john_john, ton intérêt pour les matrices nilpotentes commence à être suspect ! Pour l'instant, la nilpotentophilie est une opinion, mais pas encore un crime
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@ Namiswan aurais-tu un fichier d'exercices pdf sur équations fonctionnelles ?merci
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Pour le jour 21, je n'ai pas fini, mais j'ai trouvé quelques conditions sur $f$.1) La fonction nulle est solution. On suppose $f\neq 0$ dans la suite.2) On remarque que $f(f(0))=0$ et $f(0) = f(f(f(0))) = f(0) \times f(f(0)) = 0$, donc l'ouvert $U = f^{-1}(\R^\ast)$ est strictement inclus dans $\R$.3) On montre avec la définition que $f$ est injective sur l'ouvert $U$. On en déduit, sauf erreur de ma part, que $f$ est monotone (car elle est continue).4) Comme $f$ est monotone, elle admet une limite en $+\infty$. Si cette limite est un réel non nul, on obtient une contradiction avec la relation fonctionnelle. De même, si $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty}$, on obtient avec la relation fonctionnelle que $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty}$, ce qui n'est pas compatible avec la monotonie de $f$. On conclut que $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty} f(x)\in \{0,+\infty\}}$. En raisonnant de la même manière, on en déduit que $\displaystyle{\lim_{x\to-\infty} f(x)\in \{0,+\infty\}}$.5) En résumé, on a prouvé que : soit il existe un réel $a\geq 0$ tel que soit $f$ est nulle sur $]-\infty, a]$ et $f$ est strictement croissante sur $[a,+\infty[$ ; soit il existe un réel $a\leq 0$ tel que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty, a]$ et $f$ est nulle sur $[a,+\infty[$.NB : On peut remarquer que la fonction définie par $f(x) = 0$ si $x\leq 0$ et $f(x) = x^\varphi$ si $x\geq 0$ où $\varphi^2 = \varphi +1$ est solution du problème.
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Pas vraiment. Quand je tombe sur une jolie, je tente de la résoudre, ou bien j'en invente une au hasard et j'essaie de voir si c'est faisable (par ex celle ci dessus), mais la seule archive que j'ai de tout ça est ma mémoire (limitée).
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Bonjour
- $f(f(1))=f(1)$
- $f(xf(x))=f(f(f(x)))=f(x).f(f(x))=f(x)xf(x)=xf^2(x)$
- Donc f(0)=0
- Et $f(1)=f(f(1))=f^2(1)$, ce qui veut dire que f(1) vaut 0 ou 1.
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Salut
une modeste contribution au jour 21 ...$f \circ f (0) = 0$ et en composant par f à nouveau on en déduit que $ f(0) = 0 $to be continued ...
$f \circ f (1) = 1$ et en composant par f à nouveau on en déduit que $ f(1) \in \{0, 1 \}$
on suppose f non identiquement nulle et pour tout x non nul avec les conditions adéquates !!
$ f \circ f(x) = x f(x)$ et $ f \circ f \left( \dfrac 1 x \right) = \dfrac 1 x f \left( \dfrac 1 x \right)$
donc en multipliant membre à membre et division par ... on en déduit que $ \dfrac { f\circ f (x)}{f(x)} = \dfrac {f\big( \tfrac 1 x \big) }{f \circ f \big( \tfrac 1 x \big) } $
Donc en posant $ g = \dfrac {f \circ f} f $ alors on obtient que $ g(x) g \left( \dfrac 1 x \right) = 1 $
Les (ou des ?) solutions de cette équation fonctionnelle sont les fonctions $h_n : x \mapsto kx^n$ avec $ k \in \{-1, 1 \} $ et donc $ f \circ f = f \times h_n $Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Bonjour, ma réponse au Jour 21Je note $f(f(x))=f^2(x), f^3(x)=f(f^2(x))=f^2(f(x))...$
on a $ \forall x, f^2(x)=x f(x)$ (1)
Posons $f(0)=a$. Donc $ f^2(0)=f(a) $ mais d'après (1) : $f^2(0)=0\times f(0) =0.$
Maintenant, d'après (1): $\forall x, f^3(x)= f(f^2(x))= f^2 (x) f(f^2(x))=f^2(x) f^3(x).$ (2)
On en déduit que si $ f^3(x) \neq 0$ on a $f^2(x)=1$ mais toujours d'après (1) on a $f(x)=1/x$
Soit $E=\{ x: f(x) =\dfrac{1}{x}\}$
$\forall x\in E, f(f(x))=x f(x)=x \dfrac{1}{x}=1$ et alors $f^3(x)=f(1).$
Finalement la fonction $f^3$ ne prend que deux valeurs $0$ ou $f(1).$
Mais comme $f^3$ est continue et qu'on sait que $f^3(0)=0$ on en déduit que
$$\forall x, f^3(x)=0$$
Pour finir, supposons qu'il existe $x$ tel que $f(x)=b\neq 0. $
Il vient : $f(b)=f(f(x)) = x f(x)= x b.$ Mais $0=f^3(x)=f^2(f(x))= f^2(b)=b f(b)=0.$ Donc
$f(b)=0.$ Mais alors $x\times b =0. $ Donc $b=0.$
Conclusion $\forall x, f(x)=0.$ -
@Syntax_Error Tu as l'idée mais ta preuve et ton résultat sont faux car $\mu_i = \|y_i - p(y_i)\|^2 \neq \|p(y_i)\|^2$. La preuve de john_john donne une version juste de ta preuve. Et effectivement, c'était sous-entendu dans l'énoncé que $\|\cdot\|$ est la norme usuelle sur $\mathbb{R}^d$.Edit. Ah non, j'avais mal lu. $p$ est le projecteur orthogonal parallèlement à $Im(f)$ (et non dans $Im(f)$) donc ça marche.
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@PetitLutinMalicieux Ok c'est un début.
@zygomathique Ok pour début mais il est faux de dire que $g(x)g(1/x)=1$ implique $g(x)=kx^n$
@bd2017 Tu as un problème dans ton calcul de $f^3(x)$, ça ne marche pas. -
@Naminsman Je veux bien te croire mais alors précise à quel endroit il y a une erreur car je ne la vois pas.
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L'égalité $f(f^2(x))=f^2(x)f(f^2(x))$ est fausse.
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Ha oui!!! D'accord .
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@Namiswan : c'est pour cela que j'ai complété en (des ?)
d'ailleurs pourrait on m'exhiber d'autres fonctions solutions voire les solutions de cette équation car je suis curieux de savoir quelles sont-elles !!
Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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$f$ a au plus une valeur d'adhérence parmi $0, -\infty, + \infty$ en lorsque $x$ tend vers $+ \infty $ et $x$ tend vers $-\infty$.Sinon il existe $x_n$ tendant vers $+\infty$ ou $-\infty$ tel que $f(x_n)$ tend vers $a \neq 0$. Donc $f\circ f(x_n)=x_nf(x_n)$ implique $f(a)=+\infty$ ou $f(a)=- \infty$ (car $f$ est continue).Si $f(- \infty)=-\infty$ alors $f(f(- \infty))=-\infty$ mais aussi $(- \infty) \times (-\infty)$. Contradiction.Si $f(+ \infty)=- \infty$, alors $f(f(+ \infty))=f(-\infty)=0$ ou $+ \infty$.Mais c'est aussi $(+ \infty) \times f(+ \infty)=(+ \infty) \times (-\infty)$. Donc contradiction.Si $f(- \infty)=+ \infty$, et $f(+ \infty)=0$, alors $f(f(- \infty))=0$ mais c'est aussi $(- \infty) \times f(- \infty)= - \infty$. Contradiction.Si $f(- \infty))=+ \infty$ et $f(+ \infty)=+ \infty$, alors il existe $x \neq y$ tel que $f(x)=f(y)>0$, donc $f(f(x))=f(f(y)$, donc $x(f)=yf(y)$, donc $x=y$. Contradiction.Donc $f(- \infty)=0$.$f(f(0))=0f(0)=0$.Donc sur $]- \infty,f(0)]$, on a $f$ identiquement nulle. (de même que ci dessus avec $x\neq y$ tel que $f(x)=f(y)\neq 0$.$f(f(f(0))=f(0)f(f(0)=0$, donc $f(0)=0$. Donc $f$ identiquement nulle sur $\R^-$.Si $x>0$ et $f(x)<0$, alors $f(f(x))=0$, donc $xf(x)=0$, donc $f(x)=0$, contradiction.Donc $f$ est positive ou nulle sur $\R^+$.Si $f(x)>0$ et $x>0$, avec $x \neq 1$, alors il existe $r\in \R$ tel que $f(x)=x^r$.Soit $r_0=1$ et $r_1=r$, et $r_n=r_{n-1}+r_{n-2}$ pour $n \in \Z$.Alors $f^{(n)}(x)=x^{r_n}$ pour $n \in \Z$Soit $a,b$ tel que $a+b=1=r_0$ et $a \phi -b/\phi=r_1=r$.Alors $r_n=a(\phi)^n+b(-1/ \phi)^n$Supposons $b \neq 0$.Donc comme $1/ \phi<1$, $r_{-2n}$ ou $r_{-2n+1}$ tend vers $+ \infty$, l'autre vers $- \infty$.Donc $f^{(-2n)}(x)$ ou $f^{(-2n+1)}(x)$ tend vers $+ \infty$. Selon que $x<1$ ou $x>1$.Or pour $x>0$ il existe $t>0$ tel que $0<x<t$ et $f^{-1}(]0,t]) \subset ]0,t]$.Donc $f^{(-n)}(x)$ est borné. Contradiction.Donc $f(x)=x^{\phi}$ pour $x>0$. Ou $f(x)=0$.
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On peut toujours rechercher pour $x>0$ $f$ de la forme f(x)=x^{\Phi}h(x) et alors f(f(x))=f(x)^{\Phi}h(f(x))=x^{\Phi+1}h\left(f(x)\right).
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$f^{(-n)}(x)$ est bornée lorsque $n$ décrit $\N$. Donc $b=0$. Et $a+b=1$ implique $a=1$. Donc $r= a\phi-b/ \phi=\phi$.Donc $f(x)=x^{\phi}$.
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J'ai oublié de dire que $f(+ \infty)=0$ est impossible (sauf si $f$ identiquement nul). Sinon, comme $f(0)=0$, on a deux $x \neq y>0$ tel que $f(x)=f(y)\neq 0$, et donc $xf(x)=yf(y)$et $x=y$. Contradiction.Donc $f(+ \infty)=+ \infty$ et il existe $y=f^{(-1)}(x)$ pour tout $x>0$. Donc $f(f(y))=f(x)$ et $f(f(y))=yf(y)=yx$.Donc $y=f(x)/x$ est unique.
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