Idéal dans R[X,Y]

un_kiwi
Modifié (December 2023) dans Algèbre
Bonjour
Je ne suis pas sûr si ce que j'ai fait est correct. Je considère un anneau $A:={\R}[X,Y]$ et un idéal $I:=(Y-X^2)$. Le but dans un premier [temps] est de déterminer si $I$ est premier ou non, voici ce que j'ai fait.
Déjà je veux utiliser le fait que $I$ est premier si, et seulement si le polynôme $P:=Y-X^2$ est irréductible dans $A$. Pour cela, posons $P=QR$, avec $Q,R\in A$ et raisonnons sur le degré de $P\in ({\R}[X])[Y]$ vu comme un polynôme d'indéterminée $Y$ à coefficients dans ${\R}[X]$. Puisque ${\R}$ est intègre, ${\R}[X]$ l'est également donc $A$ aussi et ainsi, on a $$\deg_Y(Q) +\deg_Y(R)=1.$$
$\deg_Y(Q),\deg_Y(R)\in {\N}$ donc on en déduit que nécessairement ou bien $Q\ne 0$ est constant suivant l'indéterminée $Y$ et $\deg_Y(R)=1$, ou bien l'inverse. Supposons sans perte de généralité que $Q$ soit constant et $\deg_Y(R)=1$ ; alors $Q\in {\R}[X]$ et $R=CY+D$, où $C,D\in {\R}[X]$ avec $C\ne 0$. Par suite $ QR= CQY+DQ$, c'est-à-dire que $CQY+DQ=Y-X^2$. Or si ces deux polynômes de $({\R}[X])[Y]$ sont égaux alors on a $CQ=1$ dans ${\R}[X]$. Par suite $Q\in {\R}[X]^\times$ donc $Q\in {\R}^\times $ et ainsi $P$ est bien irréductible dans $A$.
Ai-je bon ?

Réponses

  • Bonjour,
    Pourquoi ne pas simplement utiliser le fait que $\R[X,Y]/(Y-X^2)\simeq \R[X]$ ? (et donc l'idéal est premier puisque le quotient est intègre).
  • Trop fort ! Je n'y avais pas pensé mais c'est grâce au morphisme d'anneau (à justifier d'ailleurs) $ f : A\to {\bf R}[X]$ qui, à tout polynôme $Q\in A$ associe $Q(X,X^2)$ (c'est une sorte d'évaluation en $Y$ par rapport à $X$). Par contre comment justifier que le noyau de $f$ est bien l'idéal voulu ? A priori l'image de $f$ est ${\bf R}[X,X^2]$, mais doit-on justifier que cela est bien égal à ${\bf R}[X] $ ? Cela me paraît assez clair.
  • Au passage puisque $A$ est isomorphe à ${\bf R}[X]$, qui n'est pas un corps, on en déduit que $I$ n'est pas maximal. La question que je me pose, c'est quel peut bien être un idéal $J$ tel que $I\subsetneq J\subsetneq A$ ?
  • Au hasard, $(Y-X^2, X)$. :)
  • Oui, dans ma tête j'avais pris $J$ principal...
  • Poirot
    Modifié (December 2023)
    Le fait que $\mathbb R[X, X^2] = \mathbb R[X]$ est clair par double inclusion si tu veux vraiment l'écrire.
    Quant au noyau de ton $f$, tu peux faire une division euclidienne dans $\mathbb R(X)[Y]$ pour obtenir le résultat.
  • En vrai je ne tiens pas vraiment à l'écrire, c'était seulement pour être d'accord sur le fait que c'était clair. 

    Quelle division euclidienne effectuer ? Un polynôme $Q$ dans le noyau par $Y-X^2$ ? J'ai du mal à voir comment l'écrire...
  • En fait, tu peux directement faire une division euclidienne dans $\mathbb R[X][Y]$ puisque le coefficient dominant de $Y-X^2$ est inversible.
  • Ok donc on pose $Q=(Y-X^2)R+S$, avec $R,S\in {\bf R}[X,Y]$ et $\deg_Y(S)<1$. Si $Q$ est dans le noyau de $f$ alors $S$ est nul donc le noyau est bien inclus dans l'idéal. La réciproque étant facile on a bien l'égalité voulue. Merci !
  • $X^2$ n'a rien de spécial dans l'histoire, il peut être remplacé par n'importe quel polynôme $P(X)$ : le noyau de l'homomorphisme surjectif $\R[X,Y]\to \R[X]$ donné par $Q\mapsto Q(X,P(X))$ est toujours $(Y-P(X))$.
  • J'en prends note, merci pour cette généralité !

    Est-ce que mon raisonnement pour démontrer l' irréductibilité de $Y-X^2$ marchait sinon ? Est-ce qu'en général on raisonneme plutôt en termes d'anneaux quotient comme vous me l'avez proposé ? 
  • Une remarque à bas coût : si $Q(X,Y)=\sum_{k=0}^da_k(X)Y^k$, alors \[Q(X,Y)-Q(X,P(X))=(Y-P(X))\sum_{k=1}^da_k(X)\sum_{j=0}^{k-1}X^{k-j-1}Y^j.\] C'est, me semble-t-il, la division euclidienne évoquée par @Poirot et le point clé de la démonstration de la propriété énoncée par @GaBuZoMeu.

  • Si $A$ est n'importe quel anneau commutatif $a\in A$ et $Q\in A[Y]$, alors il existe un unique $R\in A[Y]$ tel que  $Q= (Y-a)R+Q(a)$.
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