Partie entière - lien avec $\pi(x)$

DZE
DZE
Modifié (December 2023) dans Arithmétique
Bonjour à tous,
je cherche des infos sur les fonctions suivantes :

 $ x - \sum_i \lfloor \frac{x}{p_i} \rfloor*2^i +  \sum_{i_1<i_2} \lfloor \frac{x}{p_{i_1}*p_{i_2}} \rfloor*2^{i_2}  -  \sum_{i_1<i_2<i_3} \lfloor \frac{x}{p_{i_1}*p_{i_2}*p_{i_3}} \rfloor*2^{i_3}  + ... $
ou
$ x - \sum_i \lfloor \frac{x}{p_i} \rfloor*2 +  \sum_{i_1<i_2} \lfloor \frac{x}{p_{i_1}*p_{i_2}} \rfloor*2^2  -  \sum_{i_1<i_2<i_3} \lfloor \frac{x}{p_{i_1}*p_{i_2}*p_{i_3}} \rfloor*2^3 + ... $
Où $\lfloor x \rfloor$ représente la fonction Partie entière de $x$ et les $p_i$ font référence aux nombres premiers.

J'ai cherché beaucoup de sujets de CAPES ou d'oraux des concours d'écoles d'ingénieurs, mais je n'ai rien trouvé.
Je suppose qu'elles ont déjà été étudiées vu qu'elles sont proches de $\pi(x)$. si elles ont des noms précis, pourriez-vous me les indiquer ? Je creuserai le sujet ensuite.
Je vous en remercie par avance.
DZE

Réponses

  • noix de totos
    Modifié (December 2023)
    Soyons précis.

    Tes identités font référence au principe d'inclusion-exclusion : s'il n y avait pas ces puissances de $2$, elles donne(raie)nt une fonction proche de $\pi(x)$. Plus précisément, soit $r \geqslant 2$ entier et on a l'habitude de noter $\pi(x,r)$ le nombre d'entiers $n \leqslant x$ qui ne sont divisibles par aucun nombre premier $p \leqslant r$. Le principe d'inclusion-exclusion donne alors
    $$\pi(x,r) = \lfloor x \rfloor - \sum_{p \leqslant r} \left \lfloor \frac{x}{p} \right \rfloor + \sum_{p_1 < p_2 \leqslant r} \left \lfloor \frac{x}{p_1 p_2} \right \rfloor - \sum_{p_1 < p_2 < p_3 \leqslant r} \left \lfloor \frac{x}{p_1 p_2 p_3} \right \rfloor + \dotsb$$
    En utilisant l'encadrement connu $t-1 < \lfloor t \rfloor \leqslant t$, on arrive à
    $$\pi(x,r) \leqslant x \prod_{p \leqslant r} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + 2^{\pi(r)} - 1$$
    et comme $\pi(x) \leqslant \pi(x,r) + r$, il vient
    $$\pi(x) \leqslant x \prod_{p \leqslant r} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + 2^{\pi(r)} + r - 1.$$
    La majoration $\log(1-x) \leqslant -x$ et une minoration de Mertens, revue par Rosser & Schœnfeld (1962), donnée par $\sum_{p \leqslant r} \frac{1}{p} > \log \log r$, fournissent alors
    $$\pi(x) < \frac{x}{\log r} + 2^r + r - 1.$$
    On choisit alors $r = 1 + \lfloor \log x \rfloor$, ce qui permet d'obtenir
    $$\pi(x) < \frac{4x}{\log \log x}$$
    pour tout $x \geqslant 7$. Ce n'est pas encore le TNP, ni les estimations de Tchebychev, mais ce principe d'inclusion-exclusion permet d'obtenir une preuve de la raréfaction des nombres premiers, i.e. $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\pi(x)}{x} = 0$.  
  • Merci beaucoup pour votre retour.
    je vais approfondir le sujet.

    DZE
  • Bonjour à tous,
       je reviens sur ce sujet.
    Est-ce que la puissance de 2 empêche l'application du principe d'inclusion-exclusion ?

    Je vous en remercie par avance.
    DZE
  • Bonjour à tous,

         je reviens sur la démonstration de Noix de Totos : Dès le début, sur la partie : 
    " En utilisant l'encadrement connu $t−1<⌊𝑡⌋⩽𝑡$, on arrive à     $\pi(x,r) \leqslant x \prod_{p \leqslant r} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + 2^{\pi(r)} - 1$ "

    sur la partie : "  $2^{\pi(r)} - 1$ ", j'aurai tendance à penser qu'avant cette étape, il y aurait quelque chose du genre : 
    $ \Sigma_{i=1}^{(\pi(r)-1)/2} \binom{\pi(r)}{2i+1} -1$   et comme $ \Sigma_{i=1}^{(\pi(r)-1)/2} \binom{\pi(r)}{2i+1} <  2^{\pi(r)} $ 
    vous passez cette étape rapidement car vous avez l'habitude, pour arriver à la première étape que vous indiquez. Est-ce exacte ?

    Je vous en remercie par avance.

    DZE
  • noix de totos
    Modifié (July 2024)
    Le terme d'erreur n'excède pas
    $$\sum_{k=1}^{\infty} \ \sum_{p_1 < p_2 < \dotsb < p_k \leqslant x} 1 = \sum_{k=1}^{\pi(x)} {\pi(x) \choose k} = 2^{\pi(x)}-1.$$
  • Merci pour votre retour,
    mais ce calcul est dans le cas où il y aurait un terme d'erreur pour tous les termes de l'équation initiale considérée mais il n'y a pas de termes d'erreurs pour les termes positifs, non ?
    Par exemple, d'où vient le terme ${\pi(x) \choose 2}$ pas de $\sum_{p_1 < p_2 \leqslant r} \left \lfloor \frac{x}{p_1 p_2} \right \rfloor$ car $ \sum_{p_1 < p_2 \leqslant r} \left \lfloor \frac{x}{p_1 p_2} \right \rfloor < \sum_{p_1 < p_2 \leqslant r} \frac{x}{p_1 p_2}  $
    et pas $ \sum_{p_1 < p_2 \leqslant r} \left \lfloor \frac{x}{p_1 p_2} \right \rfloor < \sum_{p_1 < p_2 \leqslant r} ( \frac{x}{p_1 p_2}  +1 )$
    Le $+1 $ n'est pas nécessaire, Si ?

    Cordialement,
    DZE
  • C'est une majoration, pas la valeur exacte, c'est plus simple à estimer.
  • okkii, Merci beaucoup
  • De rien !

    Désolé pour le délai de réponse, mais je ne viens plus que très rarement ici.
  • Pas de soucis, j'avais remarqué que vous veniez moins qu'avant :smile:  :( C'est sympa que vous répondiez.
    Est-ce que je peux poser une question perso ? Est-ce que vous êtes chercheur en arithmétique ?
    (vous avez le droit de ne pas répondre :smile::( )

  • Oui. 

    Plus précisément, mes domaines de recherche appartiennent à la théorie analytique des nombres, dont entre autres :
    (i) la théorie multiplicative (ordres moyens de fonctions multiplicatives, convolution de Dirichlet, sommation de Perron, etc) ;
    (ii) les sommes d'exponentielles (estimations de Van der Corput, Weyl, Vinogradov, paires d'exposants, plus rarement sommes d'exp. sur corps finis) ;
    (iii) les points entiers proches d'une courbe régulière (bornes de Sargos, Huxley, Filaseta, Trifonov, etc) ;
    (iv) Des propriétés arithmétiques de certaines matrices (Redheffer, etc).

    À noter : j'ai même publié UN article en théorie algébrique des nombres (sur une majoration explicite de $h_K \mathcal{R}_K$ via des outils analytiques), mais je n'en publierai probablement pas d'autres (!)
  • La chance :smile:
    Merci d'avoir répondu
  • Poirot
    Modifié (July 2024)
    Peut-on encore parler de théorie algébrique des nombres à propos de majorations explicites de quantités arithmétiques ? (Il faut n'y voir aucune critique)
  • Estimer le nombre de classes et/ou le régulateur d'un corps de nombres est un problème éminemment algébrique (classifications AMS = 11R27 et 11R29).

    Maintenant, quid des outils utilisés ?

    Avant l'avènement des travaux de Stark et Zimmert dans les années 1970-1978, issus eux-mêmes des idées de Hecke, il était habituel, dans les années 1945-1960, d'utiliser des outils de la géométrie des nombres pour obtenir ce genre de résultats. Ils ont été supplantés par les outils analytiques qui, comme à chaque fois, fournissent des résultats nettement supérieurs. Est-ce à dire que l'on quitte le domaine de la théorie algébrique pure (des corps globaux) ? Sans doute, mais il faut y voir l'aide de l'analyse pour résoudre des problèmes algébriques.

    À chacun de se faire son opinion ; sur ce sujet, on peut lire l'ouvrage suivant, toujours d'actualité quoiqu'un peu daté : https://www.amazon.fr/Analytic-Arithmetic-Algebraic-Number-Fields/dp/3540167846/ref=sr_1_fkmr0_1?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=37K8UN2531T9U&dib=eyJ2IjoiMSJ9.n1RYgXCcQIU5CyjfOt2_s8iDsNuEy0BEBUchpYAt43uipDjaCC80Luv_yYPHyFGYFaDz0eJu2rT-GyuQL
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