Suite et sous-suite

eoghan · December 2023

Bonjour
Je bloque sur un exercice.

Soit $(u_n)$ une suite réelle. Montrer que $(u_n)$ converge $\implies$ pour tout application strictement croissante $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, $\ |u_{\varphi(n)} - u_n| \rightarrow 0$. La réciproque est-elle vraie ?

Je bloque sur la réciproque. Je ne trouve pas de contre-exemple. J'ai donc essayé de montrer que $(u_n)$ est de Cauchy, sans succès.
J'ai le sentiment que la réciproque est fausse. Qu'en prenant une suite qui tend vers l'infini "très lentement", ça pourrait convenir. Mais je ne trouve pas de contre-exemple.

fredaulycee2 · December 2023

Salut, que donne $u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k}$ et $\varphi(n)=2n$ ?
Bonne soirée
F.

zygomathique · December 2023

Salut
pour toutes applications strictement croissantes $f$ et $g$ telles que $|u_{f(n)} - u_n| \to 0 $ et $ |u_{g(n)} - u_n | \to 0 $,
alors pour tout $n$, $\ |u_{f(n)} - u_{g(n)}| \le |u_{f(n)} - u_n | + |u_{g(n)} - u_n| \to 0$.
Cela ne permet-il pas de montrer que la suite $(u_n)$ est de Cauchy ?

PS : à formaliser avec des $ \epsilon$ et tout et tout ...

Médiat_Suprème · December 2023

Si c'est pour toute application croissante, alors $\varphi(n)$ peut prendre n'importe quelle valeur $>n$ et on doit pouvoir écrire Cauchy...

Dom · December 2023

Très bon exercice, surtout ta question zygomathique.

C’est bluffant… on y croit (enfin, moi, j’ai été tenté d’y croire…). Mais non. Quand on essaye de démontrer que c’est de Cauchy, on se heurte à un problème (notamment sur les quantificateurs) : ce doit être « pour tout $p, \, q$ à partir d’un certain rang que $u_p-u_q<\varepsilon$.

Mais comme ce sont des extractrices, on n’a pas forcément tous les $p, \, q$ qui marchent.
Bien entendu, l’exemple de fredaulycee2 plie le truc.

eoghan · December 2023

@zygomathique Non, je ne pense pas que ça marche. Dom a raison, on a un problème au niveau des quantificateurs.

Quand j'avais essayé de démontrer la proposition, j'avais considéré les extractrices $\varphi _p (n) = n+p$ pour $p \in \mathbb{N}^*$ fixé. J'étais arrivé à :$$ \forall p \in \mathbb{N} ^* ,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\quad |u_{n+p} - u_n| \leq \varepsilon $$Je n'ai pas trouvé moyen de faire mieux.

@fredaulycee2 $ H_{2n} - H_n \geq \dfrac12$ en particulier $H_{2n} - H_n$ ne tend pas vers $0$ et $(H_n)$ diverge. Par contre, contrairement à @Dom, je ne vois pas pourquoi ça "plie le truc".

raoul.S · December 2023

Tu as mal lu @Dom, zygomathique a raison c'est bien une suite de Cauchy. En effet dire que $(u_n)$ n'est pas de Cauchy implique qu'il existe $\varepsilon >0$ et deux extractrices $f$ et $g$ telles que $\forall n\in \N,|u_{f(n)} - u_{g(n)}|>\varepsilon$ ce qui contredit le message de zygomathique. Donc $(u_n)$ est de Cauchy.

Une autre façon de procéder : si $(u_n)$ possède une valeur d'adhérence alors $(u_n)$ converge vers cette valeur car $\ |u_{\varphi(n)} - u_n| \rightarrow 0$ pour toute extractrice $\varphi$ et c'est fini. Si $(u_n)$ ne possède aucune valeurs d'adhérence alors il est facile de construire une extractrice $\varphi$ telle que $\ |u_{\varphi(n)} - u_n|\geq 1$ ce qui est absurde.

fredaulycee2 · December 2023

Salut,
relisant le message initial il me semble finalement avoir répondu à côté de la question. Ce qu'on peut dire dans un premier temps c'est que si $(u_n)$ est bornée et vérifie la condition, alors elle converge. Si on cherche un contre-exemple, il faut donc regarder du côté des suites non bornées... après ça semble quand même moins évident que ça en à l'air ;-)

À suivre...
F.

JLT · December 2023

Si la suite n'est pas de Cauchy il existe $\epsilon>0$ tel que $\forall N,\;\exists p,q>N,\; |u_p-u_q|>2\epsilon$. On construit alors par récurrence une extractrice : si $\varphi(n)$ est construit on prend $N=\varphi(n)$ et on peut choisir $\varphi(n+1)\in\{p,q\}$ de sorte que $|u_{n+1}-u_{\varphi(n+1)}|>\epsilon$.

Dom · December 2023

Merci à vous. En ouvrant les yeux… c’est mieux. Qu’est-ce que je disais, bon exercice !!!

Désolé pour cette méprise.

eoghan · December 2023

Je vous remercie également. J'avais tort, la réciproque est vraie (la livre contient donc une coquille, l'auteur précise que la réciproque est fausse dans la correction).

Encore une fois, merci à vous tous.

fredaulycee2 · December 2023

Bonsoir JLT et bonsoir tout le monde,
dans ta construction si $\varphi(n)=N$, tu poses $\varphi(n+1)=p$ (ou $q$). Mais pourquoi $|u_{n+1}-u_{\varphi(n+1)}|>\epsilon$ ?
A+
F.

JLT · December 2023

Si ni $p$ ni $q$ ne conviennent alors...

Syntax_Error · December 2023

Soit donc $(u_n)$ une suite réelle vérifiant la propriété $(P)\,\,$ selon laquelle pour toute extraction $\phi$, la suite $ |u_n - u_{\phi(n)}|$ tend vers $0\,$.

Si la suite $(u)_n$ possède au moins une valeur d'adhérence (réelle), alors la condition indiquée implique bien la convergence de $(u_n)\,$. En effet, il existe alors un réel $\lambda\,\,$ et une extraction $\phi\,\,$ tels que $|u_{\phi(n)}-\lambda|$ tend vers $0\,$. Et dans de cas, l'inégalité $|u_n - \lambda| \leq |u_{\phi(n)}-\lambda| + |u_n - u_{\phi(n)}|\,$ montre que $(u_n)$ converge vers $\lambda\,\,$.

Donc, la réponse à la question relative à la convergence de $(u)_n$ est positive non seulement lorsqu'on sait a priori que $(u)_n$ est bornée, mais aussi lorsque on sait seulement que $(u)_n$ possède au moins une sous-suite bornée. Les autres cas restants sont ceux où $(u)_n$ tend vers $+\infty\,\,\,$, où $(u)_n$ tend vers $-\infty\,\,\,$, et où $+\infty\,\,\,$ et $-\infty\,\,\,$ sont exactement les valeurs d'adhérence de $(u_n)\,$.

Mais la propriété $(P)\,\,$ interdit le dernier cas... En fait, et plus généralement, la propriété $(P)\,\,$ interdit que la suite $(u_n)$ possède plus d'une valeur d'adhérence (réelle ou infinie).

Au bilan, si une suite réelle $(u_n)$ vérifie la propriété $(P)\,\,$, alors, ou bien elle converge vers une limite réelle, ou bien elle tend vers $+\infty \,\,\,$, ou bien elle tend vers $-\infty\,\,\,$.

À partir de là se pose un problème de terminologie : lorsqu'une suite réelle tend vers $+\infty\,\,\,$, considère-t-on qu'elle converge vers $+\infty\,\,\,$, ou qu'elle diverge vers $+\infty\,\,\,$ ?

Les 2 points de vue sont acceptables, mais le second me semble surtout là pour éviter d'embrouiller les esprits à qui on n'a jamais présenté de compactification de $\R\,\,$.

Si l'on adopte le point de vue "plus construit" selon lequel une suite qui "tend vers $+\infty\,\,\,$", converge vers $+\infty\,\,\,$, alors oui, $(P)\,\,$ entraîne la convergence (dans $ \R \cup \{+\infty, -\infty\}\,$).

Dans cette optique, on peut présenter la même démonstration de manière un peu plus fluide. Considérons en effet la suite $(v_n)$ définie par $v_n = f(u_n)$ avec $f=\frac{2}{\pi} \arctan$, de sorte que pour tout $n$ on a $v_n \in [-1\, , \,1]$.

Comme grâce au T.A.F $|f(x) - f(y)| \leq \frac{2}{\pi}|x-y|$, la suite $(v_n)$ vérifie aussi $(P)\,\,$, et donc ne peut posséder plus d'une valeur d'adhérence. Comme elle est bornée, on déduit de ce qui a été montré précédemment que $(v_n)$ converge dans $[-1,1]$, et donc ou bien $(v_n)$ converge vers un réel $a \in ]-1,1[$, ou bien $(v_n)$ converge vers $1\,$, ou bien $(v_n)$ converge vers $-1$.

Comme $f\,\,$ est bijective (strictement croissante) bicontinue de $\R\,\,$ sur $]-1,1[$, le premier cas entraîne que $(u_n)$ converge dans $\R\,\,$, le second cas correspond à celui où $(u_n)$ converge vers $+\infty\,\,\,$, le troisième, celui où $(u_n)$ converge $-\infty\,\,\,$.

Le problème est que le point de vue adopté ici ("tendre vers l'infini = converger vers l'infini") n'est pas consistant avec "la réciproque de la réciproque". En effet, il existe alors des suites réelles qui "convergent vers $+\infty\,\,\,$" sans pour autant vérifier la propriété $(P)\,\,$, et fredaulycee2 en fournit justement un exemple...

Pour l'auteur de l'exercice par conséquent, "tendre vers l'infini" ce n'est pas converger, et il me semble qu'il faut alors se tenir à ce point de vue.

Mais dans ce cas, considérons une suite $(u_n)$ qui tend vers $+\infty\,\,\,$. Sans restreindre la généralité (il suffit de remplacer la suite $(u_n)$ par la suite $(u_{n+N})\,$ avec un certain $N$ assez grand fixé), on peut supposer que les $u_n$ sont tous positifs. On définit alors par récurrence l'extraction $\phi\,\,$ en posant $\phi(0)=u_0\,$, puis, en supposant construits $\phi(k)\,$ pour $k=0 \dots n\,$ de sorte que $\phi\,\,$ soit strictement croissante entre $0\,\,$ et $n\,\,$, on prend pour $\phi(n+1)\,$ le premier naturel $k\,$ au moins égal à $1+ \phi(n)\,$ tel que $u_k \geq 2u_n\,$.

On a ainsi pour tout $n$, $ |u_n - u_{\phi(n)}| \geq u_n \,$. Il est alors impossible que $(u_n)$ vérifie la propriété $(P)\,\,$.

Par conséquent, en conservant le point de vue de l'auteur de l'exercice, on peut résumer ainsi les arguments précédents: Lorsqu'une suite réelle vérifie la propriété $(P)\,\,$, alors cette suite ne peut ni tendre vers $+\infty\,\,$, ni tendre vers $-\infty\,\,$. De ce fait, une telle suite admet au moins une sous-suite bornée. La propriété $(P)\,\,$ impose alors que la suite elle-même soit bornée et possède au plus une valeur d'adhérence, donc exactement une par B.W., et que de ce fait, cette suite converge, dans $\R\,\,\,$, vers un brave et bon réel.

JLapin · December 2023

Tu peux éditer ton message et faire des paragraphes stp ?

Syntax_Error · December 2023

Voilà, c'est fait.

fredaulycee2 · December 2023

Bonsoir à tous,
un détail m'échappe dans la démonstration de Syntax_error : par définition de $\phi$, on a $u_{\phi(n+1)} \geq 2u_n \Rightarrow u_{\phi(n+1)} -u_n\geq u_n$. Mais comment obtient-on $|u_{\phi(n)}-u_n| \geq u_n$ ?
Bonne soirée
F.

PS. Il est tard, la fatigue me joue peut-être des tours ;-)

Syntax_Error · December 2023

@fredaulycee2: La fatigue est susceptible de me jouer des tours à moi aussi, mais je pense que dans la définition par récurrence de l'extraction $\phi\,\,$ j'aurais dû écrire que, d'une part, on initialise avec $\phi(0) = 2 u_0\,\,$, et que, d'autre part, pour l'hérédité: "on prend pour $\phi(n+1)\,\,$ le premier entier $k\,\,$ au moins égal à $1+\phi(n)$ tel que $u_k \geq 2u_{n+1}\,\,$." On a alors pour tout naturel $n\,\,$: $u_{\phi(n)} -u_n \geq u_n$, et donc aussi $|u_{\phi(n)} -u_n| \geq u_n\,\,$ puisque on s'est au départ ramené, modulo un décalage suffisant mais fini de termes, au cas où la suite $(u_n)\,\,$ est positive. De toutes façon, comme $(u_n)\,\,$ est supposée dans cette partie de la démonstration tendre vers $+\infty\,\,\,$ l'inégalité $u_{\phi(n)} -u_n \geq u_n$ pour tout $n\,\,$ assez grand suffit à montrer que, toujours pour tout tout $n\,\,$ assez grand, on a $|u_{\phi(n)} -u_n| \geq u_n\,\,$.

fredaulycee2 · December 2023

Super, effectivement c'est plus clair pour moi comme ça. Merci de ta réponse et bonne journée !

zygomathique · December 2023

ça me semble compliqué ... enfin je n'ai pas tout lu en détail

tout d'abord remarquons qu'une extractrice f vérifie $f(n) \ge n $

soit $ \epsilon > 0$

il existe un entier N tel que pour tout entier p et q supérieur à N il existe un entier n supérieur à N (à biffer ou non ?) (donc inférieur à p et q) et il existe des extractrices f et g tels que $ u_p = f(u_n) $ et $ u_q = g(u_n) $ et $|f(u_n) - u_n | \le \dfrac \epsilon 2$ et $ |g(u_n) - u_n | \le \dfrac \epsilon 2 $

et alors pour tout entier p et q supérieur à N on en déduit $ |u_p - u_q| = |u_p - u_n + u_n - u_q | \le |f(u_n) - u_n| + |g(u_n) - u_n| \le \epsilon $

donc la suite $(u_n) $ est de Cauchy

ce me semble-t-il ...

(peut-être revoir la phrase "pour tout entier N ..." à réécrire un peu plus mieux bien ...

)

Syntax_Error · December 2023

@zygomathique. Dans ton message, tu mélanges allègrement les termes de la suites (qui sont des réels) avec les indices (qui sont des naturels). Les extractions $f\,\,$ et $g \, \,$ envoient l'ensemble $\N\,\,$ dans lui même donc écrire "$u_p = f(u_n)\,$" ou "$u_q = g(u_n)\,$" impose que les termes de la suite $(u_k)\,\,$ soient des naturels, ce qui n'est pas le cas.

Idem pour les termes du genre $|f(u_n) - u_n|$, il n'y a aucune raisons que ces termes soient petits, à moins qu'ils ne soient carrément nuls.

Je pense que tu as voulu écrire que pour tout $\epsilon >0$ il existe un $N\,\,$ tel que pour tout $p\,\,$ et $q\,\,$ supérieurs à $N\,\,$ il existe des extractions $f_p$ et $g_q$ et un certain $n$ tels que $u_p= u_{f_p(n)} \,\,$ et $u_q= u_{g_q(n)} \,\,$, auquel cas on a bien sûr $ p\geq n\,\,$ et $q\geq n\,\,$.

Ensuite tu as besoin de dire que $|u_{f_p(n)}-u_n| \leq \epsilon\,\,$ Ceci n'est garanti que si $n$ est au moins égal à un certain $N_{f_p}\,\,$, inconnu avant que $f_p\,\,$ et $p\,\,$ ont été fixés (idem pour l'autre terme). En particulier, puisque tout ce qu'on sait à ce stade c'est que $p\,\,$ et $q\,\,$ sont supérieurs à $N\,\,$ (qui n'a rien à voir avec $N_{f_p}\,\,$), et que $n\,\,$ est inférieur à $p\,\,$ et $q\,\,$, rien n'assure que $n \geq N_{f_p}\,\,$.

Je suis d'accord que pour $p\,\,$ et $q\,\,$ naturels il existe des extractions $f_p$ et $g_q$ telles que que $u_p= u_{f_p(n)} \,\,$ et $u_q= u_{g_q(n)} \,\,$, (pour quel $n\,\,$ au fait ?), mais ensuite comment te débrouilles-tu pour t'assurer que $|u_{f_p(n)}-u_n| \leq \epsilon\,\,$ ?

zygomathique · December 2023

Merci @Syntax_Error pour avoir relevé mes confusions entre terme et rang, j'ai effectivement tout mélangé ...
ou plutôt j'aurais dû faire la distinction entre la fonction extractrice $f$ et la fonction $F$ associée $ F(u_n) = u_{f(n)} $ pour laquelle on a $F(u_n) \ge u_n $.
J'ai voulu (tenter de) proposer un raisonnement direct plutôt qu'un raisonnement par l'absurde ou par l'introduction d'une valeur d'adhérence comme tu le proposes plus haut.
il me semble que cela doit être raisonnablement faisable (pas trop long) mais en affinant tout de même ma production !!

En particulier considérer plusieurs rangs $N$ pour avoir les conditions adéquates puis prendre le max de ces pour assurer ma conclusion.
To be continued ...

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