Suite de Fibonacci

OShine
Modifié (January 2024) dans Algèbre
Bonjour,
J'ai trouvé cet exercice dans une fiche de préparation à l'agrégation interne, je ne dispose pas de corrigé.
J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct.
a) $A=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0 
\end{bmatrix}$
b) $\chi_A(X)=X^2-X-1$ et donc $\lambda_1= \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} < \lambda_2 =  \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
c) Je trouve comme vecteurs propres $v_1=( \lambda_1,1)$ et $v_2=(\lambda_2,1)$.
On a $A=PDP^{-1}$ avec $P=\begin{bmatrix}
\lambda_1 & \lambda_2 \\
1 & 1 
\end{bmatrix}$, $P^{-1}=\dfrac{1}{\lambda_1-\lambda_2} \begin{bmatrix}
1 & -\lambda_2 \\
-1 & \lambda_1
\end{bmatrix}$ et $D=\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{bmatrix}$.
Les coordonnées de $(F_1,F_0)$ dans la base de vecteurs propres est donnée la formule $X=PX'$ donc $\boxed{(F_1 ',F_0 ')=(\dfrac{1}{\lambda_1-\lambda_2},\dfrac{-1}{\lambda_1-\lambda_2})}$.
d) Il suffit de calculer $\boxed{A^n=\dfrac{1}{\lambda_1-\lambda_2} \begin{bmatrix}
\lambda_1  ^{n+1}-\lambda_2 ^{n+1} & -\lambda_2 \lambda_1 ^{n+1}+ \lambda_1 \lambda_2 ^{n+1} \\
\lambda_1  ^{n}-\lambda_2 ^{n} & -\lambda_2 \lambda_1 ^{n}+ \lambda_1 \lambda_2 ^{n} 
\end{bmatrix}}$ et de voir que $F_n= \dfrac{ \lambda_1 ^n - \lambda_2 ^n}{\lambda_1-\lambda_2} F_1$.
e) $\boxed{F_n \sim \dfrac{\lambda_2 ^n}{\lambda_2-\lambda_1}}$car $|\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}| <1$.

Réponses

  • salut

    il n'y a aucune difficulté et cet exercice pourrait (presque) être donné en math expertes (sous une autre version bien sûr)

    donc tu devrais savoir si ce que tu as fait est correct ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • OShine
    Modifié (December 2023)
    Ok merci je pense que je n'ai pas d'erreurs.
    C'est sûrement un exercice d'échauffement, les exercices suivants sont moins faciles.
  • Je me demande si ce n'est pas le début d'un vieux sujet de CAPES, ça me parle...
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Les nombres de Fibonacci (comme les nombres de Lucas) sont juste des combinaisons de $\varphi$ et $\varphi^{-1}$. Des gentils petits citoyens de $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$.
  • Ce sont surtout des citoyens de $\mathbb Z$, donc de tout corps de nombres...
  • Si tu veux dire que l'exercice n'est pas fini, et qu'il faut remplacer $\lambda_1$ et $\lambda_2$ par leurs valeurs, au moins au dénominateur, il faut être plus explicite. Là, OShine ne peut pas comprendre l'allusion.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • $\lambda_2 - \lambda_1 = \sqrt{5}$.

  • jean lismonde
    Modifié (January 2024)
    Bonjour OShine
    ton expression de $A^n$ est erronée
    (tu peux vérifier en faisant n = 1 puis n = 0 que tu n'obtiens pas les matrices A puis I)
    en fait $A^n = F(n)A + F(n-1).I$ avec $F(n)$ l'expression donnée à la ligne (d)
    Cordialement.
  • OShine
    Modifié (January 2024)
    Oui merci j'ai refait les calculs et trouvé 2 erreurs de signe dans la deuxième colonne de la matrice.
    Je viens de corriger et de calculer $A^1$ ça marche.
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