Les permutations appliquées au Rubik's cube

rubikpink
Modifié (December 2023) dans Algèbre

Bonjour,
je voudrais faire un sujet TIPE sur le Rubik’s cube et la théorie des groupes. On utilise les lettres u,d,r,l,f,b pour désigner respectivement la face de haut (up), la face de bas (down), la face de droite(right) , (left), (front), (back). On nomme les cubes coins par trois lettres par exemple : dlf désigne le cube se situant en bas à gauche dans la face de devant, et les cubes arêtes sont nommés par deux lettres par exemple : rb désigne le cube se situant à droite dans la face arrière. Chaque rotation d’une face d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre est nommé par une des lettres suivantes : U, D, R, L, F, B et chaque rotation est une permutation de 4 cubes coins et 4 cubes arêtes par exemple D est désigné par la composée des deux permutations suivantes D = (dlf dfr drb dbl)(df dr db dl) et R = (rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf).
Pour les rotations inverses : D = (dbl drb dfr dlf)(dl db dr df) et R = (rdf rbd rub rfu)(rf rd rb ru)

Le but est d’exprimer [D,R] qui est DRD’R’=(dlf dfr drb dbl)(df dr db dl)(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)(dbl drb dfr dlf)(dl db dr df)(rdf rbd rub rfu)(rf rd rb ru)
Dans un document j’ai cette expression [D,R]=(dlf dfr lfd frd fdl rdf)(drb bru bdr ubr rbd rub)(df dr br)
Je n’ai pas compris comment ils ont fait la composée des permutations pour aboutir à une telle expression, je vous remercie d’avance pour votre aide.

[Ernő Rubik  (1944-  ) mérite bien sa majuscule. AD]

Réponses

  • Tu peux modéliser le Rubik’s cube de plusieurs manières.
    Par exemple en ne regardant que les étiquettes et là, le mouvement D en déplace 20.
    Ou alors en regardant les positions des pièces (des permutations) et leur orientation (des $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ où n=2 ou 3).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • oui vous avez raison mais je n'ai pas compris la composée des permutations précédente
  • Bonjour les modérateurs,
    Je trouve fort dommage que Les-mathématiques.net ne mette pas en place la même politique que plusieurs sites voisins à savoir fermer une discussion absolument identique quant à la demande du posteur. Cela leur enlèverait définitivement l'envie de recommencer. 
  • LOU16
    Modifié (December 2023)
    Bonjour,
    $D$ et $R$ désignent respectivement les manipulations qui consistent à effectuer une rotation d'un quart de tour des faces $d$ et $r$ dans le sens horaire, lorsque l'on regarde le cube de l'extérieur.
    Ainsi, on observe: $\quad dlf \overset D \longrightarrow dfr \overset R \longrightarrow fur \overset{ D^{-1}} \longrightarrow fur  \overset { R^{-1} }\longrightarrow dfr, \:\:$ de sorte que $[D,R] $ envoie bien $dlf$ sur $dfr$ comme indiqué sur ton document.
    De même: $\:\:df \overset D \longrightarrow dr\overset R \longrightarrow fr\overset{ D^{-1}} \longrightarrow fr \overset {R^{-1}} \longrightarrow dr.\qquad df \overset {[D,R]} \longrightarrow dr.$

    $[D,R]$  opère une double-transposition sur les positions des "cubes-sommets" $(\{d,l,f\},\{d,f,r\})( \{d,r,b\},\{b,r,u\})$ et un $3-$cycle sur les "cubes- arêtes" $(df, dr, br)$.

    $[D,R]^2$ laisse fixes les positions de ces quatre "cubes-sommets" en modifiant leur orientation.
    $[D,R]^3$ opère une double-transposition sur les positions des "cubes-sommets" en laissant fixes tous les "cubes-arêtes".
    $[D,R]^6 = \text{Id}$  laisse invariant le cube.






  • Merci beaucoup LOU16 pour votre explication
  • Je pense que c’est un excellent sujet de TIPE bien que d’apparence classique. Tu peux dans un premier temps modéliser informatiquement les actions sur le cube. Étudier mathématiquement en termes de théorie des groupes ce à quoi cela correspond. C’est déjà un bon début. Ensuite tu peux t’intéresser d’un point de vue mathématiques aux algorithmes efficaces en deux étapes en les mettant en relation avec la théorie des groupes. Enfin tu peux montrer que ces algorithmes déterministes sont supérieurs aux algorithmes simples d’IA. Tout cela si tu arrives à dégager du temps disponible ce qui est difficile en tant que taupin.
  • Je vous remercie beaucoup philou22 
  • Math Coss
    Modifié (December 2023)
    J'avais ça dans mes marque-page mais ça ne conduit plus nulle part : https://mooc-francophone.com/cours/mooc-groupes-finis-les-mathematiques-du-rubiks-cube/.
  • rémi
    Modifié (December 2023)
    Quand je clique, ça me conduit quelque part. J'avais suivi en parti ce cours.
    Il est associé à un livre des auteurs du cours Viktoria HEU et Pierre GUILLOT que l'on trouve ici : https://www.thebookedition.com/fr/groupes-finis-p-137980.html
  • Eventuellement, commencer avec un cube $2 \times 2 \times 2$. Puis passer au $3$, mais j'ai dans l'idée qu'il y a vraiment beaucoup de combinaisons si bien qu'algorithmiquement, ils optent pour un "meet in the middle".
  • rubikpink
    Modifié (December 2023)
    Excusez-moi je croyais que le multipost signifie que je ne dois pas envoyer le même message plusieurs fois dans un même forum.
  • rubikpink
    Modifié (December 2023)
    Bonjour
    J'ai trouvé sur ce forum une discussion sur le " TIPE sur le Rubik's Cube " de quelqu'un nommé aviva de l'année 2004.
    Est-ce que je pourrais avoir ce pdf ?
    Merci d'avance
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