Question sur le processus de calcul des dérivées et des primitives des fonctions

L2M
L2M
Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonsoir.
Pourquoi est-il généralement plus facile de calculer la dérivée d'une fonction ordinaire que de trouver sa une de ses primitives ?
Comme exemple on prendra la fonction $f(x)=\frac{1}{x}\coth(x)$.

Réponses

  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    Déjà ce n'est pas "sa" primitive mais une primitive.
    Sur l'exemple, pour dériver, je n'ai pas besoin de réfléchir, mécaniquement j'applique la formule de dérivation d'un produit et d'un quotient pour $coth(x)$.
    Pour "calculer" une primitive, a priori je ne sais pas. Il falloir réfléchir, trouver une stratégie.
    Autre exemple $f(x)=e^{-x^2}$  il est plus facile de calculer sa dérivée. :)
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • lourrran
    Modifié (December 2023)
    Pour calculer une dérivée, il y a TOUJOURS une recette qui marche (je sais, certains vont me trouver des fonctions totalement exotiques comme contre-exemple). Il y a juste à dérouler une mécanique, pas besoin d'avoir de l'intuition, ou de l'imagination, juste connaître son cours, juste suivre les flèches.

    Voilà le bon parallèle. Tu es dans un labyrinthe, pour aller de l'entrée vers la sortie, à chaque intersection, il y a une flèche qui  te dit quelle voie choisir. 
    Grace à ces flèches, c'est très facile de trouver la sortie. C'est ce qui se passe quand tu dérives une fonction.

    Maintenant, reprends le même labyrinthe mais dans l'autre sens. Et débrouille toi. A chaque intersection, tu vois une flèche qui te rappelle d'où tu viens, mais rien d'autre.
    Tu es en train de rechercher une primitive.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Dériver relève du savoir-faire. Intégrer est un art. 
  • Il existe des formules pour exprimer la dérivée d'un produit ou d'une composée à partir des fonctions que l'on multiplie ou que l'on compose. En revanche, en général il est impossible d'exprimer le produit ou la composée de fonctions dont on connaît les primitives en termes de fonctions "usuelles". Ce n'est donc pas du tout symétrique. La faute à la relation de Leibniz, d'après laquelle la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ?
  • math2
    Modifié (December 2023)
    La classe des fonctions élémentaires reste stable par les opérations standard, contrairement à celle des primitives. 
    On peut toujours donner des noms à des primitives inconnues, voire qui ne s'expriment pas à l'aide des fonctions élémentaires (cf. erf), mais cela signifie-t-il qu'on les aura calculées ?
    C'est au passage peut-être un vrai débat, c'est ce que l'on fait avec la fonction logarithme népérien, et à partir du moment où elle était tabulée, on considérait que toute expression s'exprimant à l'aide de $\ln$ était "calculée".
    Voyant le lien entre primitives et intégrales, j'ai tendance à penser que sur le papier, la limite qui permet le calcul de la dérivée est bien plus simple que celui qui permet le calcul d'une intégrale indéfinie (par une somme de Riemann).
  • Foys
    Modifié (December 2023)
    Toutes les fonctions usuelles ont une dérivée explicite (définie parfois sur un sous-ensemble de définition de la fonction de départ, comme $x\mapsto |x|$; ici on s'intéresse aux aspects symboliques) et le calciul de dérivée d'une expression est un algorithme. En revanche, il existe des fonctions comme $x \mapsto \exp(-x^2)$ qui n'ont pas de primitive explicite (théorème de Liouville: chercher "corps différentiels" sur le net).
    De plus savoir si une fonction (définie avec une expression) donnée possède une primitive explicite (avec expression) est indécidable: c'est un cas particulier de https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson's_theorem .
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.