Cardinal d'un groupe

Bonsoir,
Je vais poser une question triviale. 

Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. Supposons $|H| \ne |G|$.
On a $|H|$ divise $|G|$.
Je ne comprends pas pourquoi $|H| \leq \dfrac{1}{2} |G|$. Je sais que c'est trivial mais je n'arrive pas à le montrer.

«1

Réponses

  • Peut-être qu'en t’apercevant que $|H| \leq \dfrac{1}{2} |G|$ est équivalent à $2|H| \leq |G|$ tu ouvriras les yeux...

    PS : je te rappelle que dire que $|H|$ divise $|G|$ signifie qu'il existe un entier $n$ tel que $n|H|=|G|$ au cas où.
  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    Soient $b$ et $a$ deux entiers (naturels pour faire simple), on dit que $b$ divise $a$, s'il existe $k$ entier naturel tel que $a=b k$.... Analyse, $k=0$, $k=1$, $k=2$ et $k=3$ pour commencer.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Il faut arrêter de penser à des groupes mais uniquement à des nombres entiers naturels.  La question devient alors triviale.
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    @OShine : tu sais que c'est trivial, tu cherches sans doute bien vaguement, tu "bloques", tu postes. Tu n'as aucune pudeur ? Fierté ?
  • salut

    tu peux aussi penser au morphisme de G : $ g \to g^{-1} $ et sa restriction à H ... (pour raisonner en terme de groupe)

    ou aussi penser que le plus petit (et premier)  entier non trivial (donc différent de 1) qui puisse éventuellement diviser Card (G) est 2 ... (pour raisonner en terme d'entier)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • JLapin
    Modifié (December 2023)
    $\newcommand{\card}{\mathrm{card\,}}$Comme $G$ est fini et $H$ est un sous-groupe de $G$, on peut partitionner $G$ en utilisant la relation d'équivalence $x\sim y$ ssi $xy^{-1}\in H$.
    Les classes d'équivalences partitionnent $G$ et sont de même cardinal $\card H$ donc si $H$ recouvre strictement plus de la moitié de $G$, c'est que $H$ est $G$ tout entier.
    Problème analogue :
    un nénuphar double de taille chaque jour. Il recouvre tout l'étang au bout de 10 jours.
    Au bout de combien de jours recouvre-t-il la moitié de l'étang.
  • Dans un produit il y a 2 facteurs. Tu t'intéresses à l'un, regarde aussi l'autre.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Bon merci j'ai compris.

    On a $|H|$ divise $|G|$ donc il existe $n \in \N$ tel que $|G| = n |H|$.
    Si $n=1$, alors $|G|= |H|$ ce qui est exclu.
    Donc $n \geq 2$. 
    Alors $|G| / |H| \geq 2$ donc $|H| / |G| \leq 1/2$ enfin $|H| \leq |G| / 2$.

  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    Donc pour démontrer qu'un diviseur de 30 autre que lui même est inférieur ou égal à 15.
    Tu fais :
    soit $a$ un diviseur de 30, il existe $n$ tel que $30=na$
    Si $n=1$ alors $30=30$ ce qui est exclu.
    Donc $n \geq 2$.
    Alors $30/a  \geq 2$ donc $a/30 \leq 1/2$ enfin $a \leq 30/2$
    Surtout n'enseigne jamais l'arithmétique, les élèves vont se pendre.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • @zeitnot : soyons raisonnable : pour une fois qu'on a une démonstration propre et exacte ... quoiqu'elle soit superfétatoire !!

    n'oublions pas que certains élèves de math expertes ont besoin du même développement aussi long pour comprendre qu'une partie d'un ensemble ne peut contenir plus de la moitié des éléments de l'ensemble si l'on veut que son double n'en contienne pas plus que l'ensemble lui-même !!

     ;) 

    voir les résultats PISA et le fil "enfin un signe positif" ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @zygomathique tu as raison !
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @zeitnot
    Autre méthode. Les lycéens comprendraient cette méthode ? 

    On a $30=2 \times 3 \times 5$.
    Les diviseurs de $30$ sont $1,2,3,5,6,10,15$. 
    Un diviseur autre que $30$ est inférieur ou égal à $30/2$.

    Plus généralement, soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Soit $n=p_1 ^{a_1} \cdots p_r ^{a_r}$ sa décomposition en facteurs premiers.
    Soit $d$ un diviseur de $n$ distinct de $n$. Il est sous la forme $d=p_1 ^{b_1} \cdots p_r ^{b_r}$ où $\forall i \in [|1,r|] \ 1 \leq b_i \leq a_i$.
    Il existe même un $j \in [|1,r|]$ tel que $1 \leq b_j < a_i$.
    On a $\dfrac{n}{d}= p_1 ^{a_1-b_1} \cdots  p_{j-1} ^{a_{j-1}-b_{j-1}}  p_j ^{a_j-b_j} \cdots  p_r ^{a_r-b_r}$
    Où $\forall i \in [|1,r|] \ p_i ^{a_i - b_i} \geq 1$.
    Donc : $\dfrac{n}{d} \geq  p_j ^{a_j-b_j} \geq p_j \geq 2$ car $a_j -b_j >0$.
    Enfin $\boxed{d \leq \dfrac{n}{2}}$.
  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    OShine  tu m'écris tout ça, pour prouver que si  $n/2<m<n$ alors $1<n/m<2$  ?
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Donc sans la décomposition en facteurs premiers, tu ne sais pas montrer que tout diviseur strict d'un nombre est plus grand que 2 ?  
  • Si, il l'a fait quelques messages plus haut.
  • @zeitnot
    Je n'ai pas compris ton dernier message.
  • @JLapin
    Donc quel est l'intérêt de cette preuve inutilement complexe ? 
  • JLapin
    Modifié (December 2023)
    Aucune idée ! Selon moi, aucun intérêt.
  • Zygomathique, l'application $g \mapsto g^{-1}$ de $G$ dans $G$ est un morphisme si et seulement si $G$ est abélien. Ce n'est pas un morphisme en général.
  • NicoLeProf
    Modifié (December 2023)

    Cela valait-il le coup d'ouvrir un fil de discussion juste pour ça??? :o
    Je suis tout de même très étonné...

    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • effectivement, merci @b.b  :)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @zeitnot
    Quel rapport entre ma question de départ et $n/2 < m< n \implies 1 < n/m < 2$ ? 

    @NicoLeProf
    Ca m'arrive d'avoir des blocages sur des choses évidentes.

    Peut-être plus rapide. 
    Soit $n \geq 2$.
    Soit $d \mid n$ avec $d \ne n$.
    Il existe un entier $p$ premier qui est dans la décomposition en facteurs premiers de $n$ mais pas de $d$. 
    Mais alors $n \geq p d$ soit $n / d  \geq p \geq 2$ donc $d \leq n/2$.
  • @OShine, ta question était de savoir pourquoi le cardinal d'un sous groupe était forcément inférieur à la moitié du cardinal d'un groupe. S'il n'est pas inférieur à la moité, qu'est-ce qui se passe ? Ça doit avoir un lien avec ma double inégalité.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • que de complications !!! et tant de lettres inutiles !!!

    il est évident que pour tout réel x : $ x = 1 \times x$ (évidence qu'il faut parfois/souvent rappeler) tout autant que l'évidente tautologie $ x = a \times \dfrac x a$ donc immédiatement si $a \ge 2$ alors ...

    (avec $a \ne 0$ bien sûr ...)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Sato
    Modifié (December 2023)
    Ce n’était pas une blague ?
    Prenons un sac de bonbons, des crocodiles Harrypo ça fera l’affaire et partageons-le à parts égales entre plusieurs amis. Il y a Thomas, Jerry et peut-être d’autres copains. Ça tombe juste. Considérons la part de Thomas. Il n’a pas plus de la moitié du total des bonbons de départ. Pourquoi ? Mais pourquoiiii ??

  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    @Sato, j'avais pensé à une explication avec les bonbons aussi.... J'ai renoncé, on n'est pas le premier avril.
    Et @zygomathique oui c'est évident, d'où mon premier message :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2456465/#Comment_2456465
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    Si on ne comprend pas pourquoi le diviseur d'un entier naturel non nul, autre que lui même est forcément inférieur ou égal à la moitié de ce dernier, il y a de quoi pleurer. On est à la limite de l'innumérisme.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • @OShine : bonsoir. Suite à ta première question, que se passe-t-il si $G$ est le groupe trivial ? Comment reformuler correctement ta question ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    Quand j'étais en début de ce1, on avait des exercices avec des objets dessinés sur une feuille et il fallait faire par exemple un maximum de paquets de 5 en entourant. Je ne connaissais alors par encore mes tables, ni la notion de diviseurs.... Au fur et à mesure que j'entourais, j'aimais bien voir avant les autres si on allait tomber juste avant la fin... Je pense que j'ai intuitivement toujours su que si j'avais des paquets de plus de la moitié des objets à faire, je ne ferai qu'un seul paquet et de manière évidente je ne tomberai pas juste.
    Si maintenant on a besoin de se tripoter avec la décomposition en facteurs premiers et écrire des lignes de Latex pour arriver à un résultat évident, il faut s'inquiéter.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • @OShine comment tu expliquerais ce résultat (juste la partie arithmétique) à des élèves de 6ème ou 5ème?
  • Soc
    Soc
    Modifié (December 2023)
    Plus on est de fous, moins y a de riz.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Plus on est de fous, au moins deux fois moins y a de riz.
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @Thierry Poma
    Si $G$ est trivial alors tout sous-groupe de $G$ est trivial donc $H=G$.

    @zygomathique
    Je ne comprends pas ce que tu fais.

    @zeitnot
    "ta question était de savoir pourquoi le cardinal d'un sous groupe était forcément inférieur à la moitié du cardinal d'un groupe. S'il n'est pas inférieur à la moité, qu'est-ce qui se passe ? Ça doit avoir un lien avec ma double inégalité."
    Aucune idée, je ne sais pas.

    @DeGeer
    Je ne vais pas expliquer ce résultat à un élève vu que je ne sais pas le faire moi-même.

  • Fin de partie
    Modifié (December 2023)
    @Oshine: Je crois que ce que certains veulent te dire est :
    Ce que tu demandes de prouver revient à montrer que si $H$ sous-groupe de $G$ qui n'est pas $G$ lui-même on a :$\ \dfrac{\left|G\right|}{\left|H\right|}\geq 2$
    $\dfrac{\left|G\right|}{\left|H\right|}$ est un entier naturel* non nul qui est strictement plus grand que $1$ (s'il était égal à $1$ on aurait $H=G$ ce qui est exclu par hypothèse) donc  cet entier est nécessairement plus grand ou égal à $2$.
    *: Le théorème de Lagrange affirme que $\left|H\right|$ divise $\left|G\right|$.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Fin de partie
    Modifié (December 2023)
    @OShine.
    Pour démontrer que, soit $n$ un entier naturel non nul, soit $d$ un diviseur distinct de $n$ alors $d\leq \dfrac{n}{2}$
    Démonstration.
    Cela revient à démontrer que $\dfrac{n}{d}\geq 2$
    C'est le même raisonnement que précédemment.
    $\dfrac{n}{d}$ est un entier naturel non nul ($d$ divise $n$) et il ne peut pas être égal à $1$ car autrement on aurait $d=n$ ce qui est exclu par hypothèse donc cet entier est bien supérieur ou égal à $2$.
    PS.
    Au cas où cela ne serait pas clair. Quand on sait qu'un entier naturel n'est pas $0$ ou $1$, il est à chercher dans la liste infinie $2,3,....$ dont le plus petit élément est $2$.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • zeitnot
    Modifié (December 2023)
    "Au cas où cela ne serait pas clair. Quand on sait qu'un entier naturel n'est pas 0 ou 1, il est à chercher dans la liste infinie 2,3,.... dont le plus petit élément est 2."
    @Fin_de_partie , c'est exactement ce que je voulais lui faire dire plus haut, c'était la deuxième réponse du fil :
    Soient b et a deux entiers (naturels pour faire simple), on dit que b divise a, s'il existe k entier naturel tel que a=bk.... Analyse, k=0, k=1, k=2 et k=3 pour commencer.
    Je ne sais pas si @OShine a ignoré mon message, mais il est ensuite parti très loin.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • OShine
    Modifié (December 2023)
    @Fin de partie
    Merci.

    @zeitnot
    En gros, quand on fait un partage soit on partage en $2$, soit en plus que $2$. 
  • zygomathique
    Modifié (December 2023)
    En gros, quand on fait un partage soit on partage en 2, soit en plus que 2
    Ce n'est pas tant de partager en plus que 2 c'est qu'en partageant en (au moins) 2 parties de même cardinal alors chaque/toute partie ne peut avoir plus de la moitié du total !!
    Quand on partage n en p parties de même cardinal alors toute partie ne peut avoir plus de n/p éléments !! (puisque p * n/p = n)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Ce n'est pas la première fois qu'OShine nous sort la grosse artillerie pour montrer un truc qui est trivial.
    Il est totalement incapable d'évaluer à quel moment il faut détailler une démonstration, et à quel moment on peut juste énoncer une évidence.  

    On a beau avoir l'habitude, ça reste une source d'étonnement à chaque nouvelle discussion.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • @zygomathique
    Ok merci c'est plus clair. 
  • Ok merci c'est plus clair. 
    De rien.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Fin de partie
    Modifié (December 2023)
    @Lourrran: Sortir la grosse artillerie on le voit couramment sur Math exchange, et, à mon humble avis, c'est plébiscité par les utilisateurs.
    La raison est assez simple à comprendre , la plupart des gens qui ont fait des études en mathématiques connaissent surtout des outils puissants qui peuvent servir à résoudre de multiples exercices et par un souci d'économie de la pensée c'est ces outils qui seront privilégiés et utilisés.
    Pour ce que je vois, si tu veux faire péter ton score sur Math exchange il vaut mieux utiliser de l'analyse complexe pour calculer une intégrale que, quand c'est possible, de bêtes changements de variable.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • raoul.S
    Modifié (December 2023)
    Allez chiale pas @Fin de partie, quand est-ce que tu nous sort ton PDF sur les trucs et astuces pour résoudre des intégrales avec des changements de variables ?

    PS: ensuite tu pourras le vendre à des petits bourgeois... :mrgreen:

    PS2 : peut-être que les gosses de Vassillia vont t'en acheter 🤣
  • bd2017
    Modifié (December 2023)
    Oh, la vache!  Je découvre le sujet. Gabriel, il y a du boulot !
     
  • Vassillia
    Modifié (December 2023)
    @raoul.S 
    Bonne idée, vous penserez à le dédidacer avec la démonstration de ce fil au cas où mes gosses ne comprennent pas que quand on découpe équitablement un gâteau entre plus de 2 convives, chaque convive va manger moins de la moitié du gâteau. C'est jouable à partir de 2 ou 3 ans, bon à cet âge là ils ne maîtrisent pas l'écriture mathématiques en latex mais ce n'est pas le plus important.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Le un est plus que moins d’un mais deux moins de moitié ne font pas un. Un un vaut mieux que deux tu l’as pas. En divisant pas plus de deux, on a moins de la moitié. Simplifions par deux. En multipliant par plus de deux, on a plus du double. 

  • Fin de partie
    Modifié (December 2023)
    @Vassillia : C'est facile de se moquer mais depuis que OS écrit sur ce forum on sait qu'il a une vision très formelle des choses, et dans la question qu'il soumet ici, c'est un handicap, car il n'arrive pas à "déshabiller" l'énoncé pour se rendre compte, que l'exercice, en effet, se résume à ce que tu dis.
    PS.
    La difficulté à "déshabiller" un exercice n'est pas l'apanage de OS. Je pense qu'on y a tous été confrontés.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    @Fin de partie : à un niveau moins élémentaire que celui-ci, c'est certain. Pour qui a fait des maths et de leur enseignement le cœur de son métier, j'ose dire que la question initiale (effeuillage compris) est vraiment élémentaire. OShine l'a perçu mais il a quand même décidé de la poster. Quelle satisfaction peut-on bien retirer de ça ?
  • Fin de partie
    Modifié (December 2023)
    @Magnethorax: L'attitude de OS n'a sans doute rien à voir avec les mathématiques à proprement parler, il a besoin d'attention et peut-être que cette attention est un moteur pour lui pour continuer à étudier sur son temps libre les mathématiques (c'est une hypothèse que je fais).
    PS.
    Sait-on jamais la raison véritable pour laquelle on fait certaines choses ?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
Cette discussion a été fermée.