Transformations à l'école et au collège

Bonjour,
Je soumets une petite réflexion qui m'est venue l'autre jour en 5e : les enfants font des frises depuis tout petits sur leur cahier du jour, il voient et font tourner des roues de vélo, des compas, des aiguilles, des manèges, etc. En maths, les chefs pédagogiques demandent d'étudier dans cet ordre : symétrie axiale (6e et avant), symétrie centrale (5e), translation (4e), rotation (3e). Je concède que nous sommes constamment exposés à des symétries axiales, mais, à ceci près, tout cela me semble monté à l'envers. Je débute depuis 3 ans au collège. Voyez vous quelques éléments qui me permettraient de comprendre et ainsi m'apaiser ?
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Réponses

  • Il était question à une époque de démontrer toute la géométrie de collège à partir des symétries axiales, cela remonte donc peut-être à cette époque.
    Pour ma part, j'ai un avis partagé sur les transformations. Elles ont à mon sens une utilité pour comprendre le mouvement et donc la physique (celle de tous les jours, pas uniquement celle des études), et cela peut être compris de façon intuitive très tôt.
    En revanche leur utilisation rigoureuse me parait extrêmement compliquée pour les élèves, pour plusieurs raisons:
    * Elle cumule les difficultés géométriques habituelles avec la notion de fonction (image/antécédent) qui n'est abordée qu'en 3e, avec difficultés.
    * On abandonne toute rigueur quand on dit que telle figure est l'image de telle autre. Comment alors leur réclamer de la rigueur sur le reste de leur démonstration.
    * Tous les profs s'empressent d'utiliser les propriétés des symétries pour "démontrer" les théorèmes de collège (comme par exemple les propriétés des rectangles) et là on bascule dans le grand n'importe quoi point de vue rigueur. On handicape ainsi grandement le raisonnement des élèves en les poussant vers le "on voit bien que".
    Du coup, la version minimaliste actuelle (on se contente de mettre un nom sur la transformation et de reconnaitre péniblement les images/antécédents) ne me traumatise pas tant que ça. S'il fallait développer plus avant la géométrie, ce serait fait plus efficacement avec les cas d'égalité des triangles.

    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • En terme de complexité, j'ai le sentiment que la rotation est plus complexe que les 3 autres transformations. C'est donc justifié que ça arrive après. Mais étaler ça sur 4 ans, c'est stupide.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • C’est vrai que la translation pourrait être vue avant la symétrie centrale, qui n’est pas si simple pour les élèves. Ça ressemble à une symétrie axiale mais pas de bol, ça n’en est pas une.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Pour moi c'est la symétrie axiale la plus dure car c'est un anti-déplacement (c'est d'ailleurs pour cela que c'est avec elle qu'on pourrait démontrer le reste).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Elle n’est pas difficile pour les élèves : un visage est symétrique.
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            -- Harris, Sidney J.
  • C'est pour moi un très mauvais exemple car l'image et l'antécédent sont les mêmes. La difficulté étant justement de comprendre l'histoire d'image et d'antécédent.
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  • nicolas.patrois
    Modifié (December 2023)
    Certes mais alors tu peux commencer par la translation… mais avec des segments orientés (un vecteur sans le dire ou une force) ou avec les parallélogrammes ? La rotation est plus difficile.
    Autre critique possible de mon argument pour la symétrie axiale : la confusion entre axe de symétrie et symétrie axiale.
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            -- Harris, Sidney J.
  • La difficulté de la symétrie axiale est cette histoire d’angles droits. On en trouve encore qui tracent deux droites avec un angle de 20°/160° et qui disent qu’elles sont perpendiculaires. 

  • Je pense que c'est beaucoup plus simple pour le cerveau humain de déplacer une figure que de la retourner. Il y a aussi la difficulté des figures qui intersectent l'axe.
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  • Le problème avec la translation au collège, c’est qu’elle n’est qu’évoquée puisque toute technicité sur le maniement des vecteurs est proscrite et qu’il est interdit de la définir, quand bien même c’est très accessible avec les programmes actuels. 
    Donc, on s’ennuie, on a l’impression que la translation ne fait rien, on n’en comprend pas bien l’intérêt. Ce point justifie qu’elle soit vue plus tard. Bien sûr, c’est absurde. 

  • Que du « on voit que ». 
    Ça fait penser à ce qui se faisant avant (jusqu’à quand ?)
    primaire - on voit que, définition empirique 
    secondaire - définition mathématique 
    En 2023
    primaire - on voit que 
    secondaire-collège - on voit que, définition empirique 
    un autre jour (quand ? parfois jamais…) - définition mathématique 
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    @Soc ce que tu dis m’inquiète un peu.

    Bien sûr que l’on peut faire des démonstrations rigoureuses en utilisant les propriétés de conservation de la symétrie. Non seulement on peut mais on doit : c’est comme cela que l’on apprend à démontrer.

    La symétrie axiale permet d’amener la notion de médiatrice, elle permet aussi de mettre en place la symétrie centrale comme composée de deux symétries axiales.

    La symétrie centrale permet de démontrer la somme des angles d’un triangle puis elle débouche sur le parallélogrammes via les propriétés des angles et les triangles égaux ce qui permet de définir les vecteurs et ainsi d’utiliser la translation.

    Les vecteurs ne sont pas au programme mais rien n’empêche d’en parler.

    Cette progression ne date pas d’hier et elle a une cohérence profonde et bien pensée qui permet d’apprendre aux élèves à raisonner.
  • "C'est comme cela", "on doit", ou pas. Cela ressemble au Dogme.
    Comment démontres-tu les propriétés de conservation de la symétrie axiale? Penses-tu que ces propriétés soient le meilleur choix pour aider les élèves à se baser sur leur intuition? Je veux bien te concéder une grande rigueur, je reste curieux de voir les productions des élèves basées sur la symétrie.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    Non cela ne ressemble pas au Dogme. C'est la logique des programmes telles qu'elle a été construite il y a plusieurs décennies.
    @Magnéthorax pose une question j'y apporte une réponse.
    Remarque que ma réponse rejoint la tienne mais que je trouve inquiétant que tu rejettes la symétrie centrale qui via l'identité du parallélogramme est quand même très "centrale".
    Les propriétés de conservation de la symétrie axiales sont démontrées par pliage.
    Il faut bien commencer par quelques chose dans l'enseignement. C'est le choix des programmes. Il faut bien un point d'entrée et il ne t'a pas échappé qu'en Sixième on passe du perceptif simple à la conceptualisation via des propriétés. Mais on ne fait pas de preuve. C'est bien l'enjeu du collège que de dégager progressivement la notion de preuve (et je n'ai jamais dit que c'était simple.)
  • Soc
    Soc
    Modifié (December 2023)
    Tu montes sur tes grands chevaux et me fait la leçon sur la nécessité d'apprendre à démontrer pour ensuite me parler de "pliage". Tu comprendras ma perplexité. Il faut donc enseigner la rigueur via les pliages parce qu'il y a des décennies des programmes savants ont été conçus ainsi ? Et bien sûr il est tout à fait pertinent de vouloir baser nos démonstrations sur les transformations du plan, tandis qu'il faut 10 pages sur ce site pour ne pas réussir à se mettre d'accord sur les fonctions.
    Je ne partage pas ce Dogme.
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  • On pourrait tout faire avec les triangles égaux, tout plein de petites démonstrations propres des propriétés de 5e, mais non, parce que c’est mis en 4e. 

  • Oui, je préfère de très, très loin une approche via les triangles égaux.
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  • Les triangles égaux, j’avais cru que c’était dès la 5e. 
    Mais je n’aime pas ce choix car on part d’axiome alors vraiment très forts je trouve (même si Euclide en
    parle assez vite je crois…). 
    Cependant je suis d’accord qu’avec ces triangles égaux on pourrait raisonner et avancer sur la démonstration en géométrie. 

  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    Apprendre à reconnaître l'action d'une symétrie avant de reconnaître l'action d'une translation est quelque chose qui ne va pas de soi à mes yeux.
    Apprendre à construire l'image d'une figure par une symétrie axiale ou centrale avant d'apprendre à construire l'image de cette même figure par une translation est quelque chose qui ne va pas de soi à mes yeux.
    Je ne pense pas avoir lu d'explication ou de motivation.
  • J’observe également que donner la définition de la translation qui transforme A en B comme étant la transformation qui pour tout point M, le transforme en M’ tel que ABM’M soit un parallélogramme est d’une complexité déconcertante pour beaucoup d’élèves alors que dans le cadre rigoureux des espaces vectoriels affines c’est d’une simplicité extrême. Personnellement je n’hésite plus à dire « 3 vers la droite et 2 vers le bas » pour décrire une translation.
  • gerard0
    Modifié (December 2023)
    Bonjour Soc.
    Pour démontrer, il faut des axiomes, qui donneront des théorèmes. Le choix de donner les axiomes de la symétrie axiale, dont le pliage montre qu'ils sont naturels semble une bien meilleur idée que de prendre (comme je l'ai vécu en quatrième dans les années 60) les cas d'égalité des triangles d'Euclide, justifié par les déplacements, illustrés par la copie au papier calque et la recopie ailleurs.
    Mais il est vrai qu'enseigner autrement qu'on a appris demande un certain effort; pour entrer dans la théorie qu'on enseigne, telle qu'elle fonctionne.
    Cordialement.
    NB. Même à mon époque, où plus de 40% des jeunes ne passaient pas par une quatrième, les triangles égaux (donc en quatrième) bloquaient une bonne partie des élèves. Complétant l'algèbre et les fractions, blocages classiques.
  • Pas bête l'idée de partir des axiomes. Je vais méditer sur ces sages paroles.
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  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    hx1_210 ne s'est peut-être pas rendu compte d'un léger changement de programme en 2016. Non, je ne parle pas d'algorithmique, mais du seul changement pertinent entre ce programme et le précédent : l'introduction de la notion de triangles égaux. Ceci change profondément la logique du programme en géométrie. Il n'est plus nécessaire admettre que la symétrie axiale est une isométrie pour faire semblant de démontrer d'autres propositions. On part des triangles égaux et l'on construit à peu près tout le reste (pour ce qui reste encore) et bien plus si l'on considère que le programme actuel est trop limité.
    Comme il m'est déjà arrivé de le dire ici, la question est de savoir dans quelle axiomatique on travaille (bien sûr le programme n'en dit rien, on ne peut pas n'ont plus trop demander d'un texte écrit sur un coin de nappe à la fin d'un repas). 
    Je considère que l'on travaille dans Hilbert et l'outil central maintenant dans le programme du collège (du moins à partir de la 4ème) est la notion de triangles égaux (il y a d'autres choses qui viennent avant, mais que l'on peut ne pas expliciter aux élèves sans que cela nuise aux raisonnements).
    Et si tu tiens vraiment à tout baser sur la symétrie axiale, tu peux démontrer qu'il s'agit bien d'une isométrie (c'est un poil technique, mais ça passe en 4ème... et c'est autrement plus rigoureux que l'enfumage par pliage).

    Pour Sato : je reprends en 4ème tout plein de propriétés de 5ème (par exemple, l'inégalité triangulaire, les propriétés des triangles isocèles, les propriétés des angles alternes-internes, les propriétés caractéristiques des parallélogrammes) que je démontre à coup de triangles égaux. Il faut juste avoir la volonté de le faire en classe.
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    @Soc
    @gerard0 ne dit rien d’autre que ce que je t’ai déjà dit.
    Mais visiblement tu le prends mieux. 

    Si tu veux te faire du mal, il te faudrait définir proprement une droite (c’est ce qui a servi de prétexte pour descendre les maths modernes) et encore plus drôle définir le groupe des angles.

    La géométrie euclidienne n’a rien de simple à pratiquer et encore moins à enseigner. Son axiomatisation propre a pris plus de 2000 ans !

    Pour ma part je trouve que le pliage justifie de façon naturelle la symétrie axiale et que c’est un axiome peu cher pour en tirer tout le reste. C’est de plus en ligne avec la découverte des angles et la notion de bissectrice. 

    Sans compter qu’il y a 10 ans on en tirait aussi tous les résultats sur les triangles rectangles et les cercles ainsi que la droite des milieux qui introduisait Thalès puisque l’on ne faisait pas les homothéties.

    Bref tout cela est bien ficelé.
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    @philou22 : je te concède que, sans support visuel, la définition par les parallélogrammes est plus absconse que celle d'autres transformations; mais je parlais simplement d'observer l'effet d'une translation et de construire des images par elle, pas de formaliser pour démontrer.
    Eh bien cela vient après avoir appris à faire faire des demi-tours à des figures, ce qui me paraît dingue.
  • @Magnéthorax Ce que je voulais dire, c'est que, tout d'abord, le programme officiel actuel est tellement indigent sur les translations que si on s'y limite il n'y a rien à dire, et, partant, qu'il me semble que cela rend la notion plus abstraite et indigente pour les élèves. Quel intérêt y trouverait un élève de sixième ? Une figure, là, un peu à gauche, et la même, là, enfin à côté, là un peu à droite. Que dire ?

  • hx1_210
    Modifié (December 2023)

    À noter d’ailleurs que l’on peut avoir facilement (sans trop de pre requis) la conservation des longueurs par la symétrie axiale.

    En utilisant le rectangle et le triangle rectangle.

    Par contre après il faut le premier cas d’égalité des triangles mais on n’en est loin en Sixième et c’est bien normal.

    Et je le redis, si tu en es à te poser ces question demande-toi ce qu’est un angle, ce qu’est une droite et ce qu’est un point.

    Normalement on se pose ces questions quand on prépare le Capes ou l’Agreg… et on se rend compte qu’elles sont difficiles. Plus que de faire un cours sur les espaces vectoriels.
  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    Ce qu'est un point, ce qu'est un droite ... encore une fois dans quelle axiomatique ? Je me place dans Hilbert et la réponse est facile : ta question n'a pas de sens.
    Pour ce qui est d'un angle : la réunion de deux demi-droites de même extrémité (en supposant que l'on parle d'angles de demi-droites non orientés).
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    @Sato : en reconnaître une quand elle se présente (dans un pavage par exemple), la décrire, et en comprendre l'action par la construction d'images, cela n'est pas si indigent que cela à mon avis. Il me paraît important de passer du temps à les apprivoiser, ne serait-ce que pour les collègues de physique qui commencent, eux, la cinématique par l'étude des mouvements rectilignes uniformes.
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    @Ericpasloggue
    facile un mot à bannir du vocabulaire mathématique et qui cache bien des refus de penser.
    Soit, donne nous les définitions à écrire dans le cahier d’un Sixième, sans te défiler puisque c’est facile.
    Ta définition de l’angle pose beaucoup de problèmes mais comme c’est facile je n’ai pas besoin de te les expliquer.
  • Cyrano
    Modifié (December 2023)
    De façon beaucoup plus drastique, on pourrait se demander quel est l'intérêt d'enseigner encore la géométrie synthétique au collège sachant que l'intérêt principal de celle-ci était de pouvoir faire de "vraies démonstrations" à peu de frais. Comme l'art de faire des preuves n'est plus du tout au centre des programmes, on gagnerait en temps et en efficacité en enseignant la géométrie directement dans $\R^2$. 
  • Un angle comme réunion des deux demi-droites de même extrémités, c’est étonnant, car ensuite quand on les mesure, ça ne donne pas de bonnes propriétés. Par exemple avec un quadrilatère non convexe (je ne parle pas des quadrilatères croisés), on n’obtient plus que la somme des quatre mesures d’angles d’un quadrilatère (non croisé, donc) vaut 360°.

    Je suis d’accord qu’il faut vraiment se lancer dans les triangles égaux pour que l’on puisse en faire quelque chose et notamment dans les démonstrations. 
    Mais selon le public… tout devient difficile…
  • @hx1_210 Ma réponse était une boutade à son ton condescendant qui n'appelait pas autre chose. La symétrie axiale n'a absolument rien de naturel pour moi, et quand on demande aux élèves de 3e dans les jolis nouveaux brevets l'image d'une figure par les 4 transformations du collège, c'est toujours la plus ratée. Mais bon si le Dogme dit le contraire...
    Les cas d'égalité des triangles sont pour moi tout à fait naturels et intuitifs car ils sont liés à la mécanique. Je prends 2 bâtons que je colle avec un certain angle et ma figure est figée. Ils sont tellement intuitifs qu'Euclide ne se rend même pas compte qu'il les utilise. Ils sont tellement intuitifs qu'une palanquée de démonstrations du théorème de Pythagore les utilise sans s'en rendre compte. Mais bon c'est trop dur dit le Dogme.
    Et si je me posais enfin  la question des axiomes ou de la droite grâce à de généreux mentor. Pas con dis-donc!
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Magnéthorax
    Modifié (December 2023)
    @Cyrano : l'intérêt n'est plus dans le fait de faire de "vraies démonstrations", mais il ne faut pas jeter le bébé avec l'eau du bain : comprendre ce que font ces transformations me paraît important pour toutes celles et ceux qui se tournent vers des filières (y compris, et surtout, professionnelles et technologiques) où il est encore question de bien percevoir sur plan comment tel ou tel mécanisme agit.
  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    Il est très rare que j'utilise le mot facile en maths. Si je l'ai utilisé ici, c'est précisément parce qu'il s'applique parfaitement ici. Les notions de point et de droite ne sont pas définies dans l'axiomatique de Hilbert, ce sont des notions premières. Il n'y a précisément rien à définir !
    Par contre, on peut commencer par un peu de logique (attention, c'est explicitement hors-programme) et faire comprendre aux élèves (je le fais en 5ème et en 4ème) que l'on ne peut pas tout définir ni tout démontrer, il faut se donner une liste de mots que l'on ne définit pas (point et droite en font partie) et une liste de propositions servant à démontrer les autres, les axiomes (celui des parallèles par exemple, que je donne sous la forme de Playfair en 5ème, le cas d'égalité C-A-C, que je donne en 4ème). Quant à ma définition des angles, si elles posait tant de problèmes que ça, elles ne serait pas utilisée dans les bouquins traitant de fondement de la géométrie.
    Encore une fois, tu ne te poses pas la bonne question : dans quelle axiomatique travaille-t-on ?
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    @Soc
    Désolé d’être abrupt mais ta réponse est idiote.
    Tu ne peux être la mesure de ce qui est naturel et de ce qui ne l’est pas.
    Oui on pourrait commencer par les cas d’égalité. Mais ce n’est pas très abordable pour des élèves qui n’ont jamais fait de géométrie même descriptive.
    Ils sont faits en 5e cela dit. Si possible en début d’année.
    Et personnellement j’ouvre mon cours de Quatrième avec pour faire des démonstrations et refaire toutes les propriétés des parallélogrammes avec … et démontrer le théorème de Pythagore.
  • Dom : les angles définis par la réunion de deux demi-droites de même extrémités ont une très bonne propriété : on peut les mesurer (autrement dit il existe une mesure pour chaque angle avec des propriétés sympathiques, en particulier la relation de Chasles, et cette mesure est unique une fois une unité choisie, par exemple un angle plat mesure 180 degrés), et c'est amplement suffisant pour tout ce que l'on fait au collège.
    Les difficultés arrivent lorsque l'on veut orienter le plan. Ça devient vraiment technique (il faut prouver qu'il existe exactement deux orientations en chaque point, puis prouver que l'on peut choisir une orientation en chaque point de façon cohérente pour orienter tout le plan -- dans un bouquin paru chez Gauthier-Villars à la fin des années 60, la démonstration du tout prenait 5 ou 6 pages).
  • Heureux de savoir que Hilbert et Tarski étaient des idiots. Sur ce, je vais me prendre un sceau de pop corn et admirer...
  • Je ne peux être la mesure, je le concède facilement. Mais toi et Gérard si. Encore un échange prometteur.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • L’autre jour j’ai donné plusieurs exercices du brevet avec les quatre transformations et un élève moyen s’est exclamé : « Monsieur, c’est aussi facile que ça, le brevet ?! ». Ces exercices ne vont pas assez loin. Quand on additionnait deux vecteurs pour composer deux translations, ça ne volait pas si haut mais on commençait à percevoir l’intérêt de l’outil. 
    Je ne critique pas la faiblesse du niveau sur ces notions, parce qu’on ne peut pas tout faire, mais le fait que ce niveau soit insuffisant pour que l’intérêt des notions soit flagrant aux élèves. Avec moins de notions mais un peu plus poussées, il me semble que l’intérêt de leur étude serait plus apparent. 

  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    Ce n’est pas ce que j’ai dit.
    J’ai exposé la cohérence du programme. 
    @Er@Ericpasloggue Hilbert et Tarski en Sixième ?
    En attendant le pop-corn, envoie les définitions, ne te défile pas.
  • L’axiomatique n’est pas explicitée dans les programmes, mais c’est plus ou moins celle d’Euclide qui n’était pas plus bête qu’Hilbert.
  • Éric : le problème n’est pas ici une question d’angles orientés. Si on demande à un élève de collège de mesurer les angles de ce polygone, que va-t-on obtenir ?
    Pour l’angle en F du polygone, par exemple, doit-on annoncer qu’il est obtus ? D’une mesure plus petite que l’angle de sommet A ?
    Ou encore quelle somme va-t-on obtenir s'il on ajoute les sept mesures ?

  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    Je fais un effort pour toi (je sais que c'est sans espoir, mais...).
    Il n'y a pas de définition du point et de la droite chez Hilbert. Hilbert savait parfaitement que l'on ne peut pas tout définir et il a fait le choix de prendre les mots point, droite, plan comme objets primitifs.
    Chez Tarski, c'est plus radical. Trois notions premières : points, se trouver entre (qui concernent trois points) et une notion de "congruence de segments" (qui concernent quatre points). Il n'y a même pas de droite !

    Sur ce, je ne remets plus les pieds ici. Tu fais un effort et tu travailles les fondements de la géométrie, à défaut la page wikipedia donne déjà de quoi s'instruire https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert
  • @Dom Avec ce rapporteur, on peut espérer un 180*5 aux imprécisions de mesure près.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Oui mais le discussion était celle de définir un angle sans tenir compte du saillant et du rentrant, cela entraîne des incohérences comme avec le polygone donné plus haut. Dommage. 
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    @Ericpasloggue
    Chacun note donc que tu te défiles. Tu refuses de dire ce que tu fais écrire dans les cahiers de tes élèves de Sixième.
    L’axiomatique de Hilbert est conçue pour compléter celle d’Euclide qui n’était pas explicite (et ce n’est clairement pas le point de vue adopté en collège, c’est bien l’objet de la question posée ici). 
    Opposer la géométrie d’Euclide à celle de Hilbert relève du contre sens.
    Les axiomes d’incidences permettent d’ailleurs de définir la droite comme la donnée de deux points distincts: Ils en assurent l’existence et l’unicité donc la définition.
    Je note que ta définition hasardeuse d’un angle en définit plusieurs et que là encore, tu sembles ne pas comprendre que la notion d’angle est intrinsèquement une classe d’équivalence (axiome de congruence).
    Bref ta « facilité » est au mieux une fuite au pire une incompréhension.
    Si l’on revient à la question posée, le programme fait un choix descriptif en Sixième et s’appuie implicitement sur la relation d’équivalence être superposable posée en tant qu’axiome comme le fait implicitement Euclide. Il poursuit en s’appuyant sur l’identité du parallélogramme (explicitée en Seconde)
    D’où l’étude approfondie et duale du parallélogramme et de la symétrie centrale en Cinquième.

    C’est à la mode de critiquer les programmes mais l’honnêteté demandent de les connaître et de les comprendre! 
    @gerard0 dont je respecte la compétence amplement démontrée sur ce forum ne dit rien d’autre.
    Sinon on peut faire semblant de connaitre Hilbert et Tarski cela doit suffire pour impressionner des Sixièmes et échapper à leurs questions légitimes.
    C’est déjà ça.
  • Dommage que des tensions s’animent. Et à vrai dire je n’ai pas compris pourquoi. Tous au lit ! Moi le premier 😀
  • gai requin
    Modifié (December 2023)
    @hx1_210 : Quel type d’angles dans le théorème de l’angle inscrit, avec quelle définition ? 😉
  • J'ai pas bien compris la définition de la droite. Je veux bien une explication.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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