Équation différentielle non linéaire

Tony Schwarzer
Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour, 
Comment résoudre à la physicienne l’équation différentielle $y’=ay^2+by$ avec $a,b$ non nuls ? La méthode de séparation des variables nécessite d’inverser une fonction dont on ne connaît pas d’inverse simple. Comment procéder ? Merci par avance.
Cordialement.

Réponses

  • Bonjour,
    tu parles d'inverse, ou de primitive d'une fonction ?
  • Area 51
    Modifié (November 2023)
    Que veut dire "à la physicienne" ? Faut-il que ce soit un physicien de passage qui résolve ton équation. Bah, c'est easy : $dx = \dfrac{dy}{ay^2 + by}$. Puis éléments simples, ou $\arctan$ normale ou hyperbolique (bref, des $\log$).
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Bonjour Area
    À la physicienne, on  effectue un calcul formel sans justification. Par exemple, tu effectues toi aussi un calcul à la manière d'un physicien, car tu ne justifies pas que le y ne s'annule pas afin de pouvoir diviser.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Area51 oui c’est évidemment ce que j’ai fait. Pour l’inversion (je parle bien d’inversion de fonction au sens de la réciproque), ce n’est pas « easy » et c’est bien là mon problème, après avoir primitivé.
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Bonjour Tony.
    Même "à la physicienne", il y a des calculs qui n'aboutissent pas. On peut avoir l'impression que les calculs "marchent toujours", mais c'est simplement parce que ceux qu'on enseigne sont ceux qui aboutissent.
    Cordialement.
  • D’accord mais il n’empêche que je suis censé résoudre cette équation et que des gens ont réussi à le faire à la physicienne dont j’aimerais connaître la méthode. Cordialement.
  • Si une solution $\varphi$ est non nulle, elle ne s'annule en aucun point et son inverse (multiplicatif) satisfait à une EDO linéaire très simple (cf EDO de Bernoulli).
  • Tony Schwarzer
    Modifié (November 2023)
    J’ai fait une erreur de calcul. Après coup l’inversion fonctionnelle est facile. C’est bon finalement.
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    Veux-tu rédiger une résolution complète  à la mathématicienne ? Merci
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour,
    Je n'en ai pas besoin donc non, je ne vais pas m'embêter
  • Math Coss
    Modifié (November 2023)
    On voit que l'équation après séparation des variables est $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{(ay+b)y}=C\frac{\mathrm{d}y}{ay+b}-C\frac{\mathrm{d}y}{y}$ pour $C$ convenable (comme le degré de la fraction $f(y)$ est $-2$, la somme des résidus vaut $\lim_{y\to\infty}yf(y)=0$), ça doit donner une primitive du genre $C\ln\frac{ay+b}y$ d'où une solution $y$ fonction homographique de $\exp x$.
  • C'est bien cela.
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