Chaîne de Markov canonique

Sn
Sn
Modifié (November 2023) dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

La première image est où se situe mon interrogation. La seconde image est comment nous définissons une chaîne de Markov canonique : le (4.9) définie comme le dit la définition 4.4, une chaîne de Markov canonique.

En essayant de comprendre l'égalité surlignée, je me suis rendu compte que je n'avais pas compris l'égalité indiquée par la flèche bleu.
En effet, je crois que $P_{X_n}=P_{P_{X_n}}$ (au vue du point 4.8 dans la seconde image). Cependant, cela m'amène, pour satisfaire la flèche bleu, à ce que $P(X_n=b_1)=p(X_n,b_1)$ au vu de (1) et (2).
En effet, grâce à (2) et à (1), 
$$
P_{X_n}(X_1=b_1,...X_k=b_k)= \sum_{x \in E} P(X_n=x)P_x(X_1=b_1,...,X_k=b_k)= \sum_{x \in E} P(X_n=x) \delta_x(b_1) p(b_1,b_2)...p(b_{k-1},b_k)=P(X_n=b_1)p(b_1,b_2)...p(b_{k-1},b_k)
$$
Et donc, $P_{X_n}(X_1=b_1,...X_k=b_k)= p(X_n,b_1)...p(b_{k-1},b_k)$ (flèche bleu) est équivalent à : 
$P(X_n=b_1)p(b_1,b_2)...p(b_{k-1},b_k)=p(X_n,b_1)...p(b_{k-1},b_k)$ c'est-à-dire à $P(X_n=b_1)=p(X_n,b_1)$.
Or, je ne crois pas que cette dernière égalité est vraie.
En bref, comment avons-nous la flèche bleu et est-ce que l'on définit $P_{X_n}=P_{P_{X_n}}$ ?
Bien cordialement,

 

Réponses

  • fredaulycee2
    Modifié (November 2023)
    Salut,
    de ce que je comprends (ces notations ne me sont pas familières), pour la fameuse flèche bleue : tu veux calculer une probabilité sachant $\mathcal{F}_n$, c'est-à-dire connaissant les valeurs de $X_0,\dots,X_n)$. Comme ton processus est un processus de Markov, cette probabilité ne dépend en fait que de la valeur de $X_n$.
    Or, $p(X_{n+1}=b_{1}/X_n=x_n)=p(x_n,b_{1})=p_{X_n=x_n}(X_{n+1}=b_{1})=p_{X_0=x_n}(X_1=b_{1})$.
    C'est comme ça que j'ai compris le $P_{X_n}(b_1)$.
    Bonne journée
    F
  • Merci beaucoup pour vos indications. Je crois finalement avoir bien compris la chose.
    En effet, il fallait voir $\textbf{P}_{X_n}=\textbf{P}(. \lvert X_n)$ puis utiliser la définition de l'espérance conditionnelle.

    Permettez-moi de vous remercier encore pour l'effort que vous avez mis pour m'aider à comprendre.

    En vous souhaitant une très bonne journée, 
  • Salut, la notation $\mathbf P_{X_n}$ désigne ici la variable aléatoire $f(X_n)$ obtenue par composition de $X_n$ avec la fonction $f : x \mapsto \mathbf P_x$
  • En effet, oui ! merci !
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