Trois entiers consécutifs, deux à deux premiers entre eux

Bonjour,

Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que trois entiers consécutifs x, y et z soient deux à deux premiers entre eux ?

Réponses

  • Fin de partie
    Modifié (October 2023)
    Tu peux commencer par te demander si deux entiers consécutifs peuvent avoir un diviseur commun (autre que $1$ et $-1$).
    PS.
    Il y a un théorème qui permet de caractériser simplement que deux entiers sont premiers entre eux.
    PS2.
    Et il faudra te demander quels peuvent être les diviseurs communs entre le plus petit et le plus grand de ces trois nombres.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Lirone93
    Modifié (October 2023)
    $\newcommand{\pgdc}{\mathrm{pgcd}}$Notons ces 3 nombres consécutifs $k-1,\ k,\ k+1$
    Si $k$ est impair, $(k-1)$ et $(k+1)$ sont pairs, et donc divisibles par $2$.
    Donc, dans ce cas, ils ne sont jamais premiers entre eux.

    Si $k$ est pair $(k=2n)$.
    Montrons que $2n-1,\ 2n\text{, et }2n+1$ sont forcément premiers entre eux.

    Comme deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux,
    il reste à montrer que $2n-1$ et $2n+2$ sont premiers entre eux.
    Par l'absurde, supposons donc qu'avec $p=\pgdc(2n-1, 2n+1)$ que $p \ge 2$.
    Comme $\pgdc(2n-1),\ (2n+1)-(2n-1))=\pgdc(2n-1, 2)$, il vient $p=2$,
    ce qui est contradictoire puisque $2n-1$ est impair.
    Donc on peut dire par exemple que, la CNS est simplement que le premier nombre
    du triplet de nombres consécutifs doit être impair.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Bonjours,

    On peut dire aussi que 2n+1 et 2n-1 vérifient l'égalité de Bézout: (2n+1)n - (2n-1)(n+1) = 1
  • Bien vu
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • On en déduit donc que pour tout nombre impair $q\geq 3$, le nombre $(q+2)$ est inversible pour la multiplication dans l'anneau $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}, +, \times\right)$, autrement dit $(q+2)\in \left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}\right)^{\times}$.

    Question : Quel est l'inverse de $(q+2)$ dans $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}\right)^{\times}$ ?
  • Il s'agit de trouver un élément $s$ de $\left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}^{\ast}, \times\right)$ tel que $(q+2)\times s=s\times (q+2)= 1$. Autrement dit, $s$ est tel que $(q+2)\times s=1+2q\cdot k$, $k\in \mathbb{Z}$. On va considérer deux cas selon que $q\equiv 1[4]$ ou $q\equiv -1[4]$.
    1. Si $q\equiv 1[4]$, alors il existe $u\in \mathbb{N}^{\ast}$ tel que $q=4u+1$. Posons $s=\dfrac{q+1}{2}=2u+1$. On a alors $s<2q$, $s\land 2=1$, et $s\land q=1$ qui implique que $s\land (2q) = 1$, et donc $s\in \left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}^{\ast}, \times\right)$. De plus on a $(q+2)\times s = q\cdot s+2s = q\cdot s +q+1= q\cdot(s+1)+1$. Et comme $s$ est impair, alors $(s+1)$ est un nombre pair. Par conséquent, il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $(s+1)=2k$, et donc $(q+2)\times s =1 +2q\cdot k$.
    2. Si $q\equiv -1[4]$, alors il existe $u\in \mathbb{N}^{\ast}$ tel que $q=4u-1$. Posons $s=\dfrac{3\cdot q+1}{2}=6u-1$. De même que précédemment on a $s<2q$, $s\land 2=1$, et $s\land q=1$ qui implique que $s\land (2q) = 1$, et donc $s\in \left(\mathbb{Z}/2q\mathbb{Z}^{\ast}, \times\right)$.
      De plus on a $(q+2)\times s = q\cdot s+2s = q\cdot s +3q+1= q\cdot(s+3)+1$. Et comme $s$ est impair, alors $(s+3)$ est un nombre pair. Par conséquent, il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $(s+3)=2k$, et donc $(q+2)\times s =1 +2q\cdot k$.
    En résumé :
    • Si $q\equiv 1[4]$ alors $s=(q+2)^{-1}=\dfrac{q+1}{2}$ ;
    • Si $q\equiv -1[4]$ alors $s=(q+2)^{-1}=\dfrac{3q+1}{2}$.
    Exemple :
    • Pour $q=5\equiv 1[4]$, l'inverse de $(q+2)=7$ dans $\left(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}^{\ast}, \times\right)$ est $s=\dfrac{5+1}{2}$, et donc $s=3$. On vérifie que $7\times 3=21=1+10\times 2$.
    •  Pour $q=7\equiv -1[4]$, l'inverse de $(q+2)=9$ dans $\left(\mathbb{Z}/14\mathbb{Z}^{\ast}, \times\right)$ est $s=\dfrac{3\times 7+1}{2}$, et donc $s=11$. On vérifie que $9\times 11=99=1+14\times 7$.
  • Le calcul du PGCD de 2n+1 et 2n-1 se fait en soustrayant ensuite autant de 2 que l’on souhaite à 2n-1 (j’en retire (n-1)). 
    Pour n>1
    pgcd(2n-1,2)=pgcd(2n-1 - (n-1)×2,2) = pgcd(1,2)=1
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