Exemple de mesure de probabilité sur $\mathbb{N}$

Donner une loi de probabilité sur $\mathbf N$, c'est donner les probabilités $ p_n = \mathbf P(\{n\})$ pour chaque $n \in\mathbf N$. 

Ces probabilités $(p_n)$ sont des réels positifs et de somme 1. 

Réciproquement n'importe quelle suite de réels positifs et de somme 1 fournit une distribution de probabilité sur $\mathbf N$.

Par exemple, $\displaystyle p_n = \frac{1}{2^{n+1}} $ (on a bien $p_n \geqslant 0$ et $\sum\limits_{n=0}^\infty p_n = 1$)
ou encore $\displaystyle  p_n = \frac{\lambda}{(n+1)^2} $ où $\displaystyle \lambda = \frac{1}{\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2} }= \frac{6}{\pi^2} $.