Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers

Piteux_gore
Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour,
Soient $P(X)$ un polynôme à coefficients entiers et $k$ un entier quelconque ; montrer que, si $P(k)P(k+1)$ est impair, alors $P(X)$ n'a pas de racine entière.
A+
L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)

Réponses

  • 20100 N
    Modifié (November 2023)
    si $z$ était une racine entière on a (technique classique pour les polynômes entiers)  $k-z \mid P(k)-P(z) = P(k)$ et de même $k+1-z \mid P(k+1)$ et ainsi $(z-k)(z-k+1) \mid P(k)P(k+1)$, comme le produit de deux nombres consécutifs est pair on a une contradiction.
  • i.zitoussi
    Modifié (November 2023)
    Supposons que pour un $n\in \Z$, $X-n$ divise $P$. Alors $(X-n)(X+1-n)$ divise $P(X)P(X+1)$ dans $\Z[X]$. Donc pour tout $k\in \Z$, $(k-n)(k+1-n)$ divise $P(k)P(k+1)$. Or $(k-n)(k+1-n)$ est toujours pair, donc $P(k)P(k+1)$ aussi.
    Par contraposition, on a ton assertion.
    Après je bloque.
  • RE
    On peut généraliser :smile:
    Si aucun de $P(k), P(k+1), P(k+2)$ n'est multiple de $3$, alors pas de racine entière.
    Etc.
    A+
    L'assassinat mène au vol et, de là, à la dissimulation. (Comtesse de Sédur)
  • Des classiques du même genre : 

    - Il n'existe pas de suite de nombres premiers en progression polynomiale entière.

    -Si $P$ et $Q$ sont entiers premiers entre eux dans $Q[X]$, $(pgcd(P(n),Q(n)))_n$ est périodique .

    -Si $P$ est dans $Z[X]$ de degré $n$ au moins 5, admettant n racines simples entières dont 0, alors $P(P(X))$ a exactement les mêmes racines entières.
  • gai requin
    Modifié (November 2023)
    On peut faire un raisonnement direct, en notant $P(X)=\sum\limits_{i=0}^na_iX^i$.
    Pour tout entier $x$, on a modulo $2$,
    $P(x)=a_0+x\sum\limits_{i=1}^na_i$ donc $\sum\limits_{i=1}^na_i=P(k+1)-P(k)=0$.
    Donc, pour tout entier $x$, $P(x)$ est impair.
  • LP2
    LP2
    Modifié (November 2023)
    Bonjour,
    Connaissez-vous d'autres critères du type : si $P\in\mathbb{Z}[X]$ vérifie (une certaine condition) alors $P$ n'a pas de racine dans $\mathbb{Z}$ ?
    Bonne journée,
    LP
  • Bonjour, LP2,
    si $P\in\Z[X]$, unitaire de degré $n\geqslant2$, prend la valeur $-1$ pour $n$ entiers (relatifs) distincts, il est irréductible sur $\Q$ et n'a donc même pas de zéro dans $\Q$.
  • gai requin
    Modifié (November 2023)
    @john_john : Soit $R,S\in\Z[X]$ de degrés $<n$ tels que $P=RS$.
    Notons $\alpha_i$ les $n$ entiers distincts tels que $P(\alpha_i)=-1$.
    Pour tout $i$, $R(\alpha_i)=-S(\alpha_i)=\pm 1$.
    Donc $R+S$, de degré $<n$, s’annule en $n$ valeurs distinctes.
    Ainsi, $R+S=0$ et $P=-R^2$, ce qui contredit $P$ unitaire.
    Donc $P$ est irréductible sur $\Z$ donc aussi sur $\Q$ (Gauss).
  • LP2
    LP2
    Modifié (November 2023)
    Merci à vous deux pour vos contributions. Sans l'hypothèse unitaire, cela reste vrai si $n\geqslant 7$ et si $P$ prend $n$ fois la valeur $-1$ ou $n$ fois la valeur $1$ et, si $n\geqslant 13$, si $P$ prend $n$ fois la valeur $n$ ou $n$ fois la valeurs $-n$. C'est une conséquence d'un critère dû à Polya.

    Les hypothèses du critère énoncé par john_john sont fortes mais la conclusion l'est également (bien plus que ce que je demandais). Si d'autres parmi vous connaissent des critères sur la non-existence de racines entières, n'hésitez pas !
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